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1、5.3.2 5.3.2 命题、定理命题、定理青曲中学青曲中学 杨立刚杨立刚 学习目标：学习目标：（1）了解命题的概念以及命题的构成（如果那么的形式）（2）知道什么是真命题和假命题（3）知道什么是定理和证明。学习重点：学习重点：对命题结构的认识下列四个语句有什么共同点？下列四个语句有什么共同点？（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；这两条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；互补；（3）对顶角相等）对顶角相等;（4）等式两边加同一个数）等式两边加同一个数,结果仍是等式结果
2、仍是等式.这些语句都是对某一件事情作出这些语句都是对某一件事情作出“是是”或或“不不是是”的判断的判断.下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？断？哪些没有对事情作出判断？1 1、对顶角相等；、对顶角相等；2 2、画一个角等于已知角；、画一个角等于已知角；3 3、两直线平行，同位角相等；、两直线平行，同位角相等；4 4、a a、b b两条直线平行吗？两条直线平行吗？5 5、温柔的李明明；、温柔的李明明；6 6、玫瑰花是动物；、玫瑰花是动物；7 7、若、若a a2 24 4，求，求a a的值；的值；8 8、若、若a a2 2b
3、b2 2，则，则a ab b。否是否否是否是是对事情作了判断的语句是否正确？对事情作了判断的语句是否正确？2、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。断，那么它就不是命题。如：画线段如：画线段AB=CDAB=CD。判断一件事情的语句叫做判断一件事情的语句叫做命题命题。注意：注意：1、只要对一件事情作出了只要对一件事情作出了判断判断，不管正确与否，不管正确与否，都是都是命题命题。如：相等的角是对顶角。如：相等的角是对顶角。1、下列语句不是命题的是（、下列语句不是命题的是（）A、延长线段、延长线段AB B、自然数是整数、自然数是整数 C、
4、两个锐角的和是钝角、两个锐角的和是钝角 D、同角的补角相等、同角的补角相等疑问句、祈使句、感叹句等不是命题。疑问句、祈使句、感叹句等不是命题。A2 2）两条直线相交，有且只有一个交点（）两条直线相交，有且只有一个交点（）4 4）对顶角相等对顶角相等（）6 6）取线段）取线段ABAB的中点的中点C C；（；（）1 1）长度相等的两条线段是相等的线段吗）长度相等的两条线段是相等的线段吗?()?()7 7）画两条相等的线段（）画两条相等的线段（）2、判断下列语句是不是命题？是用判断下列语句是不是命题？是用“”，不是用不是用“表示。表示。3 3）不相等的两个角不是对顶角（）不相等的两个角不是对顶角（）
5、5 5）相等的两个角是对顶角（）相等的两个角是对顶角（）命题的形式？命题的形式？命题都由命题都由题设题设和和结论结论两部分组成。两部分组成。命题都可以写成下列形式：命题都可以写成下列形式：如果如果 ，那么，那么 命题的构成？命题的构成？2.2.结论结论是由已知事项推出的事项。是由已知事项推出的事项。1.1.题设题设是已知事项，是已知事项，“如果如果”引出的部分是引出的部分是题设题设，“那么那么”引出的部分是引出的部分是结结论论.题设题设结论结论如命题：熊猫没有翅膀。改写为：如命题：熊猫没有翅膀。改写为：如果如果这个动物是熊猫，这个动物是熊猫，那么那么它就没有翅膀。它就没有翅膀。注意：注意：添加
6、添加“如果如果”、“那么那么”后，后，命题的意命题的意义不能改变义不能改变，改写的，改写的句子要完整句子要完整，语句要通顺语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。1.如果同位角相等，那么两直线平行如果同位角相等，那么两直线平行.2.如果两直线平行，那么内错角相等如果两直线平行，那么内错角相等.3.如果如果ab，b c，那么，那么a c4.如果两个角不相等，那么这两个角不是对如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角顶角指指下面的命题下面的命题的题设和结论的题设和结论
7、:注意：注意：对于一个命题，如果题设对于一个命题，如果题设与结论不明显时，我们应该先将命题与结论不明显时，我们应该先将命题改写改写”如果如果，那么，那么“的形式。的形式。“如果如果”开始的部分是题设，开始的部分是题设，“那么那么”开始的部分是结论。开始的部分是结论。如：对顶角相等如：对顶角相等题设题设结论结论如果两个角是对顶角，那么这两个角相等如果两个角是对顶角，那么这两个角相等题设题设结论结论如果如果内错角相等，内错角相等，那么那么两直线平行；两直线平行；内错角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；题设题设结论结论有理数一定是自然数；有理数一定是自然数；如果如果一个数是有理数一个数是有理
8、数，那么那么这个数一定是自然数这个数一定是自然数。题设结论两条直线平行，同位角相等两条直线平行，同位角相等.如果如果两条直线平行，两条直线平行，那么那么同位角相等同位角相等.题设结论相等的两个角，一定是对顶角相等的两个角，一定是对顶角.如果如果两个角相等，两个角相等，那么那么这两个角一定是对顶角。这两个角一定是对顶角。题设结论例例1、指、指下面的命题下面的命题的题设和结论，并的题设和结论，并改改写成写成“如果如果那么那么”的形式。的形式。1、两直线平行，同旁内角互补。、两直线平行，同旁内角互补。2、邻补角是互补的角。、邻补角是互补的角。3、小于直角的角是锐角。、小于直角的角是锐角。4、等角的补
9、角相等。、等角的补角相等。5、平行于同一条直线的两条直线平行。、平行于同一条直线的两条直线平行。练习：指出下列命题的题设和结论练习：指出下列命题的题设和结论,并改写并改写 成成“如果如果那么那么”的形式的形式.(1)(1)两直线平行，同位角相等；两直线平行，同位角相等；(2)(2)等角的余角相等等角的余角相等(3)(3)相等的角是对顶角相等的角是对顶角(4)(4)三个内角都等于三个内角都等于6060的三角形是的三角形是 等边三角形等边三角形(5)(5)垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行 6 6、对顶角相等；、对顶角相等；7 7、内错角相等；、内错角相等；8 8、两平线
10、被第三直线所截，同位角相等；、两平线被第三直线所截，同位角相等；9 9、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形的两个锐角互余；10 10、正数与负数的和为、正数与负数的和为0 0。有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；有些命题如果题设成立，那么结论一定成立；而有些命题题设成立时，结论不一定成立。而有些命题题设成立时，结论不一定成立。如命题：如命题：“如果两个角互补，那么它们是如果两个角互补，那么它们是邻补角邻补角”就是一个就是一个错误错误的命题。的命题。如命题：如命题：“如果一个数能被如果一个数能被4整除，那么它整除，那么它也能被也能被2整除整除”就是一个就是一个正确正确的命题。的命题。如果如
11、果题设成立题设成立，那么，那么结论一定成立结论一定成立，这样的一些命题叫做这样的一些命题叫做真命题真命题。如果如果题设成立题设成立时，时，不能保证结论一定成立不能保证结论一定成立，它就是它就是错误错误的命题，像这样的命题叫做的命题，像这样的命题叫做假命题假命题2.真命题与假命题真命题与假命题正确的命题叫正确的命题叫真命题真命题，错误的命题叫，错误的命题叫假命题假命题。确定一个命题真假的方法：确定一个命题真假的方法：利用已有的知识，通过利用已有的知识，通过观察观察、验证验证、推理推理、举反例举反例等方法。等方法。例例2、哪些是真命题，哪些是假命题？、哪些是真命题，哪些是假命题？1 1）一个角的补
12、角大于这个角）一个角的补角大于这个角2 2）相等的两个角是对顶角）相等的两个角是对顶角3 3）两点可以确定一条直线）两点可以确定一条直线4 4）若）若A=BA=B，则，则2A=2B2A=2B5 5）锐角和钝角互为补角）锐角和钝角互为补角6 6）两点之间线段最短）两点之间线段最短7 7）同角的余角相等）同角的余角相等（假命题）（假命题）（假命题）（假命题）（真命题）（真命题）（真命题）（真命题）（假命题）（假命题）（真命题）（真命题）（真命题）（真命题）（9）如果两个角互补，那么它们是邻补）如果两个角互补，那么它们是邻补角角 .（10）如果一个数能被）如果一个数能被2整除，那么它也整除，那么它也
13、能被能被4整除整除.注：注：判断一个命题是假命题时要判断一个命题是假命题时要举反例举反例8）同位角相等）同位角相等（假命题）（假命题）（假命题）（假命题）（假命题）（假命题）判断一个命题是假命题的方法：判断一个命题是假命题的方法：“举反例举反例”例如：例如：证明：证明：“一个锐角与一个钝角的和等于一个一个锐角与一个钝角的和等于一个平角平角”是假命题。是假命题。只需举一反例：只需举一反例：锐角锐角3030，钝角，钝角120120，它们的和就不等于，它们的和就不等于180180，所以：这个命题是假命题，所以：这个命题是假命题下列句子哪些是命题？是命题的，指出下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命
14、题还是假命题？是真命题还是假命题？1 1、猪有四只脚；、猪有四只脚；2 2、内错角相等内错角相等；3 3、画一条直线；、画一条直线；4 4、四边形是正方形；、四边形是正方形；5 5、你的作业做完了吗？你的作业做完了吗？6 6、同位角相等，两直线平行；、同位角相等，两直线平行；7 7、对顶角相等；、对顶角相等；8 8、同垂直于一直线的两直线平行同垂直于一直线的两直线平行；9 9、过点、过点P P画线段画线段MNMN的垂线；的垂线；1010、x x2 2是是真命题真命题否否是是假假命题命题是是假假命题命题否否是是真真命题命题是是真真命题命题是是假假命题命题否否否否指出下列命题的题设和结论，并说明其
15、真假性。指出下列命题的题设和结论，并说明其真假性。（1）如果）如果AB CD，垂足是，垂足是O，那么，那么 AOC=90。（2）两直线平行）两直线平行,同位角相等同位角相等.（3）如果两个角互补，那么它们是邻补角）如果两个角互补，那么它们是邻补角.（4）如果一个数能被）如果一个数能被2整除，那么它也能被整除，那么它也能被4整除整除.解解：（：（1）题设是题设是“AB CD，垂足是，垂足是O”，结论是，结论是“AOC=90”.（2）题设是题设是“两直线平行两直线平行”，结论是，结论是“同位角相等同位角相等”.(3)题设是题设是“两个角互补两个角互补”，结论是，结论是“它们是邻补角它们是邻补角”.
16、(4)题设是题设是“一个数能被一个数能被2整除整除”，结论是，结论是“它也能被它也能被4整除整除”.1 1、数学中有些命题的正确性是数学中有些命题的正确性是人们在人们在长期实践中总结长期实践中总结出来的，出来的，并把它们并把它们作为判断其他命题真假的原始依据作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做，这样的真命题叫做公理公理。2 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理逻辑推理的方法的方法判断它们是正确的，并且可以判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的进一步作为判断其他命题真假的依据依据，这样的真命题叫做，这样的真命题叫做
17、定理定理。公理公理和和定理定理都可作为判断其他命题真假的都可作为判断其他命题真假的依据依据。3 3、公理、定理、证明、公理、定理、证明（它们是不需要证明的基本事实）（它们是不需要证明的基本事实）（它们是需要证明其正确性后才能用）（它们是需要证明其正确性后才能用）3、在许多情况下，一个、在许多情况下，一个命题的正确性命题的正确性需要需要经过推理经过推理，才能作出判才能作出判断断，这个，这个推理过程推理过程叫做叫做证明证明。下面我们以证明命题下面我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条。条平行线中的一条，那么它也垂直
18、于另一条。”你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？论吗？命题命题 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.已知：已知：bc，ab 求证：求证：ac 请同学们思考如何利用已经学过的定义定理请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？来证明这个结论呢？已知：已知：bc，ab 求证：求证：ac ab（已知）（已知），又又 bc（已知），（已知），1=2（两直（两直线线平行，同位角相等）平行，同位角相等）.2=90（等量代（等量代换换）1
19、=90 （垂直的定（垂直的定义义）ac（垂直的定（垂直的定义义）证明证明：过两点有且只有一条直线过两点有且只有一条直线.2)2)线段公理：线段公理：两点之间，线段最短两点之间，线段最短.4)4)平行线判定公理：平行线判定公理：同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行.5)5)平行线性质公理：平行线性质公理：两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等.1)1)直线公理：直线公理：3)3)平行公理：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行直线与已知直线平行.公理举例：公理举例：同角或等角的补角相等。同角或等角的补角相等。2、余角的性质：、余角的性质
20、：同角或等角的余角相等。同角或等角的余角相等。4、垂线的性质：、垂线的性质：过一点有且只有一条直线过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；与已知直线垂直；5、平行公理的推论：、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直直线平行，那么这两条直线也互相平行。线也互相平行。1、补角的性质：、补角的性质：3、对顶角的性质：、对顶角的性质：对顶角相等。对顶角相等。垂线段最短。垂线段最短。定理举例：定理举例：内错角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。6、平行线的判定定理：、平行线的判定定理：7、平行线的性质定理
21、：、平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。定理举例：定理举例：1)1)每个命题都是由题设、结论两部分组成每个命题都是由题设、结论两部分组成.1 1.定义：判断一件事情的语句判断一件事情的语句.2)2)命题常写成命题常写成“如果如果那么那么”的形的形式式.2)2)假命题：错误的命题假命题：错误的命题.1)1)真命题：正确的命题；真命题：正确的命题；2.构成：3.分类：一、命题一、命题 二、公理：二、公理：人们长期以来在实践中总结人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据出来的，并作为判断其他命题真假
22、的根据的命题，叫做的命题，叫做公理公理。三、定理：三、定理：经过推理论证为正确的命经过推理论证为正确的命题叫题叫定理定理。也可作为继续推理的依据。也可作为继续推理的依据。四、判断一个命题是真命题，可以从四、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用公理或定理出发，用逻辑推理逻辑推理的方法证的方法证明（明（公理和定理都是真命题公理和定理都是真命题）；）；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例举反例。点拨质疑：点拨质疑：一，命题必须是一，命题必须是”对某件事情作出判断对某件事情作出判断“的语句，的语句，重在重在“作出判断作出判断”。二、假命题与命题的区别。不要误以为作出错误二、假命题与命题的区别。不要误以为作出错误判断的语句（即假命题），就不是命题。判断的语句（即假命题），就不是命题。三、命题的题设和结论不包括三、命题的题设和结论不包括“如果如果”和和“那么那么”。四、区分不出命题的题设和结论时，就把命题写四、区分不出命题的题设和结论时，就把命题写成成“如果如果那么那么”的形式。的形式。五、凡是定理都是真命题。五、凡是定理都是真命题。