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1、第三节 曲面方程本讲稿第一页，共二十三页一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3)和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的化简得化简得即即说明说明:动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面.引例引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解解:设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为轨迹轨迹方程方程.本讲稿第二页，共二十三页定义定义1.如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系有下述关系:(1)曲面曲面 S 上的任意
2、点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程 则则 F(x,y,z)=0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程,曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F(x,y,z)=0 的的图形图形.两个基本问题两个基本问题 :(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程 求曲面方程求曲面方程.(2)已知方程时已知方程时,研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状(必要时需作图必要时需作图).本讲稿第三页，共二十三页故所求方程为故所求方程为例例1.求动点到定点求动点到定点方程方程.特别特别,当当M0在原点时在原点时
3、,球面方程为球面方程为解解:设轨迹上动点为设轨迹上动点为即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹表示上表示上(下下)球面球面.本讲稿第四页，共二十三页例例2.研究方程研究方程解解:配方得配方得可见此方程表示一个球面可见此方程表示一个球面说明说明:如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形.其图形可能是其图形可能是的曲面的曲面.表示表示怎样怎样半径为半径为球心为球心为 一个一个球面球面,或或点点,或或虚轨迹虚轨迹.本讲稿第五页，共二十三页定义2.一条平面曲线二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直
4、线称为旋转轴，旋转曲线称为此旋转曲面的母线。例如:本讲稿第六页，共二十三页建立建立yOz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,若点若点给定给定 yOz 面上曲线面上曲线 C:则有则有则有则有该点转到该点转到本讲稿第七页，共二十三页思考：思考：当曲线当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？本讲稿第八页，共二十三页例例3.试建立顶点在原点试建立顶点在原点,旋转轴为旋转轴为z 轴轴,半顶角为半顶角为的圆锥面方程的圆锥面方程.解解:在在yOz面上直线面上直线L 的方程为的方程为绕绕z
5、 z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为两边平方两边平方本讲稿第九页，共二十三页例例4.求坐标面求坐标面 zOx 上的双曲线上的双曲线分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕绕 x 轴旋转轴旋转绕绕 z 轴旋转轴旋转这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为本讲稿第十页，共二十三页三、柱面三、柱面引例引例.分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面.的坐标也满足方程的坐标也满足方程解解:在在 xOy 面上面上，表示圆表示圆C,沿圆周沿圆周C平行于平行于
6、z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面称为称为圆圆故在空间故在空间过此点作过此点作柱面柱面.对任意对任意 z,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l,表示表示圆柱面圆柱面在圆在圆C上任取一点上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程,本讲稿第十一页，共二十三页定义定义3.平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形成形成的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面.表示表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线为准线为xOy 面上的抛物线面上的抛物线.z 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.z 轴的轴的平面平面.表示母线平行于表示母线平行
7、于(且且 z 轴在平面上轴在平面上)表示母线平行于表示母线平行于C 叫做叫做准线准线,l 叫做叫做母线母线.本讲稿第十二页，共二十三页一般地一般地,在三维空间在三维空间柱面柱面,柱面柱面,平行于平行于 x 轴轴;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴;准线准线 xOz 面上的曲线面上的曲线 l3.母线母线柱面柱面,准线准线 xOy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线准线准线 yOz 面上的曲线面上的曲线 l2.母线母线本讲稿第十三页，共二十三页四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅下面仅 就几
8、种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形统称为的图形统称为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为二次项系数不全为 0)本讲稿第十四页，共二十三页1.椭圆锥面椭圆锥面椭圆椭圆在平面在平面 x0 或或 y0 上的截痕为过原点的两直线上的截痕为过原点的两直线.本讲稿第十五页，共二十三页2.椭球面椭球面(1)范围：范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与坐标面的交线：椭圆本讲稿第十六页，共二十三页与与的交线为椭圆：的交线为椭圆：(4)当当
9、 ab 时为时为旋转椭球面旋转椭球面;同样同样的截痕的截痕及及也为椭圆也为椭圆.当当abc 时为时为球面球面.(3)截痕截痕:为正数为正数)本讲稿第十七页，共二十三页3.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆椭圆.时时,截痕为截痕为(实轴平行于实轴平行于x 轴；轴；虚轴平行于虚轴平行于z 轴）轴）平面平面 上的截痕情况上的截痕情况:双曲线双曲线:本讲稿第十八页，共二十三页虚轴平行于虚轴平行于x 轴）轴）时时,截痕为截痕为时时,截痕为截痕为(实轴平行于实轴平行于z 轴轴;相交直线相交直线:双曲线双曲线:本讲稿第十九页，共二十三页(2)双叶双曲面双叶双曲面双曲线双曲线椭圆椭圆双曲线双曲线
10、P18 P18 本讲稿第二十页，共二十三页4.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面椭圆抛物面(2)双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）特别特别,当当 a=b 时为绕时为绕 z 轴的旋转抛物面轴的旋转抛物面.本讲稿第二十一页，共二十三页斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方方 程程平行于平行于 y 轴的直线轴的直线 平行于平行于 yOz 面的平面面的平面 圆心在圆心在(0,0)半径为半径为 3 的圆的圆以以 z 轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面平行于平行于 z 轴的平面轴的平面思考与练习思考与练习 指出下列方程的图形指出下列方程的图形:本讲稿第二十二页，共二十三页 作业作业 习题三习题三 2；4;5 本讲稿第二十三页，共二十三页