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1、线性代数第线性代数第4讲讲一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记证明证明按定义按定义 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为故故证毕证毕性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.证明证明证明证明设行列式设行列式说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到
2、的两行得到的,于是于是则有则有即当即当 时时,当当 时时,例如例如性质性质3 3 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 故故证毕证毕性质性质性质性质4 4 4 4 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质6行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有
3、两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零证明证明性质性质5行列式中如果有某行（列）元素都为零，行列式中如果有某行（列）元素都为零，则此行列式为零则此行列式为零性质性质7 7若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如性质性质8把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如性质性质9 9 行列式任一行（列）的元素与另一行行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即即证证同理同理相同相同更一般的形式可以表示为更一般的形式可以表示为 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立样成立).利用性质利用性质8可以把某一行（列）只保留一个可以把某一行（列）只保留一个元素，其余元素都化成零。元素，其余元素都化成零。三、小结行列式的行列式的9个性质个性质