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1、 3.1 微分中值定理微分中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理四、小结思考题四、小结思考题1一、费马一、费马(Fermat)定理定理（一）极值的定义：一）极值的定义：如果对如果对 有有 23注注:函数的极大值和极小值是局部性概念。函数的极大值和极小值是局部性概念。极值点一定在区间内部取得极值点一定在区间内部取得,不能在区间端点取得不能在区间端点取得.极值点不唯一极值点不唯一,极大值不一定比极小值大极大值不一定比极小值大.最大最大(小小)值若在区间内部取得值若在区间内部取得,则它一定是极大则它一定是极大(小小)值值.4费
2、马定理费马定理5罗尔(Rolle)定理(1)(1)(2)(2)(3)(3)使得使得几何解释几何解释:6证证7注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,又例如又例如,(1),(2)(1),(2)满足满足(3)不满足不满足结论不成立结论不成立.8例例1 1证证思考思考习题习题4 49二、拉格朗日(Lagrange)中值定理注注拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理使得使得(1)(1)(2)(2)几何意义几何意义:有一条切线平行于两个端点的连线有一条切线平行于两个端点的连线.拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 若除端点外，每一
3、点都有不垂直于轴的切线，则其中必若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必在两个高度不相同的点之间的连续曲线上在两个高度不相同的点之间的连续曲线上10分析分析:从所证等式入手找到一个满足罗尔定理的函数从所证等式入手找到一个满足罗尔定理的函数欲证欲证只要证只要证只要证只要证只要证只要证(利用导数的性质利用导数的性质)11作辅助函数作辅助函数显然显然,在在 a,b 上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点即即定理结论成立定理结论成立.证证:12微分中值公式的其它形式微分中值公式的其它形式:即：在定理条件下，13例例2 2证：证：满足拉格朗日中
4、值定理的条件满足拉格朗日中值定理的条件,211xxf+=)(14分析：分析：欲证上述不等式成立，欲证上述不等式成立，只须证：只须证：只须证：只须证：为此只须证：为此只须证：关键！关键！构造构造例例3 315例例3 3证证由上式得由上式得16推论推论1证：证：有有由假定由假定,即在即在区间区间I I内任意两点的函数值都相等内任意两点的函数值都相等,证明：证明：证明：证明：推论推论217例例4 4证证18三、柯西(Cauchy)中值定理19柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义注意注意设曲线的设曲线的参数方程参数方程弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率20为此为此构构造辅助函数造辅助函数 分析分析欲证上式成立欲证上式成立,只须证只须证只须证只须证 满足罗尔定理满足罗尔定理.证证21例例5 5证证分析分析:结论可变形为结论可变形为22四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.23设设，证证明明 .作业：作业：p100 5,24练练 习习 题题2526