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1、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导重点：求导法则、高阶导数的定义难点：高阶导数的具体求法关键：高阶导数的求导顺序1/9/20231泰山医学院信息工程学院 刘照军第三节第三节 高阶导数高阶导数1.1.如果如果 的导数存在，称为的导数存在，称为 的二阶导数的二阶导数 记作：记作：，或或 2.2.仍是仍是x的函数，还可以进一步考虑的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数有三阶导数 或或 ，四阶导数四阶导数 或或 ，n n阶导数阶导数 或或 .一、基本概念1/9/20232泰山医学院信息工程学院 刘照军3.3.f(x)在在x处处有有n阶阶导导数数，那那么么 在在x的的某某一一邻邻域域内内必必定定具具有有一
2、一切切低低于于n阶阶的的导导数数；二二阶阶及及二二阶阶以以上上的的导导数数统统称称高高阶导数阶导数4.4.问题：如何求函数的高阶导数？问题：如何求函数的高阶导数？一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则高阶导数应用举例高阶导数应用举例解解 例例1 1 y=ax+b,求求 例例2 2 求求 解解 1/9/20233泰山医学院信息工程学院 刘照军 例例3 3 证明证明:函数函数 满足关系式满足关系式证证 将将 求导求导,得得2、应用1/9/20234泰山医学院信息工程学院 刘照军于是于是下面介绍几个初等函数的下面介绍几个初等函数的n阶导数阶导数例例4 4 求指数函数求指数函数 的的n阶导数
3、阶导数解解一般地一般地,可得可得即即例例5 5 求正弦与余弦函数的求正弦与余弦函数的n阶导数阶导数1/9/20235泰山医学院信息工程学院 刘照军解解一般地一般地,可得可得即即1/9/20236泰山医学院信息工程学院 刘照军用用类似方法类似方法,可得可得例例6 6 求对数函数求对数函数ln(1+(1+x)的的n n阶导数阶导数解解一般地一般地,可得可得即即通常规定通常规定0!=1,0!=1,所以这个公式当所以这个公式当n=1=1时也成立时也成立.1/9/20237泰山医学院信息工程学院 刘照军例例7 7 求幂级数的求幂级数的n阶导数公式阶导数公式解解那么那么一般地一般地,可得可得即即1/9/2
4、0238泰山医学院信息工程学院 刘照军高阶导数运算法则高阶导数运算法则(3)(3)称为莱布尼兹公式称为莱布尼兹公式1/9/20239泰山医学院信息工程学院 刘照军例例8 8 解解代入莱布尼茨公式代入莱布尼茨公式,得得1/9/202310泰山医学院信息工程学院 刘照军第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率重点：隐含数、参数方程求导方法难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导数的特别注意参数方程的高阶导数的求法。求法。1/9/202311泰山医学院信息工程学院 刘照军第四节第四节 隐函数及
5、由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率三、相关变化率的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率四、小节四、小节五、作业五、作业1/9/202312泰山医学院信息工程学院 刘照军一、隐函数的导数一、隐函数的导数1 1 复习复习:函数的表示法函数的表示法 1.1.直接表示直接表示:解析式解析式 y=f(x)xD,这样描述的函数称为显函数这样描述的函数称为显函数2 2 间接表示间接表示 (1)(1)由一个方程由一个方程F(x,y)=0)=0 所确定的函数所确定的函数 例例 可确定函数可
6、确定函数 ,(2)(2)由两个方程确定由两个方程确定(带一个中间变量带一个中间变量)参数方程参数方程:t t是参数是参数 方法方法(1)(1)表示的函数称为隐函数表示的函数称为隐函数.把一个隐函数化成显函数把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化叫做隐函数的显化.1/9/202313泰山医学院信息工程学院 刘照军2 2 隐函数的定义隐函数的定义一般地一般地,如果变量如果变量x和和y满足一个方程满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下在一定条件下当当x取某区间内的任一值时取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一相应地总有满足这方程的唯一的的y值存在值存在,那么就说方程那么就说方程F(x
7、,y)=0在该区间内确定了一个隐在该区间内确定了一个隐函数函数例例1 1 求由方程求由方程 所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数解解 我们把方程两边分别对我们把方程两边分别对x求导数求导数,注意注意y=y(x),方程左边对方程左边对x求导得求导得方程右边对方程右边对x求导得求导得所以所以1/9/202314泰山医学院信息工程学院 刘照军从而从而注意注意:在这个结果中在这个结果中,分式中的分式中的y=y(x)是由方程是由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数例例2 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数x=0处的处的 导数导数因为当因为当x=0时时,从原方程得从原方程得y=0,所以所以解
8、解 把方程两边分别对把方程两边分别对x求导求导,由于方程两边的导数相等由于方程两边的导数相等,由此得由此得所以所以 1/9/202315泰山医学院信息工程学院 刘照军例例3 求椭圆求椭圆 在点在点 处的切线方程处的切线方程(图图2-6)解解 由导数的几何意义知道由导数的几何意义知道,所求切线的斜率所求切线的斜率为为椭圆方程的两边分别对椭圆方程的两边分别对x求导求导,有有从而从而当当x=2时时,代入上式得代入上式得于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为即即1/9/202316泰山医学院信息工程学院 刘照军例例4 求由方程求由方程 所确定的隐函数的二阶导数所确定的隐函数的二阶导数解解 应用隐函数
9、的求导方法应用隐函数的求导方法,得得于是于是上式两边再对上式两边再对x求导求导,得得上式上式右端分式中的右端分式中的y=y(x)是由方程是由方程 所确所确定的隐函数定的隐函数1/9/202317泰山医学院信息工程学院 刘照军3.对数求导法对数求导法*方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求然后利用隐函数的求导方法求出导数出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:下面通过例子来说明这种方法下面通过例子来说明这种方法例例5解解等式两边取对数得等式两边取对数得1/9/202318泰山医学院信息工程学院 刘照军一般地一般地1/9/202319泰山医学院信息工程学
10、院 刘照军幂指幂指函数函数 也可表示成也可表示成这样这样,便可直接求得便可直接求得1/9/202320泰山医学院信息工程学院 刘照军例例6 求求 的导数的导数解解 用下面方法，使计算简单用下面方法，使计算简单 两边取对数两边取对数(假定假定 x4),得得两边对两边对x求导求导于是于是1/9/202321泰山医学院信息工程学院 刘照军当当2x3时时,用直接计算的方法可得与上面相同的结果。用直接计算的方法可得与上面相同的结果。当当x1时时,1/9/202322泰山医学院信息工程学院 刘照军例7 解：1/9/202323泰山医学院信息工程学院 刘照军二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确
11、定的函数的导数求导方法求导方法1/9/202324泰山医学院信息工程学院 刘照军由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得1/9/202325泰山医学院信息工程学院 刘照军1/9/202326泰山医学院信息工程学院 刘照军例例8 8 已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为求求椭圆在椭圆在 相应的点处的切线方程相应的点处的切线方程解解 当当 时时,椭圆上的相应点椭圆上的相应点 的坐标是的坐标是:1/9/202327泰山医学院信息工程学院 刘照军 曲线在曲线在 点的切线斜率为点的切线斜率为:代入点斜式方程代入点斜式方程,即得椭圆在点即得椭圆在点 处的切线方程处的切线方程化简后得
12、化简后得1/9/202328泰山医学院信息工程学院 刘照军例例9 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为已知抛射体的运动轨迹的参数方程为 求求抛射体在时刻抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向解解 先求速度的大小先求速度的大小由于速度的水平分量为由于速度的水平分量为铅直分量为铅直分量为所以抛射体运动速度的大小为所以抛射体运动速度的大小为1/9/202329泰山医学院信息工程学院 刘照军在求在求速度的方向速度的方向,也就是轨迹的切线方向也就是轨迹的切线方向设设 是切线的倾角是切线的倾角,则根据导数的几何意义则根据导数的几何意义,得得所以所以,在抛射体刚射出在抛射体刚射出(即即t=0
13、)时时,当当 时时这时这时,运动方向是水平的运动方向是水平的,即抛物体达到最高点即抛物体达到最高点1/9/202330泰山医学院信息工程学院 刘照军例例10 计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程所所确定的函数确定的函数y=y(x)的二阶导数的二阶导数解解1/9/202331泰山医学院信息工程学院 刘照军三、相关变化率三、相关变化率相关变化率的定义相关变化率的定义:1/9/202332泰山医学院信息工程学院 刘照军解解仰角增加率仰角增加率即观察员视线的仰角增加率是即观察员视线的仰角增加率是0.14rad/min1/9/202333泰山医学院信息工程学院 刘照军四、小节 本节主要讲述了高阶导数的求法、隐含数求导、参数方程求导问题，在具体应用时，注意变换关系。1/9/202334泰山医学院信息工程学院 刘照军五、作业 CT2-3 P103 1 8)9）11)12)CT2-4 p111 3 3)4)4*101/9/202335泰山医学院信息工程学院 刘照军