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1、定理定理:垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦并且平分弦 所对的弧所对的弧 OABCDM条件条件CD为直径为直径CDABCD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧ACB结论结论复复 习习垂径定理的逆命题是什么？垂径定理的逆命题是什么？想一想想一想垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.条件条件结论结论1结论结论2逆命题逆命题1 1：平分弦的直径垂直于弦。：平分弦的直径垂直于弦。逆命题逆命题2 2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。CDAB,AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM,逆命题逆命
2、题1 1：平分弦的直径垂直于弦。成立吗？：平分弦的直径垂直于弦。成立吗？过点过点M作直径作直径CD.OCDCD是是直径直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.MAB定理定理1.1.平分弦（平分弦（）的）的直径垂直于弦直径垂直于弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的两条弧的两条弧.探索规律探索规律不是直径不是直径EF CDAB,AB是是 O的一条弦的一条弦,点点C为弧为弧AB的中点的中点.逆命题逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。成立吗？：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。成立吗？过点过点C作直径作直径CD，交，交AB于于M。OCDCD是是直径直径可推得可推得MAB定理定理2.2.平分
3、弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.探索规律探索规律 AC=BCAM=BM例例例例1 1、1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦弧所对是弦的长的长)为为 37.02 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.23m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.01m).ABOCD如图如图,用用AB表示表示桥拱桥拱,设圆心为设圆心为O,C为为AB的中点的中点解解:如图如图,ABOC连接半径连接半径OC,交交AB于点于点DD则则OC垂直平
4、分垂直平分AB,CD就是拱高就是拱高连接连接OB,设圆设圆O的半径为的半径为R(m)由题意得由题意得:AB=37.02m,CD=7.23m,OB=RBD=1/2AB=0.537.02=18.51mOD=OC-DC=R-7.23(m)在在RtOBD中中,OB2=BD2+OD2R2=18.512+(R-7.23)2解这个方程解这个方程,得得 R=27.31答答:桥拱的半径约为桥拱的半径约为27.31m例例例例2 2、如图，在、如图，在、如图，在、如图，在 OO中，中，中，中，CDCD是直径，是直径，是直径，是直径，ABAB是弦，且是弦，且是弦，且是弦，且CDCDABAB，已知已知已知已知AB=16
5、AB=16，CM=4CM=4，求，求，求，求CDCD。解：连接解：连接OA,在在 O中，直径中，直径CD弦弦AB AB=2AM AB=16 AM=BM=8在在Rt OMA中，中，根据勾股定理，得：根据勾股定理，得：r=10,CD=20.注意：注意：在解决类似问题时常常先作出在解决类似问题时常常先作出M,AO，再用到垂径定理和勾股定理再用到垂径定理和勾股定理设设CD=2r 则则AO=r，OM=r 4 r=(r-4)+81.已知已知,如图如图,在以点在以点O为圆心的两个圆中为圆心的两个圆中,大圆的弦大圆的弦AB 和小圆交于点和小圆交于点C,D,求证求证:AC=BD解解:过过O作作OEAB于于E点点
6、,垂直弦的直径平分这条弦垂直弦的直径平分这条弦E则则AE=BE,CE=DE(_)AE-CE=BE-DE 即即AC=BDOCDAB可能可能2：两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OCDAB可能可能1：两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧2.已知圆已知圆O的半径为的半径为5cm,AB CD,AB=6cm,CD=8cm,则则AB与与CD距离是距离是_cmFE335则则EF=OE+OF=7444533455FEEF=OE-OF=1挑战自我挑战自我3.已知：如图已知：如图,O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.图中相等的线段有图中相等的线段有:.图中
7、相等的劣弧有图中相等的劣弧有:.AE=EB,CF=FD AM=BM.CN=DN AC=BD.CM=DM.AN=BN.4、判断：、判断：垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）5.5.如如图图，矩矩形形ABC
8、DABCD与与圆圆O O交交于于点点A A、B B、E E、F F，DE=1cmDE=1cm，EF=3cmEF=3cm，则，则AB=_cmAB=_cm56.6.如如图图，(1)(1)O的的半半径径为为5，若若弦弦AB的的长长为为8，M是是弦弦AB上上的的动动点点，则则线线段段OM的的长长的最小值为的最小值为_._.最大值为最大值为_._.(2)(2)若若O的的半半径径为为10,OM=6,则则经经过过点点M 的最短的弦的最短的弦长为长为_._.最最长长的弦的弦为为_._.经过点经过点M且且长为整数长为整数的的弦有弦有_条条.35162081.本节课我们主要学习了本节课我们主要学习了圆的轴对称性圆
9、的轴对称性 和和定理定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦，定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 2.定理的证明，是通过定理的证明，是通过“实验实验观察观察猜想猜想证明证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法想方法 3.有关弦的问题，常常需要有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段，这是，这是一条非常重要的一条非常重要的辅助线辅助线圆心到弦的距离、半径、弦长圆心到弦的距离、半径、弦长构成构成直角三角形直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题，便将问题转化为解直角三角形的问题