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1、线性代数第1讲下载网址：http:/http:/应用数学.cn1第一章 行列式1.1 二阶,三阶行列式2(一)二阶行列式a11a12a21a22-+3例1.4例2.设问:(1)当l为何值时D=0 (2)当l为何值时D05解:l2-3l=0,则l=0,l=3.因此可得(1)当l=0或l=3时D=0,(2)(2)当l0且l3时D0.6(二)三阶行列式7画线法记忆a11a12a13a21a22a23a31a32a33+-8例1.9例2.a,b满足什么条件时有解:若要a2+b2=0,必须a=0且b=0.10例3.的充分必要条件是什么?解:a2-10 当且仅当|a|1111.2 n阶行列式12(一)排列
2、与逆序由n个不同数码1,2,n 组成的有序数组 i1i2in,称为一个n级排列.例如,1234及2341都是4级排列,25413是一个5级排列.13定义 1.1 在一个n级排列i1i2in中,如果有较大的数it排在较小的数is前面(is1)共有n!个n级排列,其中奇偶排列各占一半.21证:n级排列的总数为n(n-1)21=n!,设其中奇排列为p个,偶排列为q个.设想将每一个奇排列都施以同一的对换,例如都对换(1,2),则由定理1.1可知p个奇排列全部变为偶排列,于是有pq;同理如将全部偶排列也都施以同一对换,则q个偶排列全部变为奇排列,于是又有qp,所以得出p=q,即奇偶排列数相等,各为n!/
3、2个.用三级排列验证,见表1-1,奇偶排列各三个22(二)n阶行列式的定义观察二阶行列式和三阶行列式:23(1)二阶行列式表示所有不同的行不同的列的两个元素乘积的代数和.两个元素的乘积可以表示为j1j2为2级排列,当j1j2取遍了2级排列(12,21)时,即得到二阶行列式的所有项(不包含符号),共为2!=2项.24三阶行列式表示所有位于不同的行不同的列的3个元素乘积的代数和.3个元素的乘积可以表示为j1j2j3为三级排列,当j1j2j3取遍了3级排列时,即得到三阶行列式的所有项(不包含符号),共为3!=6项.25(2)每一项的符号是,当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后,如果对应的列标构成的
4、排列是偶排列则取正号,是奇排列则取负号.如在上述二阶行列式中,当N(j1j2)为偶数时取正号,为奇数时取负号;在上述三阶行列式中,当N(j1j2j3)为偶数时取正号,为奇数时取负号.根据这个规律,可给出n阶行列式的定义.26定义1.2 用n2个元素aij(i,j=1,2,n)组成的记号称为n阶行列式,其中横排称为行,纵排称为列.它表示所有可能取自不同的行不同的列的n个元素乘积的代数和,各项符号是:(接后)27当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号,是奇排列则取负号.因此,n阶行列式所表示的代数和中的一般项可以写为:(1.3)其中j1j2jn构成一个n级
5、排列,当取遍所有n级排列时,则得到n阶行列式表示的代数和中所有的项.28一阶行列式|a|就是a.行列式有时简记为|aij|.由定理1.2可知:n阶行列式共有n!项,且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的负号)各占一半.29例如,四阶行列式所表示的代数和中有4!=24项.例如,a11a22a33a44项取正号,a14a23a31a42项取负号,a11a24a33a44不是D的一项.30例1.计算n阶行列式的值,其中aii0(i=1,2,n).31解:D中各项中不为零的项只有a11a22ann,其它项均为零,由于N(12n)=0,因此这一项取正号,得称这种形式的行列式为下三角行列式.32
6、同理可得上三角行列式其中aii0(i=1,2,n).33特殊情况:其中aii0(i=1,2,n).这种行列式称为对角形行列式.34三角形行列式及对角形行列式的值,均等于主对角线上元素的乘积.这一结论在以后行列式计算中可直接应用.由行列式的定义不难得出:一个行列式若有一行(或一列)中的元素皆为零,则此行列式必为零.35定理1.3 n阶行列式D=|aij|的一般项可以记为(1.4)其中i1i2in与j1j2jn均为n级排列.36证:由于i1i2in与j1j2jn都是n级排列,因此(1.4)式中的n个元素是取自D的不同的行不同的列.如果交换(1.4)式中的两个元素则其行标排列由i1isitin换为i
7、1itisin,逆序数奇偶性改变,列标排列由j1jsjtjn换为j1jtjsjn,逆序数奇偶性也改变.则对换后两下标排列逆序数之和的奇偶性则不改变.37即有所以交换(1.4)式中元素的位置,其符号不改变.这样我们总可以经过有限次交换(1.4)式中元素的位置,使其行标i1i2in换为自然数顺序排列,设此时列标排列变为k1k2kn,则(1.4)式变为38例2.若(-1)N(i432k)+N(52j14)ai5a42a3ja21ak4是五阶行列式|aij|的一项,则i,j,k应为何值?此时该项的符号是什么?解:由行列式定义,每一项中的元素取自不同行不同列,故有j=3,且有i=1时k=5,或i=5时k=1.因此当i=1,j=3,k=5时,-a15a42a33a21a54为|aij|的一项.当i=5,j=3,k=1时,a55a42a33a21a14也是|aij|的一项.39例3 用行列式定义计算行列式解:因第1列和第3行都只有一个元素不为0,为寻找不为0的项,划去相应元素的行和列,则第3列取第4行,第4列只能取第1行,N(4123)=3,因此行列式取值-1.40作业:习题一(A),从35页开始第1，2，8，9题从第二周开始交作业每周一交作业,其它时间不收作业,作业最好写在分散的纸上,而不是本子.41