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1、上页上页下页下页返回返回2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理一、罗尔（一、罗尔（Rolle）定理）定理二、拉格朗日（二、拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理三、柯西（三、柯西（Cauchy）中值定理）中值定理上页上页下页下页返回返回 微分中值定理是微分学的理论基础微分中值定理是微分学的理论基础;是利用导数研究函数性质的理论依据是利用导数研究函数性质的理论依据.微分中值定理的共同特点是：微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下，可以断定在所给区在一定的条件下，可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质具有某种微分性质.2
2、.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回一、罗尔一、罗尔（Rolle）定理定理定理定理1 （费马引理）（费马引理）有定义有定义,如果对如果对 有有 那么那么内内的某邻域的某邻域在点在点设函数设函数)()(00 xUxxf,)(0存在存在且且xf 费马费马(1601 1665)法国数学家法国数学家xyO几何解释几何解释如右图，如右图，曲线过曲线过x0点有水平切线点有水平切线.2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回证证设在设在x0 附近，附近，则当则当 时，时，由极限的保号性，由极限的保号性，xyO2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页
3、下页返回返回定理定理2 （罗尔定理）（罗尔定理）(1)(2)(3)使得使得在一条光滑的平面曲线弧在一条光滑的平面曲线弧AB上上,至少有至少有平行于平行于x轴轴.一点处的切线一点处的切线几何解释几何解释2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回证证则最值不可能同时在端点取得则最值不可能同时在端点取得.使使由费马引理由费马引理,在闭区间在闭区间a,b上连续，则上连续，则.)(mM1=若若.)(mM2 若若2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回定理条件不满足定理条件不满足,结论不一定成立结论不一定成立.注注定理条件只是充分的定理条件只是充分的.2.6
4、2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回例例1 求证方程求证方程 在在 有唯一实根有唯一实根.证证 即为方程的实根即为方程的实根.根的存在性根的存在性设设则则 在在 连续，连续，由零点定理，由零点定理，2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件.根的唯一性根的唯一性假设另有假设另有矛盾矛盾,故方程在故方程在 内有唯一实根内有唯一实根.2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回二、拉格朗日二、拉格朗日（Lagrange）中值定理中值定理定理定理3 （拉格朗日中值定理）（拉格朗日中值定理）(1)(2)使
5、得使得;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba;),(内可导内可导在开区间在开区间ba或写成或写成拉格朗日拉格朗日(1736 1813)法国数学家法国数学家拉格朗日拉格朗日中值公式中值公式2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回几何解释几何解释:思路分析思路分析在该点处的切线在该点处的切线平行于弦平行于弦弦弦AB所在的直线方程为所在的直线方程为曲线弧曲线弧AB与弦与弦AB在端点处值相同，在端点处值相同，对应方程之差即可满足罗尔定理的条件，对应方程之差即可满足罗尔定理的条件，2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回证证作辅助函数作辅助函数所以所以,)(
6、上连续上连续在闭区间在闭区间baxF且且2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回 若拉格朗日中值定理中的条件变为若拉格朗日中值定理中的条件变为;),(内可导内可导在开区间在开区间ba在在a点右连续，在点右连续，在b点左连续；点左连续；注注(1)(2)若若则由拉格朗日中值公式则由拉格朗日中值公式有限增量公式有限增量公式结论仍然成立结论仍然成立.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况.2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回推论推论1如果函数在某个区间内的导数恒为零，如果函数在某个区间内的导数恒为零，则函数在该区间上
7、是一个常数则函数在该区间上是一个常数.证证由条件由条件,即在即在区间内任意两点的函数值都相等，区间内任意两点的函数值都相等，所以函数为常数所以函数为常数.则由拉格朗日中值定理，有则由拉格朗日中值定理，有21,xx在区间在区间内任取两点内任取两点),()(21xfxf=得得2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回推论推论2如果两个函数如果两个函数f(x)、g(x)在某个区间内的在某个区间内的导数存在且恒相等，导数存在且恒相等，区间内，区间内，则在该则在该（C是一个常数）是一个常数）证证 令令则则由推论由推论1可知，在此区间内可知，在此区间内故故2.6 2.6 微分中值定理
8、微分中值定理上页上页下页下页返回返回例例2证明：证明：当当时，时，证证 设设由推论由推论1，又又故等式成立故等式成立.则则2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回例例3证明：证明：对于所有的对于所有的x、y，不等式，不等式成立成立.证证设设在在x、y之间用拉格朗日中值定理，之间用拉格朗日中值定理，存在存在 介于介于x、y之间，使得之间，使得又又故故得得2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回三、柯西（三、柯西（Cauchy）中值定理）中值定理定理定理4 （柯西中值定理）（柯西中值定理）(1)(2)使得使得柯西柯西(1789-1859)法国数学家法
9、国数学家若函数若函数 及及 满足：满足：2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回几何解释几何解释:证证 作辅助函数作辅助函数则则 满足罗尔定理的条件，满足罗尔定理的条件，使使2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回即即故故特别地，特别地，若若拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况.2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回例例4证证 要证明的结论可变形为要证明的结论可变形为即即满足柯西中值定理的条件满足柯西中值定理的条件,设设上上在在 1,0)(),(xgxf则则使得使得内至少存在一
10、点内至少存在一点在在,)1,0(x x2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回内容小结内容小结罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理三大微分中值定理三大微分中值定理注意定理成立的条件；条件只是充分的注意定理成立的条件；条件只是充分的罗罗 尔尔定定 理理费马费马引引 理理拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯西柯西中值定理中值定理2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理上页上页下页下页返回返回思考练习思考练习2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理且在且在内内可导可导,设设使使证明至少存在一点证明至少存在一点上页上页下页下页返回返回思考练习思考练习2.6 2.6 微分中值定理微分中值定理解答提解答提示示要证明的结论可变形为要证明的结论可变形为即即设设验证验证在在上上满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件.