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1、双曲线的标准方程（1）2021/8/11 星期三1双曲线的定义双曲线的定义:平面内与两定点平面内与两定点F F1 1，F F2 2的距离的差的绝对值的距离的差的绝对值等于常数等于常数2a 2a 点的轨迹叫做双曲线点的轨迹叫做双曲线。F1,F2-焦点焦点|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a|=2a|F|F1 1F F2 2|-|-焦距焦距.F2.F1Myox注意注意：对于双曲线定义须：对于双曲线定义须抓住三点：抓住三点：一、平面内的动点到两定点的一、平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数距离之差的绝对值是一个常数；二、这个常数要小于二、这个常数要小于|F|F1 1F F
2、2 2|M复习回顾：复习回顾：三、这个常数要是非零常数。三、这个常数要是非零常数。2021/8/11 星期三2数数 学学 实实 验验11取一条拉链取一条拉链;22如图把它固定在板如图把它固定在板上的两点上的两点F F1 1、F F2 2；3 3 拉动拉链（拉动拉链（M M）思考思考：拉链运动的轨迹：拉链运动的轨迹是什么？是什么？2021/8/11 星期三3请思考？请思考？1、平面内与两定点的距离的差等于常数、平面内与两定点的距离的差等于常数2a（小于（小于|F|F1 1F F2 2|）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常
3、数（等于常数（等于|F|F1 1F F2 2|）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于常数（大于|F|F1 1F F2 2|）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？双曲线的一支双曲线的一支是在直线是在直线F1F2上且上且 以以F1、F2为端点向外的两条射线为端点向外的两条射线不存在不存在2021/8/11 星期三4相关结论：相关结论：1、当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a|F|=2a|F|=2a|F1 1F F2 2|时时,M点的轨迹不存在点的轨迹不存在4、当、当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2
4、 2|=2a=0|=2a=0时，时，M点轨迹是双曲线点轨迹是双曲线其中当其中当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a|=2a时，时，M点轨迹是与点轨迹是与F2对应对应的双曲线的一支；的双曲线的一支；当当|MF|MF2 2|-|MF|MF1 1|=2a|=2a时，时，M点点轨迹是与轨迹是与F1对应的双曲线的一支对应的双曲线的一支.M点轨迹是在直点轨迹是在直线线F F1 1F F2 2上且以上且以F1和和F2为端点向外的两条射线。为端点向外的两条射线。M点的轨迹是线段点的轨迹是线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线。2021/8/11 星期三5设双曲线的焦距为 ,双曲线
5、上任意一点 到焦点 的距离的差的绝对值等于常数以 所在的直线为 轴,线段 的垂直平分线为 轴,建立直角坐标系 则 的坐标分别是 二、双曲线的标准方程：2021/8/11 星期三62021/8/11 星期三7定义定义图象图象方程方程焦点焦点a.b.c的关系的关系谁正谁对应谁正谁对应 2021/8/11 星期三8定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关系的关系x2a2-y2b2=1x2y2a2+b2=1F（c，0）F（c，0）a0，b0，a,b大小大小不确定不确定，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系：双曲线与椭圆之间的区别与联系：双曲线与椭圆之间的区别与联
6、系：双曲线与椭圆之间的区别与联系：|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a x2a2+y2b2=1椭椭 圆圆双曲线双曲线y2x2a2-b2=1F（0，c）F（0，c）2021/8/11 星期三92021/8/11 星期三10例例1 已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线，双曲线上上一点一点P到到F1、F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于8，求双曲线，求双曲线的标准方程的标准方程.2 2a a=8,=8,c=5c=5a a=4,c=5=4,c=5b b2 2=5=52 2-4 42 2=9=9所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线
7、的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：根据双曲线的焦点在根据双曲线的焦点在根据双曲线的焦点在根据双曲线的焦点在 x x 轴上，设它的标准方程为：轴上，设它的标准方程为：轴上，设它的标准方程为：轴上，设它的标准方程为：解解:2021/8/11 星期三112021/8/11 星期三122021/8/11 星期三13练练习习3：（1）已已知知双双曲曲线线的的焦焦点点在在y轴轴上上，并并且且双双曲曲线线上上两两点点P1、P2的的坐坐标标分分别别为为（3，）、（9/4,5），求求双双曲曲线的标准方程线的标准方程.解解：因因为为双双曲曲线线的的焦焦点点在在y轴轴上上，所所以
8、以设设所所求求双双曲曲线线的的标准方程为：标准方程为：把点把点P1、P2的坐标代入双曲线方程得：的坐标代入双曲线方程得：解得：解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线故所求双曲线的标准方程为：的标准方程为：2021/8/11 星期三14例例3 3:如果方程如果方程 表示双曲线，表示双曲线，求求m m的取值范围的取值范围.分析分析:由由得得变式一变式一:方程方程方程方程 表示双曲线时，则表示双曲线时，则表示双曲线时，则表示双曲线时，则mm的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围 或或变式二变式二:表示焦点在表示焦点在表示焦点在表示焦点在y y轴的双曲线时，求轴的双曲线时，求轴的双曲线时，求轴的双
9、曲线时，求mm的范围。的范围。的范围。的范围。2021/8/11 星期三15练习练习4:1.方程方程mx2-my2=n中中mn0，则其表示焦点在，则其表示焦点在 轴上的轴上的 .双曲线双曲线2、若方程若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在的曲线是焦点在y轴上的轴上的 双曲线，则双曲线，则k .(-1,1)3.双曲线双曲线 的焦点坐标是的焦点坐标是 .y2021/8/11 星期三16 5.双曲线双曲线 的焦距是的焦距是6，则，则k=.6 6.若方程若方程 表示双曲线，求实数表示双曲线，求实数k的的 取值范围取值范围.-2k52021/8/11 星期三172021/8/11 星期三18其中其中b2=c2-a2x2与与y2的系数的的系数的大小大小x2与与y2的系数的的系数的正负正负c2=a2+b2AB02021/8/11 星期三192021/8/11 星期三202021/8/11 星期三212021/8/11 星期三22