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1、几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型生态故事：生态故事：“一群兔子引发的一群兔子引发的危机危机” 18591859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。19501950年，澳大利亚年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大地区的庄稼
2、或草地都遭到了极大损失。绝望之中，人们从巴西引损失。绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子。整个繁殖的兔子。整个2020世纪中期，世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过澳大利亚的灭兔行动从未停止过。 “指数爆炸指数爆炸”模型模型问题情景问题情景假如某公司每天向你投资假如某公司每天向你投资1万元，共投资万元，共投资30天。天。公司要求你给他的回报是：第一天给公司公司要求你给他的回报是：第一天给公司1分分钱，第二天给公司钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都分钱，以后每天给的钱都是前一天的是前一天的2倍，共倍，共30天，你认为这样的交易天，你认为
3、这样的交易对你有利吗？对你有利吗？ 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：你选择，这三种方案的回报如下： 方案一方案一：每天回报：每天回报4040元；元； 方案二方案二：第一天回报：第一天回报1010元，以后每天比前一天多回报元，以后每天比前一天多回报1010元；元； 方案三方案三：第一天回报：第一天回报0.40.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案呢？请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优投入资金
4、相同，回报量多者为优. .(1)(1)比较三种方案每天回报量；比较三种方案每天回报量；(2)(2)比较三种方案一段时间内的累计回报量比较三种方案一段时间内的累计回报量. 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：解：设第设第x天所得回报为天所得回报为y元，则元，则方案一：每天回报方案一：每天回报40元。函数关系为元。函数关系为y=40 (xN*) ；方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报元，以后每天比前一天多回报 10
5、元。函数关系为元。函数关系为y=10 x (xN*)；方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天元，以后每天的回报比前一天 翻一番。函数关系为翻一番。函数关系为y=0.42x-1 (xN*)。x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.43040300214748364.80000000001010101010101010100.40.81.
6、63.26.412.825.651.2107374182.4下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长三个函数的图象三个函数的图象我们看到，底数我们看到，底数为为2 2的指数函数的指数函数模型比线性函数模型比线性函数模型增长速度要模型增长速度要快得多快得多. .从中你从中你对对“指数爆炸指数爆炸”的含义有什么新的含义有什么新的理解？的理解？除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑回报的累积值除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑回报的累积值. .你能你能把前把前11天回报的累积值算出来吗天回报的累积值算出来吗?累计回报表累计回报表 天数天数方案方案1 12
7、23 34 45 56 67 78 89 910101111一一40408080120120160160200200240240280280320320360360400400440440二二101030306060100100150150210210280280360360450450550550660660三三0.40.41.21.22.82.86 612.412.425.225.250.850.8102102204.4204.4409.2409.2816.8816.8投资投资1 16 6天，应选择方案一；投资天，应选择方案一；投资7 7天，应选择方案一或方案二天，应选择方案一或方案二；投
8、资投资8 81010天，应选择方案二；天，应选择方案二；投资投资1111天天(含含1111天天)以上，应选择方案三。以上，应选择方案三。比较函数的增长情况？比较函数的增长情况？常数函数常数函数一次函数一次函数指数函数指数函数指数爆炸指数爆炸没有增长没有增长匀速增长匀速增长急剧增长急剧增长由例由例1 1得到得到 解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题实际问题读懂问题读懂问题抽象概括抽象概括数学问题数学问题演算演算推理推理数学问题的解数学问题的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解解决解决情景问题解答情景问题解答 假如某公司每天给你投资假如某公司每天给你投资1万元，共投资万元，共投资
9、30天。公司天。公司要求你给他的回报是：第一天给公司要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天分钱，第二天给公司给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，倍，共共30天，你认为这样的交易对你有利吗？天，你认为这样的交易对你有利吗？你你30天内给公司的回报为天内给公司的回报为:0.01+0.012+0.0122+0.01229=10737418.231074(万元万元)30万元万元解答如下：公司解答如下：公司30天内为你的总投资为天内为你的总投资为:某公司为了实现某公司为了实现10001000万元利润的目标，准备制定一万元利润的目标，准备制定一个激励销售部
10、门的奖励方案：在销售利润达到个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到1010万元时，按万元时，按销售利润进行奖励，且奖金销售利润进行奖励，且奖金y( (单位：万元单位：万元) )随着销售利润随着销售利润x ( (单位：万元单位：万元) )的增加而增加，但资金数不超过的增加而增加，但资金数不超过5 5万元，同时奖万元，同时奖金不超过利润的金不超过利润的25%25%。现有三个奖励模型：。现有三个奖励模型：y= =0.250.25x，y= =log7 7x+1+1，y= =1.0021.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？，其中哪个模型能符合公司的要求呢？ 本题中涉及了哪几类函数模型本题中涉及
11、了哪几类函数模型? ?实质是什么实质是什么? ? 本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型数模型, ,实质是比较三个函数的增长情况。实质是比较三个函数的增长情况。思考思考 怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢的要求呢? ? 要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5 5万元万元, ,以及奖励比例是否超过以及奖励比例是否超过25%25%进行分析进行分析, ,才能做出正确才能做出正确选择。选择。 由于公司总的利润目标为由于公司总的利润目标为10001000万元，所以
12、人员万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是只需在销售利润一般不会超过公司总的利润。于是只需在区间区间10,100010,1000上，检验三个模型是否符合公司的要上，检验三个模型是否符合公司的要求即可。求即可。借助计算机作出三个函数的图象借助计算机作出三个函数的图象三个函数的图象如下三个函数的图象如下可以看到：在可以看到：在区间区间10,100010,1000上只有模型上只有模型y=log=log7 7x+1+1的的图象始终在图象始终在y=5=5的下方的下方通过计算确认上述判断通过计算确认上述判断 对于模型对于模型y=0.250.25x，它在区间，它在区间10,100010,100
13、0上递上递增，当增，当x=2020时，时， y=5 5 ，因此，因此x(20,1000)(20,1000)时，时，y5 5，因此该模型不符合要求。，因此该模型不符合要求。 对于模型对于模型y=1.002=1.002x，由函数图象，并利用计，由函数图象，并利用计算器，可知在区间算器，可知在区间(805,806)(805,806)内有一个点内有一个点x0 0满足满足1.0021.002x0 0 =5=5，由于它在，由于它在10,100010,1000上递增，因此上递增，因此当当xx0 0时，时，y5 5，因此该模型也不符合要求。，因此该模型也不符合要求。对于模型对于模型y=log7 7x+1 1(
14、1) (1) 由函数图象可以看出，它在区间由函数图象可以看出，它在区间10,100010,1000上上递增，而且当递增，而且当x=10001000时，时，y=loglog7 710001000+1 14.554.555,5,所以它符合奖金不超过所以它符合奖金不超过5 5万元的要求。万元的要求。(2) (2) 再计算按模型再计算按模型y=loglog7 7x+1 1奖励时，奖金是否不超奖励时，奖金是否不超过利润的过利润的25%25%，即当，即当x 10,1000 10,1000时，是否有时，是否有log.xyxx710 25成立。成立。 令令 f( (x) )= log log7 7x+1-0.
15、251-0.25x，x10,1000.10,1000.利用计算机利用计算机作出函数作出函数f( (x) )的图象，由图象可知它是递减的，因此的图象，由图象可知它是递减的，因此f( (x) ) f(10)(10) -0.3167-0.31670 0,即即 loglog7 7x+1+11 1)和和幂函数幂函数y=xn (n0)，通过探索可以发现：，通过探索可以发现： 在区间在区间(0,+)上，无论上，无论n比比a大多少，大多少，尽管在尽管在x的一定范围内，的一定范围内，ax会小会小xn，但由，但由于于ax的增长快于的增长快于xn的增长，因此总存在一的增长，因此总存在一个个x0，当，当xx0时，就会
16、有时，就会有axxn.结论结论2 2： 一般地，对于指数函数一般地，对于指数函数y=logax (a1)和幂函数和幂函数y=xn (n0)，通过探索可以发现：，通过探索可以发现： 在区间在区间(0,+)(0,+)上，随着上，随着x的增大，的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与地与x轴平行一样。尽管在轴平行一样。尽管在x的一定范围的一定范围内，内， logax可能会小可能会小xn，但由于，但由于logax的的增长慢于增长慢于xn的增长，因此总存在一个的增长，因此总存在一个x0，当当xx0时，就会有时，就会有logax1)，y=logax (a1)和和y
17、=xn (n0)都是增函数。都是增函数。(2) 随着随着x的增大，的增大， y=ax (a1)的增长速度越来越快，会远的增长速度越来越快，会远远大于远大于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。(3) 随着随着x的增大，的增大，y=logax (a1)的增长速度越来越慢，会的增长速度越来越慢，会远远小于远远小于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。总存在一个总存在一个x0，当，当xx0时，就有时，就有: logaxkxxnax1.当当x越来越大时，增长速度最快的是越来越大时，增长速度最快的是( )xyDxyCxyBxyA2100.ln100.100.100D 2.一次实验中，一次实验中，
18、x,y函数关系与下列哪函数关系与下列哪类函数最接近类函数最接近( )x123456y0.250.490.7611.261.51xbayDbaxyCbayBbkxyAx.2A 3.一次实验中，一次实验中，x,y函数关系与下列哪函数关系与下列哪类函数最接近类函数最接近( )t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.0122.21.22.log.22tuDtuCuBtuAtC 4. 函数函数 与与 交点个数交点个数( )3.2.1.0.DCBA22xyyxB 5. 时有时有( ) Rxxxgxfx,2,3 xfxgDxgxfCxfxgBxgxfA.A 几种常见函数的增长情况：几种常见函数的增长情况：常数函数常数函数一次函数一次函数指数函数指数函数对数函数对数函数没有增长没有增长直线上升直线上升指数爆炸指数爆炸“慢速慢速”增长增长解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题实际问题读懂问题读懂问题抽象概括抽象概括数学问题数学问题演算演算推理推理数学问题的解数学问题的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解