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1、线性代数第讲 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望介绍 l线性代数的重要目标是解线性方程组l而解线性方程组经常要用到行列式的概念1.1 n阶行列式的定义和性质11/16/20222对于一个二元一次方程组当a11a22-a12a210时,用消元法求解,得其解为(1.1)(1.2)11/16/20223如果记(1.3)(1.2)式可以表示为二阶行列式11/16/20224三阶行列式的定义-+(1.4)(1.5)11/16/20225例如例如11/16/202
2、26如果三元线性方程组的系数行列式11/16/20227用消元方可解得(1.6)其中11/16/20228二阶和三阶行列式都可按第一行展开余子式代数余子式（1.7）11/16/20229同样其中A11=(-1)1+1|a22|=a22,A12=(-1)1+2|a21|=-a21这里|a22|,|a21|是一阶行列式不是绝对值.11/16/2022101.1.1 n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义由n2个数aij(i,j=1,2,.,n)组成的n阶行列式（1.9)当n=1时D=a11;当n2时,定义(1.10)11/16/202211其中A1j=(-1)1+j M1j,M1j是D中去掉第1行
3、第j列全部元素后,按原顺序排成的n-1阶行列式,即称M1j为元素a1j的余子式余子式,A1j为元素a1j的代代数余子式数余子式11/16/202212例(未写出的元素都是0)11/16/202213例11/16/202214下三角行列式等于对角线元素之积11/16/202215例11/16/2022161.1.2 n阶行列式的性质(证明不重要,但必须记住并用它们来计算行列式)11/16/202217性质性质1 行列式与它的转置行列式相等11/16/202218性质性质2 行列式按任一行(列)按下式展开,其值相等其中Aij=(-1)i+jMij,Mij是D中去掉第i行第j列全部元素后按原顺序排成
4、的n-1阶行列式,称为aij的余子余子式式,Aij称为aij的代数余子式代数余子式.(1.12)11/16/202219例如,假设11/16/202220例 设11/16/202221性质性质3(线性性质)有以下两条:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.(1.13)11/16/20222211/16/202223(1.14)11/16/202224推论推论1 某行元素全为零的行列式其值为零11/16/202225性质性质4行列式中两行对应元素全相等,其值为零,即当ail=ajl(l=1,2,.,n)时,有(1.15)11/16/202226推论推论2行列式中两
5、行对应元素成比例(即ail=kajl,ij,l=1,2,.,n,k是常数),其值为零11/16/202227性质性质5行列式中某各元素乘常数k加到另一行对应元素上,行列式的值不变(简称:对行列式做倍加行变换,其值不变),即11/16/202228性质性质6(反对称性质反对称性质)行列式的两行对换,行列式的值反号.第i行第j行11/16/202229性质性质7 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即这是因为(1.17)第i行第j行=011/16/202230可将(1.10),(1.12),(1.17)式统一地写成其中同样,行列式对列展开,也有(1.18)(1.19)11/1
6、6/202231行列式按某k行(列)展开在n阶行列式D=中,任意选定k行k列(1kn),位于这些行和列交叉处的k2个元素,按原来的顺序构成一个k阶行列式M,称为D的一个k阶子式.划去这k行k列,余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式,在其前面冠以符号称为M的代数余子式,其中i1,i2,.,ik为k阶子式M在D中的行标,j1,j2,.,jk为M在D中的列标.11/16/202232定理定理(拉普拉斯定理拉普拉斯定理)在n阶行列式中,任意取定k行(列)(1kn-1),由这k行(列)组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D.11/16/202233例例 下式按第一行和第二行展
7、开11/16/202234例11/16/202235例11/16/202236计算行列式的常用方法:l首先尽量寻找行与列的公因子,将其提到行列式外面.l如果发现行列式有两行或者两列成比例,则行列式的值为0.l然后利用性质5总能将行列式变换成上三角或者下三角行列式,再计算其对角线上的乘积.l或者利用性质5将行列式的某行(某列)变换成只有一个元素不为0,其余元素均为0,然后再按那行(列)展开,降阶成低阶的行列式.11/16/202237例例 (保留a12,将第2列其余元素变为0)11/16/20223811/16/202239今天作业:第32页开始,第2,4,9,10,11,15题分为A,B两组轮流交作业,每星期四交作业11/16/202240