几类不同增长的函数模型-2.ppt

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1、第1页 3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型第2页 自自 学学 导导 引引第3页 1.利用计算工具利用计算工具,比较指数函数、对数函数及幂函数增长的差比较指数函数、对数函数及幂函数增长的差异异.2.结合实际体会直线上升结合实际体会直线上升,指数爆炸、对数增长等不同函数类指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义型增长的含义.第4页 课课 前前 热热 身身第5页 三种函数模型的性质三种函数模型的性质 函数性质函数性质 y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在在(0,+)上的增上的增减性减性增长的速增长的速度度相对平稳相对平稳图图象的象的变变化化随随x增大逐增大

2、逐渐渐与与y轴轴平行平行随随x增大逐增大逐渐渐与与x轴轴平行平行随随n值值而不而不同同增函数增函数增函数增函数增函数增函数越来越快越来越快越来越慢越来越慢第6页 名名 师师 讲讲 解解第7页 三种增长函数模型的比较三种增长函数模型的比较1.指数函数和幂函数指数函数和幂函数.一般地一般地,对于指数函数对于指数函数y=ax(a1)和幂函数和幂函数y=xn(n0),通过探通过探索可以发现索可以发现,在区间在区间(0,+)上上,无论无论n比比a大多少大多少,尽管在尽管在x的一定变化范围内的一定变化范围内,ax会小于会小于xn,但由于但由于ax的增长快于的增长快于xn的的增长增长,因此总存在一个因此总存

3、在一个x0,当当xx0时时,就会有就会有axxn.第8页(2)对数函数和幂函数对数函数和幂函数.对于对数函数对于对数函数y=logax(a1)和幂函数和幂函数y=xn(n0),在区间在区间(0,+)上上,随着随着x的增大的增大,logax增长得越来越慢增长得越来越慢,图象就像是渐渐地图象就像是渐渐地与与x轴平行一样轴平行一样,尽管在尽管在x的一定变化范围内的一定变化范围内,logax可能会大可能会大于于xn,但由于但由于logax的增长慢于的增长慢于xn的增长的增长,因此总存在一个因此总存在一个x0,当当xx0时时,就会有就会有logax1),y=logax(a1)和和y=xn(n0)都是增函

4、数都是增函数,但它们增长的速度不同但它们增长的速度不同,而且不在而且不在同一个同一个“档次档次”上上,随着随着x的增大的增大,y=ax(a1)的增长速度越的增长速度越来越快来越快,会超过并远远大于会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度的增长速度,而而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢的增长速度则会越来越慢,因此总存在一个因此总存在一个x0,当当xx0时时,就会有就会有logaxxnax.第10页 典典 例例 剖剖 析析第11页 题型一题型一 一次函数模型一次函数模型例例1:为了发展电信事业方便用户为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不电信公司对移动电话采用不同的收费方

5、式同的收费方式,其中所使用的其中所使用的“便民卡便民卡”与与“如意卡如意卡”在在某市范围内每月某市范围内每月(30天天)的通话时间的通话时间x(分分)与通话费与通话费y(元元)的的关系如下图所示关系如下图所示:第12页(1)分别求出通话费分别求出通话费y1 y2与通话时间与通话时间x之间的函数关系式之间的函数关系式;(2)请帮助用户计算请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜在一个月内使用哪种卡便宜.分析分析:由图形可知由图形可知,函数关系是线性关系函数关系是线性关系,因此因此,可以用一次函可以用一次函数解决该实际问题数解决该实际问题.第13页 解解:(1)由图象可设由图象可设y1=k1x+2

6、9,y2=k2x,把点把点B(30,35)C(30,15)分别代入得分别代入得(2)令令y1=y2,第14页 规律技巧规律技巧:函数的图象是表示函数的三种方法之一函数的图象是表示函数的三种方法之一,正确识图、正确识图、用图、译图是解决函数应用问题的基本技能和要求用图、译图是解决函数应用问题的基本技能和要求.本例本例通过识图通过识图,用待定系数法求得一次函数解析式用待定系数法求得一次函数解析式,然后利用解然后利用解析式解决了实际问题析式解决了实际问题.第15页 变式训练变式训练1:某厂为了尽快解决职工住房困难问题某厂为了尽快解决职工住房困难问题,鼓励个人购鼓励个人购房和积累建房基金房和积累建房基

7、金,决定住房的职工必须按基本工资的高低决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金交纳建房公积金,办法如下办法如下:每月工资每月工资公积金公积金1000元以下元以下不交纳不交纳1000元至元至2000元元交纳超过交纳超过1000元部分的元部分的5%2000元至元至3000元元1000元至元至2000元部分交纳元部分交纳5%,超过超过2000元部分交纳元部分交纳10%3000元以上元以上 1000元至元至2000元部分交元部分交5%,2000元至元至3000元交元交10%,3000元以上部分交元以上部分交15%第16页 设职工每月工资为设职工每月工资为x元元,交纳公积金后实得数为交纳公积金后

8、实得数为y元元,求求y与与x之间的之间的关系式关系式.解解:当当0 x1000时时,y=x;当当1000 x2000时时,y=1000+(x-1000)(1-5%)=0.95x+50;当当2000 x3000时时,y=1000+1000(1-5%)+(x-2000)(1-10%)=0.9x+150;当当x3000时时,y=1000+1000(1-5%)+1000(1-10%)+(x-3000)(1-15%)=0.85x+300.因此因此y与与x的关系可用分段函数表示如下的关系可用分段函数表示如下:第17页 第18页 题型二题型二 指数函数模型指数函数模型例例2:某城市现有人口总数为某城市现有人

9、口总数为100万人万人,如果年自然增长率为如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题试解答下面的问题:(1)写出该城市人口总数写出该城市人口总数y(万人万人)与年份与年份x(年年)的函数关系式的函数关系式;(2)计算计算10年以后该城市人口总数年以后该城市人口总数(精确到精确到0.1万人万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人万人(精确到精确到1年年).(1.01210=1.127,1.01215=1.196,1.01216=1.210)第19页 分析分析:采用归纳法先让自变量取一些特殊值或较简单的值采用归纳法先让自变量取一些特殊值或较简单

10、的值,列列出相应的函数式出相应的函数式,从中发现规律从中发现规律,再推广到一般情形再推广到一般情形,从而从而得到函数关系式得到函数关系式.第20页 解解:(1)1年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%).2年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)2(1+1.2%)=100(1+1.2%)3.第21页 x年后该城市人口总数为年后该城市人

11、口总数为y=100(1+1.2%)x(xN).(2)10年后人口数为年后人口数为100(1+1.2%)10112.7(万万).(3)设设x年后该城市人口将达到年后该城市人口将达到120万人万人,即即100(1+1.2%)x=120,x=log1.0121.2016(年年).因此因此,大约大约16年以后该城市人口将达到年以后该城市人口将达到120万人万人.第22页 规律技巧规律技巧:在实际问题中在实际问题中,常常得到有关平均增长率的问题常常得到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为N,平均增长率为平均增长率为p,则对于时间则对于时间x的总产值的总产值y,可以用公式可以

12、用公式y=N(1+p)x表示表示,解决平均增长率的解决平均增长率的问题问题,要用到这个函数式要用到这个函数式.第23页 变式训练变式训练2:1995年我国人口总数是年我国人口总数是12亿亿,如果人口的年自然如果人口的年自然增长率控制在增长率控制在1.25%,问哪一年我国人口总数将超过问哪一年我国人口总数将超过14亿亿?第24页 解解:设设x年后人口总数超过年后人口总数超过14亿亿,依题意依题意,得得12(1+0.012 5)x=14,即即(1+0.012 5)x两边取对数两边取对数,得得xlg 1.012 5=lg 14-lg 12,所以所以x12.4.答答:13年后年后,即即2008年我国人

13、口总数超过年我国人口总数超过14亿亿.第25页 题型三题型三 对数函数模型对数函数模型例例3:2004年年12月月26日日,印尼发生强烈地震印尼发生强烈地震,继而引发海啸继而引发海啸,印印尼地震监测机构最初公布的报告称尼地震监测机构最初公布的报告称,这次地震的震级为里这次地震的震级为里氏氏6.8级级,而美国地质勘探局测定的震级为里氏而美国地质勘探局测定的震级为里氏8.9级级,已知已知里氏震级里氏震级R与地震释放的能量与地震释放的能量E的关系为的关系为(lgE-11.4),那么里氏那么里氏8.9级的地震释放的能量大约是里氏级的地震释放的能量大约是里氏6.8级的地震释放能量的多少倍级的地震释放能量

14、的多少倍?(已知已知100.15=1.413)第26页 解解:由由于是里氏于是里氏8.9级的地震释放级的地震释放的能量为的能量为里氏里氏6.8级的地震释放的能量为级的地震释放的能量为故所求结果为故所求结果为103.15=103100.15=1413.第27页 规律技巧规律技巧:当函数模型给定后当函数模型给定后,只需对问题进行定量分析只需对问题进行定量分析,套套用现成的公式即可解决问题用现成的公式即可解决问题.第28页 变式训练变式训练3:我们知道燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬我们知道燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.研究燕子的科学家发现研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为两

15、岁燕子的飞行速度可以表示为函数函数单位单位m/s,其中其中x表示燕子的耗氧量表示燕子的耗氧量.(1)计算当一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少单位计算当一只两岁燕子静止时的耗氧量是多少单位;(2)当一只两岁燕子的耗氧量是当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时个单位时,它的飞行速度是它的飞行速度是多少多少?第29页 解解:(1)由题意知当燕子静止时由题意知当燕子静止时,它的速度为它的速度为0,代入函数关系式代入函数关系式可得可得:x=10,即燕子静止时的耗氧量即燕子静止时的耗氧量为为10个单位个单位.(2)将耗氧量将耗氧量x=80代入关系式得代入关系式得即当耗氧量是即当耗氧量是80个单位时个单位时,飞

16、行速度是飞行速度是15 m/s.第30页 易易 错错 探探 究究第31页 例例4:某商品在最近某商品在最近30天内的单价天内的单价f(t)(单位单位:元元)与时间与时间t(单位单位:天天)的函数关系式为的函数关系式为f(t)=t+10,某经销商日销售量某经销商日销售量g(t)(单位单位:件件)与时间与时间t(单位单位:元元)的函数关系式为的函数关系式为g(t)=-t+35.求这种商求这种商品日销售金额品日销售金额y(元元)的最大值的最大值.第32页 错解错解:由题意得由题意得,日销售金额日销售金额y=f(t)g(t)=(t+10)(-t+35)=-t2+25t+350第33页 错因分析错因分析

17、:题目中的条件应为正整数题目中的条件应为正整数,而错解中忽略了而错解中忽略了t的取值的取值条件条件,当当时取得最大值时取得最大值是不合题意的是不合题意的.正解正解:由题意得由题意得,日销售金额日销售金额y=f(t)g(t)=(t+10)(-t+35)=-t2+25t+350第34页 0t30且且tN*.当当t=12或或13时时,y取得最大值取得最大值,且最大值为且最大值为506元元.所以这种所以这种商品的日销售金额的最大值为商品的日销售金额的最大值为506元元.第35页 技技 能能 演演 练练第36页 基础强化基础强化1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整某公司为了适应市场需求对产品

18、结构做了重大调整,调整后调整后初期利润增长迅速初期利润增长迅速,后来增长越来越慢后来增长越来越慢,若要建立恰当的函若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润数模型来反映该公司调整后利润y与时间与时间x的关系的关系,可选用可选用()A.一次函数一次函数B.二次函数二次函数C.指数型函数指数型函数D.对数型函数对数型函数解析解析:一次函数匀速增长一次函数匀速增长,二次函数和指数型函数都是开始增二次函数和指数型函数都是开始增长慢长慢,以后增长越来越快以后增长越来越快,只有对数型函数增长先快后慢只有对数型函数增长先快后慢.答案答案:D第37页 2.一辆匀速行驶的火车一辆匀速行驶的火车90 min行驶

19、行驶180 km,则这辆火车行驶则这辆火车行驶的路程的路程y(km)与时间与时间t(h)之间的函数关系式是之间的函数关系式是()A.y=2tB.y=120tC.y=2t(t0)D.y=120t(t0)答案答案:D解析解析:90 min=1.5 h,y=t=120t(t0),故选故选D.第38页 3.已知镭经过已知镭经过100年剩留原来质量的年剩留原来质量的95.76%,设质量为设质量为1的镭的镭经过经过x年后的剩留量为年后的剩留量为y,则则x y之间的函数关系为之间的函数关系为()解析解析:特殊值法特殊值法,取取x=100代入选择支代入选择支,只有只有A正确正确.答案答案:A第39页 4.某地

20、区植被被破坏某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重土地沙化越来越严重,最近三年测得沙最近三年测得沙漠增加值分别为漠增加值分别为0.2万公顷万公顷 0.4万公顷和万公顷和0.76万公顷万公顷,则沙则沙漠增加数漠增加数y公顷关于年数公顷关于年数x的函数关系较为近似的是的函数关系较为近似的是()解析解析:将题中所给三个数据代入解析式知将题中所给三个数据代入解析式知,函数函数 较为接近较为接近.答案答案:C第40页 5.甲甲 乙两人沿着同一方向去乙两人沿着同一方向去B地地,途中两人的速度都是途中两人的速度都是v1或或v2(v1v2).甲一半的路程使用速度甲一半的路程使用速度v1,另一半的路程使用速另一半

21、的路程使用速度度v2;乙一半的时间使用速度乙一半的时间使用速度v1,另一半的时间使用速度另一半的时间使用速度v2.关于甲关于甲 乙二人从乙二人从A地到达地到达B地的路程与时间的函数图象及地的路程与时间的函数图象及关系关系,有下面有下面4个不同的图示分析个不同的图示分析(其中横轴其中横轴t表示时间表示时间,纵纵轴轴s表示路程表示路程),则其中可能正确的图示分析为则其中可能正确的图示分析为()第41页 第42页 A.(1)B.(3)C.(1)或或(4)D.(1)或或(2)解析解析:v1v2,甲一半的路程使用速度甲一半的路程使用速度v1,另一半的路程使用另一半的路程使用v2,则甲到则甲到B地所用时间

22、长一些地所用时间长一些,因此图因此图(1)图图(2)可能正确可能正确.答案答案:D第43页 6.三个变量三个变量y1、y2、y3随变量随变量x的变化情况如下表的变化情况如下表:X1.00 3.00 5.00 7.00 9.0011.00y15135625171536456655y2529245218919685177149y35.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40第44页 其中其中x呈对数函数型变化的变量是呈对数函数型变化的变量是_,呈指数函数型变呈指数函数型变化的变量是化的变量是_,呈幂函数型变化的变量是呈幂函数型变化的变量是_.y3y2y1第45页 7.工厂生产某种产品

23、的月产量工厂生产某种产品的月产量y与月份与月份x满足关系满足关系y=a0.5x+b,现已知该厂今年现已知该厂今年1月份月份 2月份生产该产品分别为月份生产该产品分别为1万件万件 1.5万件万件.则此工厂则此工厂3月份该产品的产量为月份该产品的产量为_万件万件.解析解析:把把x=1,y=1和和x=2,y=1.5,代入代入y=a0.5x+b得得y=-20.5x+2.当当x=3时时,y=-20.53+2=1.75.答案答案:1.75第46页 8.某城市客运公司确定客票价格的方法是某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过如果行程不超过100 km,票价是票价是0.5元元/km,如果超过如果超

24、过100 km,超过超过100 km部部分按分按0.4 元元/km定价定价,则客运票价则客运票价y(元元)与行驶千米数与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是之间的函数关系式是_答案答案:第47页 解析解析:当当0100时时,y=0.5100+(x-100)0.4=0.4x+10.y=0.5x,(0100).第48页 能力提升能力提升第49页 9.把长度为把长度为1的铁丝分成两段的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆分别围成一个正方形和一个圆形形,要使正方形和圆的面积之和最小要使正方形和圆的面积之和最小,正方形的周长应为多正方形的周长应为多少少?第50页 解解:设正方形周长为设正方形周长为

25、x,正方形与圆的面积之和为正方形与圆的面积之和为S.则正方形的边长为则正方形的边长为圆周长为圆周长为1-x,圆半径为圆半径为则则SS有最小值有最小值,此时此时,正方形的周长为正方形的周长为第51页 10.某公司生产一种电子仪器的固定成本为某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元元,每生产每生产一台仪器需增加投入一台仪器需增加投入100元元,已知总收益满足函数已知总收益满足函数:其中其中x是仪器的月产量是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数将利润表示为月产量的函数f(x).(2)当月产量为何值时当月产量为何值时,公司所获利润最大公司所获利润最大?最大利润为多少最大利润为多少元元?(

26、总收益总收益=总成本总成本+利润利润).第52页 解解:(1)设月产量为设月产量为x台台,则总成本为则总成本为20000+100 x,依题意可得依题意可得:(2)当当0 x400时时,f(x)=(x-300)2+25000.当当x=300时时,f(x)的最大值为的最大值为25000;当当x400时时,f(x)=60000-100 x是减函数是减函数.f(x)60000-10040025000每月生产每月生产300台仪器时利润最大台仪器时利润最大,最大利润为最大利润为25000元元.第53页 品味高考品味高考第54页 11.(08湖北湖北)已知函数已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9

27、x2-6x+2,其中其中xR,a,b为常数为常数,则方程则方程f(ax+b)=0的解集为的解集为_.第55页 解析解析:f(x)=x2+2x+a,f(bx)=(bx)2+2bx+a,又又f(bx)=9x2-6x+2,比较对应项系数可得比较对应项系数可得b2=9,2b=-6,a=2,a=2,b=-3,f(ax+b)=f(2x-3)=0即即第56页(2x-3)2+2(2x-3)+2=0,即即4x2-8x+5=0.=(-8)2-445=-160.方程方程f(ax+b)=0无解无解.第57页 12.(北京春北京春)某租赁公司拥有汽车某租赁公司拥有汽车100辆辆,当每辆车的月租金为当每辆车的月租金为3 000元时元时,可全部租出可全部租出,当每辆车的月租金增加当每辆车的月租金增加50元时元时,未未租出的车将会增加一辆租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费租出的车每辆每月需要维护费150元元,未租出的每辆每月需要维护费未租出的每辆每月需要维护费50元元.(1)当每辆车的月租金定为当每辆车的月租金定为3 600元时元时,能租出多少辆车能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少最大月收益是多少?