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1、关于微分中值定理现在学习的是第1页，共56页第五章 微分中值定理本章学习要求：熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。现在学习的是第2页，共56页第一节 微分中值定理第五章 微分中值定理一.费马定理二.罗尔中值定理三.拉格朗日中值定理四.柯西中值定理现在学习的是第3页，共56页费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理 微分中值定理现在学习的是第4页，共56页 我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质,推出其整体的或“大
2、范围”性质.为此,我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式,这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.现在学习的是第5页，共56页极值的定义若内有定义在设 ,)(U)(0 xxf ,)(U )()(00 xxxfxf,)()(0的极大值为则称xfxf ,)(U )()(00 xxxfxf,)()(0的极小值为则称xfxf.0为函数的极大点x.0为函数的极小点x现在学习的是第6页，共56页 I ,I )(内某点且在内有定义在区间设xf则必有存在若处取极大（小）值 ,)(.f .0)(f一.费马定理 可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在
3、该点的导数值为零.现在学习的是第7页，共56页Oxy)(xfy abP费马定理的几何解释 如何证明？现在学习的是第8页，共56页 ,I )(内有定义在区间设xf处且在 x),(f取极大值则有)(U )()(xfxf则存在若 ,)(f ,0)()(lim)(0 xfxffx ,0)()(lim)(0 xfxffx于是.0)(f（极小值类似可证）)(是特殊情况Cxf证证现在学习的是第9页，共56页)()b ,()(xfaCxf可保证 .b ,内取到它的最大最小值在 aOxyab)(xfy 但是不保证在内部！现在学习的是第10页，共56页Oxy)(xfy Pab)()(bfaf)b ,()(aCxf
4、存在在),()(baxf 0)(f水平的可保证在内部一点取到极值现在学习的是第11页，共56页二.罗尔中值定理设;),()()1(baCxf;),()()2(内可导在baxf,)()()3(bfaf则至少存在一点.0)(,),(fba使得现在学习的是第12页，共56页Oxy)(xfy abAB 实际上,切线与弦线 AB 平行.现在学习的是第13页，共56页),()(baCxf上取到它的最大值、必在 ,)(baxf最小值至少各一次.)(min ,)(max ,xfmxfMbaxbax令mM )1(若 ,)(baxMxfm ,)(baxmxf.0)(,),(fba均有故证证现在学习的是第14页，共
5、56页)()2(mMMm即若),()(baCxf上取到它的最大值、必在 ,)(baxf最小值至少各一次.,)()(bfaf又.)(mMbxaxxf和处分别取到和不能同时在故使得即至少存在一点 ,),(ba.)()(mfMf或由费马定理可知：.),(0)(baf现在学习的是第15页，共56页 ,dcbadcba皆为实数设,)()()()(dxcxbxaxxf .,0)(并指出根所在区间仅有三个实根证明方程 xf ,),()(dccbbaCxf,0)()()()(dfcfbfaf又,),(,)(内可微在是四次多项式xf得上运用罗尔中值定理在,dccbba .0)()()(321fff例1证证其中,
6、.),(,),(,),(321dccbba.0)(至少有三个实根即 xf现在学习的是第16页，共56页,)(是四次多项式xf ,)(是三次多项式xf.0)(至多有三个实根 xf综上所述,0)(仅有三个实根 xf.),(),(),(中分别在dccbba现在学习的是第17页，共56页证明内可导在设 ,),(,),()(babaCxf)()()()(222xfabafbfx .),(内至少有一根在ba0)()()()(222xfabafbfx0)()()()(222xfabafbfx)()()()(222afabafbfa)()()()(222bfabafbfb)()(22afbbfa连续可微端点函
7、数值相等例2分析现在学习的是第18页，共56页证明内可导在设 ,),(,),()(babaCxf)()()()(222xfabafbfx .),(内至少有一根在ba例2证证)()()()()(222xfabafbfxxF令 ,)(得的连续性和可导性则由xf,),()(,),()(内可导在baxFbaCxF)()()()(22afbbfabFaF又由罗尔定理,至少存在一点使得),(ba0)()()()(2)(22fabafbfF.),(内至少有一根方程在即ba现在学习的是第19页，共56页 分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.现在学习的是第20页，共56页满足其中实数 ,1naa 012)
8、1(3121naaann 证明方程0)12cos(3coscos21xnaxaxan,2 ,0 内至少有一根在）（xnnaxaxaxFn)12sin(123sin3sin)(21令,)(02)0(FF则且满足罗尔定理其它条件,使故 2 ,0 )(0)12cos(3coscos)(21naaaFn例3证证 .2 ,0 内至少有一根即方程在）（现在学习的是第21页，共56页,),(,),()()(内可导在、设babaCxgxf .0)(0)(的一个根的两个根之间至少有xgxf2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf则的两个根是如果 ,0)(,21xfxx0)()()()(2211
9、xgxfxgxf .)0)(xg这时必须想想,看能不能找到证明的方法.例4分析证明方程且 .0)()()()(),(xgxfxgxfbax现在学习的是第22页，共56页,),(,),()()(内可导在、设babaCxgxf证明方程且 .0)()()()(),(xgxfxgxfbax .0)(0)(的一个根的两个根之间至少有xgxf例4证证.0)(),(,21的两个根是设xfbaxx.0)(21及其之间没有根与在并设方程xxxg,)()()(xgxfxF令.21xx 不妨假设 .0)(）（此时xg,)(21上满足罗尔定理条件在xxxF则由已知条件可知:现在学习的是第23页，共56页使得故至少存在
10、一点 ,),(21xx0)()()()()()(2ggfgfF.,0)()()()(与已知矛盾从而gfgf该矛盾说明命题为真.,)(仍满足罗尔定理条件xf 如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?现在学习的是第24页，共56页例5证证 ,),(),()(),(内二阶可导在设babaCxgxf ),(),()(),()(),()(bacbgbfcgcfagaf且 ).()(),(:gfba 使得至少存在一点证明 ,)()(),()()(caxgxfx则令 .0)(),(,11使得至少存在一点由罗尔中值定理ca 0.)(),(,22使得至少存在一点同理bc ,)(,21则再运用罗尔中值定理
11、上对函数在x ),(),(21使得至少存在一点ba ,0)().()(gf 即现在学习的是第25页，共56页例6证证,0)(,)(),(afIxgxf且有上可微在区间设 0)()()(,0)(xgxfxfIbabf证明方程).,(0bax 至少存在一根 ,),(0 ,)(令所以由于xeeexxx ,)()()(xfexFxg .0)()()()()(0)(0)(0)(0000 xgexfexfxfexFxgxgxxxg ,0)()(,),(),()(bFaFbabaCxF且内可导在 :则由已知条件可知 ),(:0使得至少存在一点故由罗尔中值定理bax .,0)()()(,0 000)(0即得所
12、证故有因为xgxfxfexg现在学习的是第26页，共56页三.拉格朗日中值定理设;),()()1(baCxf,),()()2(内可导在baxf则至少存在一点 ,),(使得baabafbff)()()()()()(abfafbf即现在学习的是第27页，共56页Oxy)(xfy abAB 切线与弦线 AB 平行)()()()(axabafbfafyAB的方程：弦如何利用罗尔定理来证明？现在学习的是第28页，共56页)()()()()()(axabafbfafxfx令则由已知条件可得：,),()(baCx.),()(内可导在bax,0)()(ba且故由罗尔定理,至少存在一点使得 ,),(ba0)()
13、()()(abafbff)()()(abfafbf即证证现在学习的是第29页，共56页定理的证明方法很多,例如,可作辅助函数)()()()()(xfabxafbfxF定理中的公式均可写成还是不论 baba),()()()(之间在baabfafbf拉格朗日有限增量公式1)(0 )()()(xxxfxfxxf)()(之间与在xxxxfy式可写成拉格朗日中值定理的公),(|)(|)()(|之间在baabfafbf现在学习的是第30页，共56页现在学习的是第31页，共56页？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值定理可)()()()(abfafbf)()()()(1212xxfxfxf).,(0)()1(
14、baxxf.)(常数xf.|)(|)2(Mxf.|)()(|00 xxMxfxf).0(0)()3(xf)()(xf还有什么？)(f?现在学习的是第32页，共56页)()()(abfafbf ,I ,.I ,0)(21有则若xxxxf ,0)()()(2121xxfxfxf推论 1.I ,)(,I ,0)(xCxfxxf则若 .)()(21xfxf现在学习的是第33页，共56页推论 2)()()()(xgxfxgxf ,I )()(xxgxf若 ,I ,0)()()(xxgxfxF则.I )()(,I )()(xCxgxfxxgxf则若(C 为常数).I ,)()()(xCxgxfxF)()(
15、)(abfafbf现在学习的是第34页，共56页推论 3)()()(abfafbf ,)(|)(|有界即若xfMxf .|)(|)()(|abMabfafbf则则且条件 ),(,|)(|,baxMxf|)()(|abMafbf理上满足拉格朗日中值定在若 ,)(baxf 用来证明一些重要的不等式现在学习的是第35页，共56页推论 4)()()(abfafbf .,I,1221xxxx不妨设 )()()()(211212xxxxfxfxf,)()(,I 0)(12xfxfxxf则若,)()(,I 0)(12xfxfxxf则若,)0)(0)(,I )(xfxfxf且可导在区间若减少上单调增加在区间则
16、)(I )(xf 用来判断函数的单调性现在学习的是第36页，共56页在推论 4 中,),(,)(内可导在上连续在如果babaxf)(,)0)(0)(,baxfxfxf则可推出且.)(,baxf ,)0)(0)(但仅在孤立点处出如果xfxf )(,0)(上严格单调增仍在区间则现Ixfxf)(,)0)(0)(xfxfxfI则上如果在区间 ).(严格单调减少上严格单调增加在区间I ).(严格单调减少加现在学习的是第37页，共56页推论 5)()(,I )(,)(agafxgxf且内可导在区间设.)I(a,I),()()(baxxgxf若则.),(,)()(baxxgxf.0)(,0)(,)()()(
17、axxgxfx则令再由推论 4,即得命题成立.该推论可以用来证明不等式.证证现在学习的是第38页，共56页 ,)(,523)(2baxfxxxf在求设 .值理的上满足拉格朗日中值定 ,)(满足拉格朗日中值在易验证baxf.定理的条件 ,)2)(6)52(35)2(3 22abaabb由 ,6)(3 ab得 .2 ab 从而所求为 )()()(abfafbf例11解现在学习的是第39页，共56页.1 ,1 ,2arccosarcsin xxx证明：,0)11(11)arccos(arcsin22xxxx,1 ,1 时当x)1 ,1(arccosarcsin xCxx故从而计算得取 ,2 0 Cx
18、 .)1 ,1(2arccosarcsinxxx例9证证 ,)1 ,1 ()arccos(arcsin 可得由Cxx .1 ,1 2arccosarcsinxxx延拓延拓!现在学习的是第40页，共56页内满足关系式在若证明：),()(xf.)(,)()(,1)0(xexfxfxff则.),(,1)(xexfx即要证),(,)()(xexfxx令Cx)(证问题转化为xxxeexfexfx2)()()(),(,0 x例10证证).,(,)(xCx,1)0(f又 )()(Cexfxx1)0()0(0ef故 .1C从而.),(,)(xexfx现在学习的是第41页，共56页.),(,3的单调性讨论xxy
19、Oxy3xy,03)(23xxy,0 时且仅当x,0 y.),(3x故,),(时x解例7现在学习的是第42页，共56页.2 ,0 sin 上的单调性在讨论xxy,)2 ,0 (sin Cxxy,)2 ,0(,0cos1xxy.sin 2 ,0 xxy例12解现在学习的是第43页，共56页.)1ln(,0 xxx时：证明,),0 ,)1ln()(xxxxf令,),0 ()(Cxf则,0)0(f又,)0(,0111)(时xxxf故,)(),0 xf从而 ,)0(,0)0()(xfxf即.)1ln(,0 xxx时例13证现在学习的是第44页，共56页.1)1ln(,0 xxxx时：证明,)1ln()
20、(xxf令xfxfxf1111)(0)0()(即.1)1ln(,0 xxxx时例14证证 ,0)(件，上满足拉格朗日中值条在易验证xxf ,0满足则存在x现在学习的是第45页，共56页 ,0 时当证明：ba.lnaababbab)(1lnln)(1 abaababb即要证,b ,ln)(axxxf令,)(理条件上满足拉格朗日中值定在则baxf故,)(1lnlnbaabab从而 .lnaababbab例8证证现在学习的是第46页，共56页的参数方程为设弧 AB ,)()(battgxtfy斜率为上任意一点处的切线的则弧 AB)()(ddtgtfxy 的斜率为而弦 AB)()()()(agbgaf
21、bfkOxyAB)(xfy 在拉格朗日中值定理中,将曲线用参数方程表示,会出现什么结论？现在学习的是第47页，共56页,P至少存在一点由拉格朗日中值定理使曲线在该点的切线与弦线平行,即它们的斜率相等.则有点设对应于 ,tP)0)()()()()()(tggfagbgafbf注意:并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.,)()(真正具有任意性时与当tgtf.上述结论就是柯西定理 )()(之间与中曲线的参数方程表示式tgtf现在学习的是第48页，共56页四.柯西中值定理设;),()(,)()1(baCxgxf,),()(,)()2(内可导在baxgxf则至少存在一点 ,),(使得ba)()()(
22、)()()(gfagbgafbf,0)(xg且现在学习的是第49页，共56页有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.,),()(,)(baCxgxf,),()(,)(内可导在baxgxf)()()()()()(gfagbgafbf故,0)(xg且条件满足拉格朗日中值定理上在 ,)(,)(baxgxf 相同吗？两个现在学习的是第50页，共56页)()()()()()()(xfagbgxgafbfxF令 ,bax.),()(,),()(内可导在则baxFbaCxF)()()()()()(afbgbfagbFaF又故 由罗尔中值定理至少存在一点 ,),(ba使得0)()()(
23、)()()(fagbggafbf即 ,0)(F)()()()()()(gfagbgafbf亦即.),(ba证证现在学习的是第51页，共56页:,21证明同号与设xx)()1(212112xxeexexxx.,21之间与在其中xx分析.0 ,2121之间与不在故同号与xxxxxexxexexxx)1(212112即要证1212212111 1212xxxexexxexexxxxx而例15现在学习的是第52页，共56页:,21证明同号与设xx)()1(212112xxeexexxx.,21之间与在其中xx例16证证,1)(,)(xxgxexfx令为端点的区间内和在以易验证 )(),(21xxxgxf ,)1(11122121212eeexxxexexx .,)()1(21212112之间与在即xxxxeexexxx ,0从而有件且满足柯西中值定理条x现在学习的是第53页，共56页 ,)(1xexxf此题也可令构成的区间上与然后在 1 1 21xx .明用拉格朗日中值定理证现在学习的是第54页，共56页RolleLagrangeCauchy图形旋转参数方程xxg)()()(bfaf现在学习的是第55页，共56页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第56页，共56页