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1、第三节齐次方程本讲稿第一页，共十一页一、齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二页，共十一页例例1.解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当 C=0 时,y=0 也是方程的解)(C 为任意常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三页，共十一页例例2.解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了.机动 目录 上页 下页 返回
2、 结束 本讲稿第四页，共十一页可得 OMA=OAM=例例3.在制造探照灯反射镜面时,解解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成.过曲线上任意点 M(x,y)作切线 M T,由光的反射定律:入射角=反射角取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO=OM要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而 AO 于是得微分方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第五页，共十一页利用曲线的对称性,不妨设 y 0,积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第六页，共十一页顶到底的距离为 h,说明说
3、明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第七页，共十一页(h,k 为待*二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为 令,解出 h,k(齐次方程)定常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第八页，共十一页求出其解后,即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第九页，共十一页例例4.求解解解:令得再令 YX u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十页，共十一页得 C=1,故所求特解为思考思考:若方程改为 如何求解?提示提示:作业作业 P276 1(1),(4),(6);2(2),(3);3;4(4)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十一页，共十一页