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1、第1页/共26页第2页/共26页问题问题 ：赵州桥的主桥拱是圆弧形：赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的它的跨度跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37m,37m,拱高拱高(弧弧的中点到弦的距离的中点到弦的距离)为，为，你能求出赵州桥你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？主桥拱的半径吗？第3页/共26页 实践探究实践探究将手中的圆沿着它的任意一条直径对折，将手中的圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？什么结论？你能证明你的结论吗？圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线
2、任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线都是对称轴。都是对称轴。都是对称轴。都是对称轴。第4页/共26页C 如图，设如图，设CDCD是是O的任意一的任意一条直径，条直径，A为为O 上点上点C,D以外以外的任意一点。过点的任意一点。过点A作作AB CD,交交O 于点于点B,垂足为垂足为E,连接连接OA,OB.OABDE第5页/共26页OABCDE条件条件CD为直径为直径CDAB垂径定理的几何语言叙述垂径定理的几何语言叙述:CD为直径，为直径，AE=BE，AC=BC，AD=BD结论结论AE=BEAC=BCAD=BD 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，
3、并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧CDAB第6页/共26页引申定理定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式：一条直线具有：平分弦平分弦 经过圆心经过圆心垂直于弦垂直于弦可推得可推得 平分弦所对的劣平分弦所对的劣（优）弧（优）弧第7页/共26页ABCDEABDC条件条件CDCD为直径为直径结论结论AC=BCAD=BDCDABCDABAE=BE平分弦平分弦 的直径的直径垂直于弦，并且平分垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧（不是直径不是直径）垂径定理的推论垂径定理的推论:CDABCDAB吗？吗？(E)(E)合作探究合作探究第8页/共
4、26页“知二推三知二推三”(1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意:当具备了当具备了(2(2）(3)(3)时时,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制.第9页/共26页判断下列图形，能否使用判断下列图形，能否使用垂径定理垂径定理？定理辨析定理辨析第10页/共26页双基训练双基训练判断：判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.()(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定
5、垂直于弦.()(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.第11页/共26页例例1如图，在如图，在O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求O的半径的半径应用新知识应用新知识解：解：答：答：O的半径为的半径为5cm.在RtAOE中在在O中中第12页/共26页解：如图，设半径为解：如图，设半径为R，在在tAODtAOD中，中，由勾股定理，得由勾股定理，得解得解得（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为答：赵州桥的主桥拱半径约为m.D377.23例例2：赵州桥主桥拱的：赵州桥主桥拱的跨度跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)
6、为为37m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为，你能求出赵州桥，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到主桥拱的半径吗？（精确到m）AB=37,CDR ROABC第13页/共26页变式：变式：图中两圆为同心圆图中两圆为同心圆变式变式3：隐去（变式：隐去（变式1）中的大圆，得）中的大圆，得右图连接右图连接OA，OB，设，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？变式变式4：隐去（变式：隐去（变式1）中的大）中的大圆，得右图，连接圆，得右图，连接OC，OD，设，设OC=OD，AC、BD有什么关系有什么关系？为什么？为什么？变式变式1 1：ACAC与与BDBD有
7、什么关系？有什么关系？变式变式2 2：ACBD依然成立吗依然成立吗 第14页/共26页2如图，在如图，在O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又 AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.第15页/共26页小小 结结 1.1.圆的轴对称性圆的轴对称性 2.2.垂径定理及其推论垂径定理及其推论 3.3.对称美、和谐美贯穿始终对称美、和谐美贯穿始终 4.4.数学来源于生活又服务于生活数学来源于生活又服务于生
8、活第16页/共26页选择：如图：在O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （）A、3 B、2 C、1 D、0。OCDBAA第17页/共26页 常用辅助线常用辅助线:垂直于弦的直径垂直于弦的直径第18页/共26页在直径是在直径是20cm的的O中，中，AB的度数是的度数是60，那么弦，那么弦AB的弦心距是的弦心距是_第19页/共26页弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则，则这弓形所在的圆的半径为这弓形所在的圆的半径为.第20页/共26页已知已知
9、P为为O内一点内一点,且且OP=2cm,如果如果O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的最短的弦等于点的最短的弦等于_第21页/共26页某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m，过，过O 作作OC AB 于于D，交圆弧于交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO第22页/共26页观察并回答观察并回答（1）两条直径）两条直径AB、CD，CD平分平分AB吗
10、？吗？（2）若把直径）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，向下平移，变成非直径的弦，弦弦AB是否一定被直径是否一定被直径CD平分？平分？思考：当非直径的弦思考：当非直径的弦AB与直径与直径CD有什么位置关系时，弦有什么位置关系时，弦AB有可能被直径有可能被直径CD平分？平分？第23页/共26页n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂径定理的推论垂径定理的推论 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结就可推出其余三个结论论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=B
11、C,AD=BD.第24页/共26页垂径定理及推论垂径定理及推论OABCDM垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.第25页/共26页感谢您的观看！第26页/共26页