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1、24.124.1垂径定理垂径定理秦峰中学初三数学组周老师制作秦峰中学初三数学组周老师制作2010.10.24.2010.10.24.问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.437.4m m,拱高拱高(弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离)为为7.27.2m m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是
2、多少？实践探究实践探究把一个圆把一个圆沿着任意一条直径对折，重复几沿着任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？论？可以发现：可以发现：圆是圆是轴对称图形轴对称图形，任何一条直径任何一条直径所在直线所在直线都是它的对称轴都是它的对称轴如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE 活活 动动
3、二二 （1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在所在的直线是它的对称轴的直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BEAC=BCAD=BD弧:已知：在已知：在 O中，直径中，直径CD弦弦AB求证：求证：AM=BM=AB AC=BCAD=BD垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧垂径定理垂径定理:AM=BM,n由由 CD是是直直径径 CDABAD=BD.可推得可推得 AC=BC,垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧分弦，并且平分弦所对的两条弧你能平分一条你能平分一条弧吗？弧吗？1、在、在 O中，中，
4、OC垂直于弦垂直于弦AB，AB=8，OA=5，则，则AC=，OC=。58432、在、在 O中，中，OC垂直于弦垂直于弦AB于点于点C，交交 O 于点D，且CD=1，OA=5，则，则AB=。56D1设设 O的半径是的半径是r，圆心到弦的圆心到弦的距离距离d，弦长弦长a，三者关系如何？三者关系如何？rd r2=d2+()2a2O问题问题：它的主桥是圆弧形：它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点弧的中点到弦的距离到弦的距离)为为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？半径吗？ODABCR解得：解得：R27.9（m）解
5、决求赵州桥拱半径的问题？解决求赵州桥拱半径的问题？在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2解解:AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2半径半径OC弦弦ABAB=37.4mCD=7.2m如图，用如图，用AB表示主桥拱，设表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，D为垂足为垂足，OC与与AB相交于点相交于点C，根据前面的结论，根据前面的结论，D是是 AB的中点，的中点，C是是
6、AB 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高ODABCR 1 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的的长为长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离的距离为为3厘米，求厘米，求 O的半径。的半径。.AEBO活动三活动三解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB于于E，则则OE3厘米，厘米，AE ABAB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在Rt AOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ABOE是正方形
7、是正方形OABCDE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.AG =BG CG =DG AG-CG =BG-DG即即 AC =BDabcd a=b，c=d a c=b-d线段加减线段加减圆弧加减圆弧加减G1 1、如图，如图，AB、CD都是都是 O的弦，且的弦，且ABCD.求证：求证：AC=BD。FE解：过点解：过点O作作OECD，交，交CD于点于点E在在 O中，中，OF弦弦ABG交交 O于点于点G交交AB于点于点F，AG =BG OE弦弦CD CG =DG AG-CG =BG-DG即即 AC =BD 如图，在如图，在如图
8、，在如图，在 OO中，中，中，中，CDCD是直径，是直径，是直径，是直径，ABAB是弦，且是弦，且是弦，且是弦，且CDCDABAB，已知已知已知已知CD=20CD=20，CM=4CM=4，求，求，求，求ABAB的长。的长。的长。的长。解：连接解：连接OA在在 O中，直径中，直径CD弦弦AB AB=2AMOMA是是Rt CD=20 AO=CO=10 OM=OC CM=10 4=6在在Rt OMA中，中，AO=10，OM=6根据勾股定理，得：根据勾股定理，得：AB=2AM=2 x 8=16动动脑筋动动脑筋204AM=BM,n由由 CD是是直直径径 CDAB可推得可推得AD=BD.AC=BC,CDA
9、B,n由由 CD是是直直径径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得M垂径定理：垂径定理：推论一：推论一：在在 O中，直径中，直径CD平分弦平分弦ABCDABAC=BCAD=BD弦弦弦弦（不是直径）（不是直径）（不是直径）（不是直径）并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 .平分平分的直径的直径的直径的直径垂直于弦，垂直于弦，某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为宽度为.2 m.2 m，过，过O O 作作OC OC AB AB 于于D D，交圆弧交圆弧于于C C，CD=2.4mCD=2.4m，现有一艘船宽现有一艘船宽3m3m，船舱顶部为，船舱顶部为方形并高出水面（方形并高出水面（ABAB）2m2m的货船要经过拱桥，此的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO说出你这节课的收获和体验说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？让大家与你分享吗？