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1、3.4 3.4 隐函数的求导及高阶导数隐函数的求导及高阶导数 3.4.1 3.4.1 隐函数的导数隐函数的导数 定义定义所确定的函数所确定的函数称为称为隐函数隐函数.的形式称为的形式称为显函数显函数.开普勒方程开普勒方程的隐函数客观存在的隐函数客观存在,但无法将但无法将y y表达成表达成x x的显的显式表达式式表达式.例例解解 将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导,得得求导时要用复合函数求导法求导时要用复合函数求导法,注意：注意：x 是自变量，是自变量，y 是是x的函数的函数例例解解将方程两边对将方程两边对x求导求导,得得解出解出得得例例解解切线方程切线方程法线方程法线方程通过原点通过原
2、点.作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍对数介绍对数求导法，求导法，它可以利用对数性质使某些函数的求它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单导变得更为简单.方法方法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导法求出导数的求导法求出导数.3.4.2 3.4.2 对数求导法对数求导法 例例解解 等式两边取对数得等式两边取对数得 隐函数隐函数例例解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例两边取对数两边取对数两边对两边对x求导求导解解解解解解问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义二阶导数二阶导数.记作记作3.4.
3、3 3.4.3 高阶导数高阶导数 三阶导数的导数称为三阶导数的导数称为二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为高阶导数高阶导数.三阶导数三阶导数,四阶导数四阶导数,n阶导数阶导数,记作记作一般地一般地,例例解解例例解解则则例例解解例例解解例例解解同理可得同理可得例例解解 分析分析此函数是此函数是6次多项式次多项式,又是求又是求6阶导数阶导数,故不需将函数因式全乘出来故不需将函数因式全乘出来.因为因为其中其中为为 x 的的 5 次多项式次多项式,例例解解将上面方程两边再对将上面方程两边再对高阶导数及其物理意义高阶导数及其物理意义小小 结结隐函数求导法则隐函数求导法则对数求导法对数求导法对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导.注意注意:y 是是 x 的函数的函数.将方程两边对将方程两边对x求导求导.解答解答可导可导不一定存在不一定存在,用定义用定义思考题思考题