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1、2022/11/171应用导数应用导数(do sh)研究函研究函数性态数性态局部性态局部性态 未定型极限未定型极限(jxin)函数的局部近似函数的局部近似整体性态整体性态 在某个区间上在某个区间上 函数的单调性、函数的极值函数的单调性、函数的极值(j zh)函数的凸性、渐近性、图形函数的凸性、渐近性、图形第一页，共44页。2022/11/172微分中值定理微分中值定理(dngl)，包括：，包括：罗尔定理罗尔定理(dngl)、拉格朗中值、拉格朗中值定理定理(dngl)、柯西中值定理柯西中值定理(dngl)、泰勒中、泰勒中值定理值定理(dngl)微分中值定理是微分学的理论基础。是微分中值定理是微分
2、学的理论基础。是利用导数研究利用导数研究(ynji)函数性质的理论依据。函数性质的理论依据。微分中值定理微分中值定理(dngl)的共同特点是：的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区间在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质。某种微分性质。第二页，共44页。2022/11/173第十讲第十讲 微分微分(wi fn)(wi fn)中中值定理值定理一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理(dngl)二、罗尔二、罗尔(Rolle)定理定理(dngl)三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理四、柯西
3、四、柯西(Cauchy)定理定理第三页，共44页。2022/11/174一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理(dngl)（一）极值（一）极值(j zh)的定义：的定义：第四页，共44页。2022/11/175极值的研究极值的研究(ynji)是微积分产生的主要动是微积分产生的主要动力之一力之一第五页，共44页。2022/11/176（二）费尔马定理（二）费尔马定理(dngl)(极值必要极值必要条件条件)第六页，共44页。2022/11/177第七页，共44页。2022/11/178证证第八页，共44页。2022/11/179第九页，共44页。2022/11/1710微分微分(wi fn)
4、中值定理中值定理的引入的引入(第十页，共44页。2022/11/1711第十一页，共44页。2022/11/1712第十二页，共44页。2022/11/1713第十三页，共44页。2022/11/1714二、罗尔二、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理(dngl)(dngl)第十四页，共44页。2022/11/1715三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理(dngl)第十五页，共44页。2022/11/1716四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理(dngl)第十六页，共44页。2022/11/1717怎样怎样(znyng)证明罗证明罗尔定理尔定理？先利用先利用(lyng)
5、形象思维形象思维去找出一个去找出一个C点来！点来！想到利用想到利用(lyng)闭区间上连闭区间上连续函数续函数的最大最小值定理！的最大最小值定理！第十七页，共44页。2022/11/1718罗尔定理罗尔定理(dngl)的证明：的证明：第十八页，共44页。2022/11/1719第十九页，共44页。2022/11/1720怎样证明怎样证明(zhngmng)拉格朗拉格朗日定理日定理？拉格朗日定理若添加拉格朗日定理若添加(tin ji)条件条件:则收缩则收缩(shu su)为罗为罗尔定理；尔定理；罗尔定理若放弃条件罗尔定理若放弃条件:则推广为拉格朗日定理。则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵循的规律之
6、一就是将欲探知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的索的新问题新问题转化为已掌握的转化为已掌握的老问题老问题。即。即 寻求未知事物通向已知领域的寻求未知事物通向已知领域的“桥桥”！因此想到利用罗尔定理！因此想到利用罗尔定理！第二十页，共44页。2022/11/1721满足满足(mnz)罗尔定理条件罗尔定理条件桥桥第二十一页，共44页。2022/11/1722拉格朗日定理拉格朗日定理(dngl)的证明：的证明：构造辅助构造辅助(fzh)函数函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式(gngsh)第二十二页，共44页。2022/11/1723拉格朗日公式拉格朗日公式(gngsh)(gngsh)各种形式各种
7、形式第二十三页，共44页。2022/11/1724第二十四页，共44页。2022/11/1725推论推论1：证证第二十五页，共44页。2022/11/1726推论推论2：推论推论3：推论推论4：第二十六页，共44页。2022/11/1727柯西中值定理柯西中值定理(dngl)的的证明：证明：构造辅助构造辅助(fzh)函数函数第二十七页，共44页。2022/11/1728费尔马定理费尔马定理(dngl)罗尔定理罗尔定理(dngl)拉格朗日定理拉格朗日定理(dngl)柯西定理柯西定理第二十八页，共44页。2022/11/1729零点零点(ln(ln din)din)问题问题以下证明以下证明(zhn
8、gmng)恰恰好有三个根好有三个根该方程实根个数该方程实根个数就是两条曲线就是两条曲线第二十九页，共44页。2022/11/1730首先证明首先证明(zhngmng)至至少有三个根少有三个根计算计算(j sun)表明表明根据根据(gnj)介介值定理值定理因此方程至少有三个根因此方程至少有三个根然后证明方程最多有三个根然后证明方程最多有三个根用反证法用反证法 第三十页，共44页。2022/11/1731根据根据(gnj)洛洛尔定理尔定理矛盾矛盾(modn)！综上所述，方程综上所述，方程(fngchng)恰好有恰好有三个实根三个实根第三十一页，共44页。2022/11/1732直观观察直观观察(g
9、unch)(gunch)可可以启发思路以启发思路在第一种情形在第一种情形,都不是最小值都不是最小值所以最小值一定所以最小值一定(ydng)在区间内在区间内部达到部达到第三十二页，共44页。2022/11/1733证证第三十三页，共44页。2022/11/1734证明证明(zhngmng)(zhngmng)思思路直观分析路直观分析 例例33第三十四页，共44页。2022/11/1735证证根据根据(gnj)连续连续函数的最大最小值函数的最大最小值定理定理第三十五页，共44页。2022/11/1736证证第三十六页，共44页。2022/11/1737第三十七页，共44页。2022/11/1738证证第三十八页，共44页。2022/11/1739第三十九页，共44页。2022/11/1740证证第四十页，共44页。2022/11/1741第四十一页，共44页。2022/11/1742第四十二页，共44页。2022/11/1743第四十三页，共44页。2022/11/1744结束结束(ji(ji shsh)放映放映第四十四页，共44页。