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1、二、罗尔定理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理一、费马引理一、费马引理四、柯西中值定理四、柯西中值定理第一节第一节 中值定理中值定理费马引理费马引理 设函数设函数在点在点的某邻域的某邻域内有定义，内有定义，并且在并且在处可导，处可导，如果对任意的如果对任意的有有(或或)证证 不妨设不妨设时，时，则对则对有有从而从而当当时，时，当当时，时，则则费马引理费马引理证证 不妨设不妨设时，时，则对则对有有从而从而当当时，时，当当时，时，费马引理费马引理证证 不妨设不妨设时，时，则对则对有有从而从而当当时，时，当当时，时，由极限的保号性，由极限的保号性，费马引理费马引理证证 不妨设不妨设
2、时，时，则对则对有有从而从而当当时，时，当当时，时，由极限的保号性，由极限的保号性，及函数及函数在在处可导处可导所以，所以，罗尔罗尔(Rolle)定理定理 若函数若函数在在续，续，在开区间在开区间内可导，内可导，且在区间端点的函数值且在区间端点的函数值相等，相等，即即则在则在内至少有一点内至少有一点使使证证在在连续，连续，必存在最大值必存在最大值和最小和最小值值若若则则故故都有都有若若上连上连闭区间闭区间证证在在连续，连续，必存在最大值必存在最大值和最小和最小值值若若则则故故都有都有若若证证在在连续，连续，必存在最大值必存在最大值和最小和最小值值若若则则故故都有都有若若最值不可能同时在端点取得
3、最值不可能同时在端点取得.不妨设不妨设则在则在内内使使有有故由费马引理知故由费马引理知证毕证毕.至少存在一点至少存在一点不妨设不妨设则在则在内内使使有有故由费马引理知故由费马引理知证毕证毕.至少存在一点至少存在一点不妨设不妨设则在则在内内使使有有故由费马引理知故由费马引理知证毕证毕.至少存在一点至少存在一点例如，例如，在在上连续，上连续，在在上可导，上可导，且且取取则有则有几何解释几何解释:AB罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分
4、别举例说明之明之:易见函数易见函数断断,不满足闭区间连续的条件不满足闭区间连续的条件,1.在闭区间在闭区间 0,1 的左端点的左端点处间处间尽管尽管在开区间在开区间(0,1)内内存在存在,且且切线切线.但显然没有水平但显然没有水平罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可
5、能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:2.我们在第二章第一节中已证明过我们在第二章第一节中已证明过处是不可导的处是不可导的,因此不满足在开区间可导的条件因此不满足在开区间可导的条件,虽然虽然在在内是连续的内是连续的,且有且有但是没有水平切线但是没有水平切线.在在函数函数罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:罗尔定理的条件与结论罗尔定理的条件与结论罗尔定理的三个条件是十分重要的罗尔定理
6、的三个条件是十分重要的,如果有一个不如果有一个不满足满足,定理的结论就可能不成立定理的结论就可能不成立.下面分别举例说下面分别举例说明之明之:3.函数函数虽然满足在闭虽然满足在闭区间区间0,1上连续上连续,在开区在开区间间(0,1)内可导的条件内可导的条件,但但显然也没有水平切线显然也没有水平切线.例例1对函数对函数在区间在区间上上罗尔定理的正确性罗尔定理的正确性.验证验证解解显然显然在在上连续上连续,且且而在而在内确存在一点内确存在一点使使在在内可内可导导,完完不求导数，不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解解 因为因为所以所以在闭在闭从而，从
7、而，使使即即是是的一个零点；的一个零点；使使例例2判断函数判断函数区间区间上满足罗尔定理的三个条件，上满足罗尔定理的三个条件，、内至少存在一点内至少存在一点在在又在又在内至少存在一点内至少存在一点不求导数，不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围的导数有几个零点及这些零点所在的范围.例例2判断函数判断函数解解使使又在又在内至少存在一点内至少存在一点即即是是的一个零点；的一个零点；即即是是的一个零点；的一个零点；又因为又因为为二次多项式，为二次多项式，故故恰好有两个零点，恰好有两个零点，不求导数，不求导数，的导数有几个零点及这些零点所在的范围的导数有几个零点及这些零点所在的范围.例例2判断
8、函数判断函数解解使使又在又在内至少存在一点内至少存在一点是是的一个零点；的一个零点；最多只能有两个零点，最多只能有两个零点，和和分别在区间分别在区间内内.例例3证证证明方程证明方程有且仅有一个小于有且仅有一个小于1的正实根的正实根.设设则则在在上上连续连续,且且由零点定理由零点定理,存在存在使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.设另有设另有使使因为因为在在之间满足罗尔定理的条件之间满足罗尔定理的条件,例例3证证证明方程证明方程有且仅有一个小于有且仅有一个小于1的正实根的正实根.因为因为在在之间满足罗尔定理的条件之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点所以至少存在一点(在在之间之间
9、),使得使得但但导致矛盾导致矛盾,故故为唯一实根为唯一实根.例例3证证证明方程证明方程有且仅有一个小于有且仅有一个小于1的正实根的正实根.因为因为在在之间满足罗尔定理的条件之间满足罗尔定理的条件,例例4证证设设为为的实数的实数,试证明方程试证明方程在在内至少存在一个实根内至少存在一个实根.作辅助函数作辅助函数满足满足证证 作辅助函数作辅助函数证证 作辅助函数作辅助函数显然显然在在内可导内可导,故由罗尔定理知故由罗尔定理知,存在一点存在一点使使续续,在在上连上连至少至少即即从而题设方程在从而题设方程在内至少有一个实根内至少有一个实根.例例5设设在在上连续上连续,在在内可导内可导,且且证明证明:存
10、在存在使使成立成立.证证 从结论倒推分析知从结论倒推分析知,可引进辅助函数可引进辅助函数由于由于罗尔定理条件罗尔定理条件,易知易知在在上满足上满足且且因此因此,在在内至少存在一点内至少存在一点使使例例5设设在在上连续上连续,在在内可导内可导,且且证明证明:存在存在使使成立成立.证证因此因此,在在内至少存在一点内至少存在一点使使例例5设设在在上连续上连续,在在内可导内可导,且且证明证明:存在存在使使成立成立.证证因此因此,在在内至少存在一点内至少存在一点使使即即因因所以所以完完例例6证证设函数设函数在在上连续上连续,导导,在在内可内可且且若存在常数若存在常数使得使得试证至少存在一点试证至少存在一
11、点使得使得因因故故和和同号同号,不妨设不妨设又因为又因为所以所以在在和和上上连续连续,证证不妨设不妨设在在和和上上连续连续,证证在在和和上上连续连续,设设由于由于和和异号异号,和和异号异号,所以所以,至少存在一点至少存在一点使使至少存在一点至少存在一点使使在区间在区间上上,显然满足显然满足罗尔定理的三个条件罗尔定理的三个条件,即即在在上连续上连续,在在内可导内可导,所以至少存所以至少存在一点在一点使使先看一个几何事实先看一个几何事实:如右图所示如右图所示拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 若函数若函数在闭区在闭区间间上连续上
12、连续,内至少有一点内至少有一点使得使得分析分析：条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差几何图中几何图中,弦弦方程为方程为曲线曲线减去弦减去弦所得曲线在所得曲线在两端点上的两端点上的函数值相等函数值相等.在开区间在开区间内可导内可导,则在则在拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理于是于是,若作辅助函数若作辅助函数则则满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,故在故在内至少内至少存在一点存在一点使使即即拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 若函数若函数在闭区在闭区间间上连续上连续,内至少有一点内至少有一点使得使得在开区间在开区间内可导内可导,则在则在拉格朗日拉格朗日(L
13、agrange)中值定理中值定理则则满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,故在故在内至少内至少存在一点存在一点使使即即拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理则则满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,故在故在内至少内至少存在一点存在一点使使即即或或由此可证得定理由此可证得定理.拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注注:拉格朗日公式拉格朗日公式的增量的增量精确地表达了函数在一个区间上精确地表达了函数在一个区间上与函数在该区间内某点处的导数之间的关系与函数在该区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理或或由此可证得定理由此可证得定理.拉格朗日中值公式
14、拉格朗日中值公式拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理或或由此可证得定理由此可证得定理.拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式设设在在内可导内可导,则有则有即即增量增量的精确表达式的精确表达式拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理即即增量增量的精确表达式的精确表达式拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理即即增量增量的精确表达式的精确表达式拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.推论推论1如果函数如果函数
15、在区间在区间上的导数恒为零上的导数恒为零,那么那么在区间在区间上是一个常数上是一个常数.推论推论1表明表明:导数为零的函数就是常数函数导数为零的函数就是常数函数.这一这一结论以后在积分学中将会用到结论以后在积分学中将会用到.由推论由推论1立即可得：立即可得：推论推论1如果函数如果函数在区间在区间上的导数恒为零，上的导数恒为零，那么那么在区间在区间 上是一个常数上是一个常数.证证 在区间在区间上任取两点上任取两点在区间在区间上上得得由假设由假设于是于是再由再由的任意性，的任意性，知知在区间在区间上上的函数值都相等，的函数值都相等，即即在区间在区间上是一个常数上是一个常数.应用拉格朗日中值定理，应
16、用拉格朗日中值定理，任意点处任意点处拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理推论推论1如果函数如果函数在区间在区间上的导数恒为零上的导数恒为零,那么那么在区间在区间上是一个常数上是一个常数.推论推论1表明表明:导数为零的函数就是常数函数导数为零的函数就是常数函数.这一这一结论以后在积分学中将会用到结论以后在积分学中将会用到.由推论由推论1立即可得：立即可得：推论推论2如果函数如果函数与与在区间在区间 上恒有上恒有在区间在区间上上为常数为常数).例例7解解验证函数验证函数在在上满足拉上满足拉格朗日中值定理格朗日中值定理,并由结论求并由结论求值值.在在上连续上连续,在在可导可导,故满足
17、拉格朗日中值定理的条件故满足拉格朗日中值定理的条件.则则即即故故例例8证证证明证明设设即即又又例例9证证证明当证明当时时,设设足拉格朗日中值定理的条件足拉格朗日中值定理的条件.故故从而从而又由又由则则在在上满上满例例9证证证明当证明当时时,例例9证证证明当证明当时时,即即例例10证证设设是在是在上可导的函数上可导的函数,且且单调减少单调减少,试证试证:对于对于恒有恒有当当时时,有有故不等式成立故不等式成立.当当时时,在在上应用拉氏定理知上应用拉氏定理知,使使在在上应用拉氏定理知上应用拉氏定理知证证在在上应用拉氏定理知上应用拉氏定理知证证在在上应用拉氏定理知上应用拉氏定理知使使所以所以证毕证毕.
18、单调减少单调减少,柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理闭区间闭区间上连续上连续,在开区间在开区间内可导内可导,且且在在内每一点处均不为零内每一点处均不为零,有一点有一点使得使得证证 作辅助函数作辅助函数如果函数如果函数及及在在那么在那么在内至少内至少满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理证证 作辅助函数作辅助函数满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理证证 作辅助函数作辅助函数满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,则在则在内至少存在内至少存在一点一点使得使得即即证毕证毕.显
19、然显然,当当时时,柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理证证 作辅助函数作辅助函数满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,则在则在内至少存在内至少存在一点一点使得使得证毕证毕.显然显然,当当时时,柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理证证 作辅助函数作辅助函数满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件,则在则在内至少存在内至少存在一点一点使得使得证毕证毕.显然显然,当当时时,柯西中值定理化为拉格朗日中值定理柯西中值定理化为拉格朗日中值定理.几何解释几何解释:例例11解解验证柯西中值定理对函数验证柯西中值定理对函数在区间在区间上的正确性上的正确性.函数函数连续连续,在开区间在开区间内可导内可导,且且
20、于是于是满足柯西中值定理的条件满足柯西中值定理的条件.由于由于在区间在区间上上解解由于由于解解 由于由于令令得得取取成立成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性上的正确性.则等式则等式分析分析例例12设函数设函数在在上连续上连续,导导.在在内可内可试证明至少存在一点试证明至少存在一点使使结论可变形为结论可变形为证证作辅助函数作辅助函数则则在在上满足柯西中值定理的上满足柯西中值定理的故在故在内至少存在一点内至少存在一点条件条件,使使例例12设函数设函数在在上连续上连续,导导.在在内可内可试证明至少存在一点试证明至少存在一点使使证证作辅助
21、函数作辅助函数则则在在上满足柯西中值定理的上满足柯西中值定理的故在故在内至少存在一点内至少存在一点条件条件,使使即即例例12设函数设函数在在上连续上连续,导导.在在内可内可试证明至少存在一点试证明至少存在一点使使证证作辅助函数作辅助函数则则在在上满足柯西中值定理的上满足柯西中值定理的故在故在内至少存在一点内至少存在一点条件条件,使使内容小结内容小结 中值定理的条件和结论中值定理的条件和结论名称名称条件条件结论结论罗尔罗尔定理定理拉格拉格朗日朗日定理定理柯西柯西定理定理在在上连续上连续(1)在在(2)内可导内可导(3)在在上连续上连续(1)在在(2)内可导内可导在在上连续上连续(1)在在(2)内
22、可导内可导使得使得使得使得使得使得1.试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.2.若若是是上的正值可微函数，上的正值可微函数，则有点则有点使使课堂练习课堂练习1.试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.解解例例不满足在闭区间上连续的条件不满足在闭区间上连续的条件.在开区间在开区间内内不存在任何一点，不存在任何一点，使函数在该点的导数等于零使函数在该点的导数等于零.又例又例且且不满足在开区间内可微的条件不满足在开区间内可微的条件.在开区间在开区间内不存在任何一点，内不存在任何一点，使函数在该点的导数等于零使函数在该点的导数等于零.2.若若是是上的正值可微函数，上的正值可微函数，则有点则有点使使解解构造辅助函数构造辅助函数则则满足拉格朗日中值定理的条件，满足拉格朗日中值定理的条件，从而有从而有使使代入得代入得即即