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1、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第第2 2章章 一元函一元函数微分数微分学学高等数学高等数学A A2.1 2.1 导数及微分导数及微分2.1.9 高阶导数高阶导数2.1.10 隐函数的求导法则隐函数的求导法则 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加
2、赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.1 2.1 导数及微分导数及微分2.1.9 2.1.9 高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数 高阶导数定义与记号高阶导数定义与记号高阶导数定义与记号高阶导数定义与记号简单函数高阶导数的习例简单函数高阶导数的习例简单函数高阶导数的习例简单函数高阶导数的习例1-51-5高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则习例高阶导数的运算法则习例6-82.1.10 2.1.10 隐函数
3、的求导法则隐函数的求导法则隐函数的求导法则隐函数的求导法则隐函数的求导法则隐函数的求导法则隐函数的求导数习例隐函数的求导数习例9-14内容小结内容小结课堂思考与练习课堂思考与练习导导数数及及微微分分间接法间接法直接法直接法经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一、一、高阶导数的定义与记号高阶导数的定义与记号问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义:即即经营
4、者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用记号与求导过程记号与求导过程:类似地，类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数的二阶导数的导数叫做三阶导数.记为记为称二阶、三阶称二阶、三阶n阶导数为高阶导数阶导数为高阶导数.y=f(x)的三阶导数的导数叫做四阶导数的三阶导数的导数叫做四阶导数.记为记为y=f(x)的的n-1阶导数的导数叫做阶导数的导数叫做n阶导数阶导数.经营者提供商
5、品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用注意：注意：(2)高阶导数是在低一阶导数的基础上定义的，故求高高阶导数是在低一阶导数的基础上定义的，故求高 阶导数得先求出各低阶导数阶导数得先求出各低阶导数.(3)物体运动的加速度，是距离函数关于时间的二阶导物体运动的加速度，是距离函数关于时间的二阶导 数数,即即经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的
6、金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 一个函数的导函数不一定再可导一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连也不一定连续续.如果函数如果函数 f(x)在区间在区间 I 上上有直到有直到 n 阶的导数阶的导数 f(n)(x),且且 f(n)(x)仍是连续的仍是连续的(此时低于此时低于 n 阶的导阶的导数均连续数均连续),则称则称 f(x)在区间在区间 I 上上 n 阶连续可导阶连续可导,记为记为 如果如果 f(x)在区间在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存上的任意
7、阶的高阶导数均存在且连续在且连续,则称函数则称函数 f(x)是无穷次连续可导的是无穷次连续可导的,记为记为说明：说明：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用二、二、简单函数高阶导数的习例简单函数高阶导数的习例1.直接法直接法 由低阶向高阶逐步求高阶导数由低阶向高阶逐步求高阶导数.例例4 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金
8、额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解解:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用练习练习:1.y=(ax+b)n 的高阶导数的高阶导数当当kn+1时，时，y(k)=0解解：当：当 1kn 时时经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的
9、要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解解:注意：注意：求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结分析结果的规律性果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损
10、失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解：解：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解解思考思考:例例4 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务
11、的费用类似地，有类似地，有So easy经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2.间接法间接法 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则运算通过四则运算,变量代换等变量代换等方法方法,求出求出n阶导数阶导数.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺
12、诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例5 5例例6 6例例7 求求2.间接法求高阶导数间接法求高阶导数 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例5 5解解利用公式经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品
13、或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例6 6解解经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例7 求求解解 由于由于故故经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者
14、的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用三、三、高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则 定理定理1：如果如果u=u(x),v=v(x)都在点都在点x处具有处具有n阶导数阶导数,则则 公式公式(2)称为称为Leibniz(莱布尼兹莱布尼兹)公式公式.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用注意注意:求高阶导数的方法可归纳为三种求高阶导数的方法
15、可归纳为三种方法方法1(直接法直接法):即利用高阶导数的定义，再由不完全归即利用高阶导数的定义，再由不完全归 纳法得出结论纳法得出结论.方法方法3:即利用高阶导数的运算法则来得结论即利用高阶导数的运算法则来得结论.方法方法2(间接法间接法):即利用已知的高阶导数公式即利用已知的高阶导数公式,通过四则通过四则 运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消
16、费者购买商品的价款或接受服务的费用四、高阶导数的运算法则习例四、高阶导数的运算法则习例例例9 9例例1010经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解：解：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为
17、消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例9 9解解经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例1010解解经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解解：注意，：
18、注意，y,y是是y对对x的导数，而的导数，而导数导数.由复合函数及反函数的求导法则，得由复合函数及反函数的求导法则，得是求是求x对对y的的经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的
19、损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用五、隐函数的求导法则五、隐函数的求导法则定义定义:隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.值得注意的是：值得注意的是：在求导过程中，若在求导过程中，若x为自变量，则为自变量，则y是是x的函数，关于的函数，关于y的其他形式都是复合函数的其他形式都是复合函数.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服
20、务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用如果由方程如果由方程F(x,y)=0确定隐函数确定隐函数y=f(x)可导，可导，则将则将y=f(x)代入方程中，得到代入方程中，得到F(x,f(x)0对上式两边关于对上式两边关于x求导：求导：然后，从这个式子中解出然后，从这个式子中解出y，就得到隐函数的导数。，就得到隐函数的导数。隐函数求导法则隐函数求导法则:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服
21、务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用六六、隐函数的求导数习例隐函数的求导数习例经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解解:方程两边对方程两边对x求导得求导得,求二阶导数有两个方法求二阶导数有两个方法:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买
22、商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用方法方法 1.方法方法 2.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解解:所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消
23、费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用内容小结内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法 利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式1.高阶导数的求法2.隐函数求导法则直接对方程两边求导经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用思考题：思考题：
24、习题习题2.1第第1题（题（10）到（）到（12）思考题参考答案思考题参考答案课堂练习：课堂练习：习题习题2.1第第19题到第题到第22题题练习参考答案练习参考答案经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 1.设设 连续，且连续，且 ，求求 .可导可导不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求解解 练习题练习题 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受
25、到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 2 已知已知任意阶可导任意阶可导,且且时时提示提示:则当则当经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 3.证明证明f(x)=arcsinx满足下式满足下式证证：经营者提供商品或者服务有欺
26、诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用对上式关于对上式关于x求导求导n次：次：故故即即经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 4.设设求求解解:即即用莱布尼兹公式求用莱布尼兹公式求 n 阶导数阶导数令令得得由由得得即即由由得得经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用