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1、第13讲：平面向量的概念与向量的几何运算一、基础概念：1、向量的的概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小：但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模。（2）零向量：模为零的向量叫做零向量（始、终点重合），记作。注意：的方向是任意的；与的区别。（3）单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。（4）相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。若向量相等，记作：任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关。（5）负向量：大小相同且方向相反的两个向量
2、称它们互为负向量。2、平行向量两个方向相同或相反的向量，记作：。任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。规定：与任意向量平行。3向量的表示方法（1）始终点法（几何表示法）：如图向量； （2）单个字母表示法（代数表示法）：小写字母加上箭头，如从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面来刻划画向量，使数与形统一于向量之中，体现了数形结合的思想。二、向量的加、减法运算1、向量的加法求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）。（1） 向量加法的平行四边形法则；（2） 向量加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则
3、第一个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和 （3） 对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况。2、向量加法的性质（1）向量加法的交换律：；（2）向量加法的结合律：；（3）。3、向量的减法向量的减法是向量加法的逆运算（用加法的逆运算定义向量的减法）。若则叫做的差，记作。4、求作差向量已知向量，求作向量。作法：在平面内取一点，作可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。三、实数与向量的乘积1、实数与向量的积定义：实数与非零向量的积是一个向量，记作。它的模与方向规定如下：（1）实数与向量积的运算（1） 结合律：；（2） 分配律：2、单位向量定义：长度（模）为1个单
4、位长度的向量叫做单位向量。设是非零向量同方向的单位向量，则3、向量平行的充要条件与非向量平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数使得推论：的充要条件是存在实数四、应用举例：例1、如图，正六边形的中心为O，则与相等的向量相等的向量是 ，的负向量是 是 。的平行向量是 。例2、化简。例3、已知为非零向量，试判断下列各命题的真假？（1）是的充要条件；（2）与的方向相反，且的模是的模的倍。（3）与互为负向量；（4）因为的方向与相同，且大小为的2倍，所以；ABCD例4、（1）如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） （A） （B）（C） （D）（2）如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量（
5、） A.B. C. D. （3）是两个非零向量，分别是的单位向量，则下列命题正确的是（ ）。例5、（1）已知（2）在中，M为BC 的组中点，则_。（用表示）例6如图，分别是的中线，G为重心，且。例7、 已知，设为实数，如果，那么为何值时，三点在同一条直线上。例8、（1） 已知不平行，三点共线。（2） 在中（如图），若求证：例9、（2003年江苏高考题）是平面上一点， 是平面上不共线的三点，动点满足则的轨迹一定通过的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心例10、如图,OMAB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ;AOMPB
6、当时,的取值范围是 . 例11：证明不等式：，并应用此结论求函数的最大值。例12 某人骑摩托车以20km/h的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40km/h时，感到风从东南方向吹来，求实际风向和风速的大小。课后测试题：1设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）A BC D. 2已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）3在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）A BCD4设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）ABCD5.设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( )A.反向平行；B.同向平行；（C）.互相垂直；D.既不平行也不垂直