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1、线性代数第线性代数第13讲讲一、矩阵秩的定义矩阵的秩矩阵的秩由秩的定义及行列式的性质可以推出以下结论：由秩的定义及行列式的性质可以推出以下结论：（1）若）若A是是m行行n列矩阵，则列矩阵，则(2)若若A是是n阶方阵，则阶方阵，则（3）若）若A有一个有一个r阶子式不为零，则阶子式不为零，则（4）若）若A的所有的所有r+1阶子式全为零，则阶子式全为零，则定理定理2.4 R(A)=r的充要条件为的充要条件为A有一个有一个r阶子式不阶子式不为零，而所有为零，而所有r+1阶子式（如果有的话）全为零。阶子式（如果有的话）全为零。例例1解解例例2解解例例3 3解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，另解另解显然
2、，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此方法简单！此方法简单！问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？证证二、初等变换与矩阵的秩 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变证毕证毕推论推论 设设A是一个是一个m行行n列矩阵，列矩阵，P是一个是一个m阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，Q是一个是一个n阶可逆矩阵阶可逆矩阵,则则R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶
3、梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4解解由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.例例5 5解解分析：分析：三、再论矩阵的等价标准形三、再论矩阵的等价标准形一个矩阵A总可经过一系列初等变换化为 等价标准形 其中数r就是矩阵A的秩。r由A唯一确定，它是一个关于初等变换的不变量。定理定理2.6 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。相等。推论推论 两个矩阵等价的充分必要条件是它们有相同两个矩阵等价的充分必要条件是它们有相同
4、的等价标准形。的等价标准形。定理定理2.7 设设A是是m行行n列矩阵，其秩列矩阵，其秩R(A)=r,则必存在则必存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P与与n阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q,使使矩阵的等价关系为我们提供了研究矩阵的一种方法：把所有的m行n列矩阵按等价类分类，即把彼此等价的（即秩相同）归成一类，称为等价类，每一类都有一个标准形。秩为r的矩阵可以表示成下列形式四、等价标准形应用举例四、等价标准形应用举例定理定理2.8 证证设R(A)=r,则A可表示成求秩注意到P可逆，有将QB适当分块最多只有r个非零行，其秩不超过r。于是同理可证定理2.9 设A是m行n列矩阵，若R(A)n，则n 元其次线性方程组AX=0必有非零解。证 由于R(A)=rn,所以A的等价标准形并且可表示成右乘Q的逆阵令是前r个分量为0，后n-r个分量为1的n维列矩阵，上式两边右乘，可得三、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);