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1、线性代数第线性代数第2讲讲一、概念的引入引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有二、全排列及其逆序数问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.由引例由引例同理同理 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则
2、称这两个数组成一个逆序.例如例如 排列排列32514 中，中，定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中，3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在
3、 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2例例1
4、1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;3 2 5 1 4于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.解解当当 时为
5、偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.解解当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.定理定理1.1 一次对换改变排列的奇偶性。一次对换改变排列的奇偶性。推论推论 任何一个任何一个n元排列都可通过若干次元排列都可通过若干次对换变成标准排列，且所需对换次数与该对换变成标准排列，且所需对换次数与该排列的逆序数有着相同的奇偶性。排列的逆序数有着相同的奇偶性。三、n阶行列式的定义三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的
6、三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列定义定义说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶
7、行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为的符号为6、n阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数.或者或者其中其中 是两个是两个 阶排列，阶排列，为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和.例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的
8、一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例3同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕例例5 5设设证明证明证证由行列式定义有由行列式定义有由于由于 所以所以故故1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的.2、阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定.四、小结