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1、义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书浙江版浙江版浙江版浙江版数学数学数学数学九年级上册九年级上册九年级上册九年级上册定理：垂直于弦的直径平分弦定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.OABCDMCDAB,CDAB,如图如图 CDCD是直径是直径,AM=BM,AM=BM,AC=BC,AC=BC,AD =BD.AD =BD.条件条件CD为直径为直径CDABCD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧ACB结论结论垂径定理的逆命题是什么？垂径定理的逆命题是什么？想一想想一想垂直于弦的
2、直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的两两 条弧条弧.条件条件结论结论1结论结论2逆命题逆命题1 1：平分弦的直径垂直于弦。：平分弦的直径垂直于弦。逆命题逆命题2 2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。CDAB,ABAB是是O O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.AM=BM.你能你能发现图中有哪些等量关系发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想与同伴说说你的想法和理由法和理由.过点过点M M作直径作直径CD.CD.On上图是轴对称图形吗上图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?C CD Dn由由 CDCD是是直径直径
3、AM=BM AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.M MA AB B 平分弦平分弦 的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.探索规律探索规律（不是直径不是直径）CDAB,过点过点C C作直径作直径CD.CD.n下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n由由 CD是是直直径径 AM=BM AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.A AB BC CD DM MO O平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦探索规律探索规律ABAB是是O O的一条弧的一条弧,且且AC=BC.AC=BC.
4、你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?说说你的想法和理由说说你的想法和理由.只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CDCD是直径是直径,AM=BM,AM=BM,CDAB,CDAB,AC=BC,AD=BD.如图如图,对于一个圆和一条直线来说。如果在对于一个圆和一条直线来说。如果在下列五个条件中下列五个条件中:规律规律（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）命题（命题（命题（命题（1 1 1 1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并）：平分弦
5、（不是直径）的直径垂直于弦，并）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧命题（命题（命题（命题（2 2 2 2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧所对的两条弧所对的两条弧命题（命题（命题（命题（3 3 3 3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分）：平分弦所对的一条
6、弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧弦，并且平分弦所对的另一条弧弦，并且平分弦所对的另一条弧弦，并且平分弦所对的另一条弧 CDCD是直径是直径,AM=BM,AM=BM,CDAB,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧对的弧逆定理逆定理定理定理1 1：平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧弦，并且平分弦所对的弧定理定理2 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦垂径垂径定理定理.OAEBDC已知：已知：O O的的直径直径CDCD交弦交弦ABA
7、B（不是直径）于点（不是直径）于点E E，且，且AE=BEAE=BE求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC定理定理1 1：平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧平分弦所对的弧证明：连结证明：连结OAOA，OBOB，则，则OA=OBOA=OBAOBAOB是等腰三角形是等腰三角形AP=BPAP=BPCDABCDAB（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）（垂径定理）（垂径定理）AD=BDAD=BD，AC=BCAC=BC请同学们独立证明定理请同学们独立证明定理2 2（1 1 1 1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧）垂直于弦的直线平分
8、弦，并且平分弦所对的弧）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧（2 2 2 2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心圆心圆心圆心（3 3 3 3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分（4 4 4 4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
9、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（5 5 5 5）圆内两条非直径的弦不能互相平分）圆内两条非直径的弦不能互相平分）圆内两条非直径的弦不能互相平分）圆内两条非直径的弦不能互相平分辨一辨辨一辨（6 6 6 6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（7 7 7 7）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（8 8 8 8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这）一条直
10、线平分弦（这条弦不是直径），那么这）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)（9 9 9 9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。）弦的垂直平分线一定是圆的直径。）弦的垂直平分线一定是圆的直径。）弦的垂直平分线一定是圆的直径。（10101010）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（11111111）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
11、）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E例例1 1、13001300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.2 37.2 m,m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.23m,7.23m,求求桥拱的半径桥拱的半径(精确到精确到0.01m).0.01m).A AB BO OC CD D ABAB表示桥拱，设表示桥拱，设A
12、BAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为，半径为R R，C C为为ABAB的中点，连结的中点，连结OCOC，交，交ABAB于点于点D DR R解：解：OCABOCABOCOC就是拱高就是拱高AD=1/2AB=0.5AD=1/2AB=0.537.02=18.5137.02=18.51OD=OC-DC=OD=OC-DC=（R-7.23R-7.23）在在RtOADRtOAD中，中，OAOA2 2=OD=OD2 2+AD+AD2 2R R2 2=18.51=18.512 2+(R-7.23)+(R-7.23)2 2解得解得,R27.31,R27.31答答:赵州桥的桥拱半径约为赵州桥的桥拱半
13、径约为27.31m.27.31m.C C是是ABAB的中点的中点练一练练一练1 1、已知：如图、已知：如图,O,O 中中,弦弦ABCD,ABABCD,ABCD,CD,直径直径MNAB,MNAB,垂足为垂足为E,E,交弦交弦CDCD于点于点F.F.图中相等的线段有图中相等的线段有 :.图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有:.A AO ON NM MF FE ED DC CB BABCD0EFGH2 2、如图、如图,圆圆O O与矩形与矩形ABCDABCD交于交于E E、F F、G G、H,H,EF=10,HG=6,AH=4.EF=10,HG=6,AH=4.求求BEBE的长的长.M M3 3、在直径为、
14、在直径为130mm130mm的圆铁片上切下一块高为的圆铁片上切下一块高为32mm32mm的弓形的弓形铁片，求弓形的弦的长度。铁片，求弓形的弦的长度。（弓形是圆弧和它所对的（弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）弦围成的图形）.AOBECDF4 4、已知：、已知：ABAB是是O O直径，直径，CDCD是弦，是弦，AECDAECD，BFCDBFCD，求证：，求证：ECECDFDFG G提示提示:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OA AB BC CD D（1）两条弦在圆心的同侧）两条弦在圆心的同侧OA AB BC CD D（2）两条弦在圆心的两侧）两条弦在圆心的两侧垂径定理的推
15、论：垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.5 5、求证、求证:如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所那么这两条弦所夹的弧相等夹的弧相等E EF FE E课堂小结课堂小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO1 1、如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42
16、.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船米、船舱顶部为长方形并高出水面舱顶部为长方形并高出水面2 2米的货船要经过这米的货船要经过这里里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？2.2.某一公路隧道的形状如图某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面半圆拱的圆心距离地面2m,2m,半半径为径为1.5m,1.5m,一辆高一辆高3m,3m,宽宽2.3m2.3m的集装箱车能通过这个隧道吗的集装箱车能通过这个隧道吗?F1.15解解:取取CD=1.15m,CD=1.15m,作作DECDDECD交圆交圆O O于点于点E E连接连接OE,OE,过过O O作作OFEDOFED于于F,F,由题意可得由题意可得OE=1.5,OF=CD=1.15OE=1.5,OF=CD=1.15FD=OC=2FD=OC=2由勾股定理得由勾股定理得:0.960.96DF=EF+DF=2.96DF=EF+DF=2.963 3高高3m,3m,宽宽2.3m2.3m的集装箱车的集装箱车不能通过这个隧道不能通过这个隧道DE1.51.152 如果要使高度不超过如果要使高度不超过4m,4m,宽为宽为2.3m2.3m的货车能通过这个隧道的货车能通过这个隧道,且不且不改变圆心到地面的距离改变圆心到地面的距离,半圆拱的半径至少为多少半圆拱的半径至少为多少m?m?再见再见