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1、高考理科数学摸拟试题高考理科数学摸拟试题一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.已知 f(x)=sinx+cosx，则 f()的值为12D.A.62B.13C.2222110，则下列结论不正确的是abbaA.a2b2B.abb2C.2ab2.若D.a+ba+b3.已知 a a，b b，c c 为任意非零向量，下列命题中可作为a a=b b 的必要不充分的条件是|a a|=|b b|；(a a)2=(b b)2；c c(a ab b)=0.A.B.C.D.4.从 6 人中任选 4 人排成一排，其中甲、乙必入选，且甲必须排在乙的左边(可以不相邻)，则所有不同排法种数是A
2、.36B.72C.144D.2885.正项等比数列an满足：a2a4=1，S3=13，bn=log3an，则数列bn的前 10 项的和是A.65B.65C.25D.25x2y26.椭圆22=1(ab0)的长轴被圆 x2+y2=b2与 x 轴的两个交点三等分，则椭圆的离ab心率是A.12B.23C.23D.2 237.甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别为中的概率为A.111、，现三人各投篮一次至少有1 人命534D.160B.473C.56013608.正四面体棱长为 1，其外接球的表面积为A.3B.35C.22D.39.如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，底面边长为 1，侧棱长为 2，E
3、为 BB1中点，则异面直线 AD1与 A1E 所成的角为A.arccos105B.arcsin10C.905D.arccos101010.已知，命题 p:x+1的最小值是 2，q:(1x)5的展开式中第 4 项的系数最小，下列说法x正确的是A.命题“p 或 q”为假 B.命题“p 且 q”为真 C.命题“非 p”为真 D.命题 q 为假11.已知 f(x)为奇函数，周期 T=5，f(3)=1，且 tan=2，则 f(20sin cos)的值为A.1B.1C.2D.212.已知 f(x)=3x b(2x4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则 F(x)=f1(x)2f1(x2)的值域为A.2，
4、5B.1，+）C.2，10 D.2，13二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)13.若双曲线离心率为 2，则它的两条渐近线的夹角等于_.14.已知函数 y=f(x)的反函数 f(x)=log(xcos8)，则方程 f(x)=1 的解是_.sin12815.对于实数 x、y，定义新运算x*y=ax+by+1，其中a、b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.若 3*5=15，4*7=28，则 1*1=_.16.设、表示平面，l 表示不在 内也不在 内的直线，存在下列三个事实：l;l;，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成三个命题，其中真命题是_.(要求写出所有真
5、命题)三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 12 分)BC7在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 4sincos2A=，222(1)求A 的度数；(2)若 a=3，b+c=3，求 b 和 c 的值.18.(本小题满分 12 分)数列 an 中，a1=1，n2 时，其前 n 项的和 Sn满足 Sn2=an(Sn(1)求 Sn的表达式；(2)设 bn=1).2Sn，求数列bn的前 n 项和 Tn.2n119.(本小题满分 12 分)如图，正三角形 ABC 与直角三角形 BCD 成直二面角，且BCD=90，CB
6、D=30.(1)求证：ABCD；(2)求二面角 DABC 的大小；(3)求异面直线 AC 和 BD 所成的角.20.(本小题满分 12 分)在中国轻纺市场，当季节即将来临时，季节性服装价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为 10 元，并且每周(七天)涨价 2 元，5 周后保持 20 元的价格平稳销售，10 周后当季节即将过去时，平均每周削价2 元，直到 16 周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格 P 与周次 t 的函数关系.(2)若此服装每件进价 Q 与周次 t 之间的关系为 Q=0.125(t8)2+12，t0，16，tN N.试问：该服装第几周每件销售利润L 最大？21.(本小题满分 1
7、2 分)已知函数 f(x)=x21(x1)的图象是 C1，函数 y=g(x)的图象 C2与 C1关于直线 y=x 对称.(1)求函数 y=g(x)的解析式及定义域 M；(2)对于函数 y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域 A 内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)h(x2)|a|x1x2|成立，则称函数 y=h(x)为 A 的利普希茨类函数.试证明：y=g(x)是 M 上的利普希茨类函数；(3)设 A、B 是曲线 C2上任意不同两点，证明：直线AB 与直线 y=x 必相交.22.(本小题满分 14 分)椭圆 E 中心在原点 O，焦点在 x 轴上，其离心率 e=2，过点 C(
8、1，0)的直线 l 与椭3圆 E 相交于 A、B 两点，且 C 分有向线段AB的比为 2.(1)用直线 l 的斜率 k(k0)表示OAB 的面积;(2)当OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程.参考答案参考答案一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1.解析：f(x)=2sin(x+)，4f(6)=2sin=.1232110，得 ba0.ab答案：A2.解析：由|a|+|b|=|a+b|，D 不正确.答案：D3.解析：由 a a=b b 可推得均成立，而由均推不出a a=b b 成立，选 C.答案：C4.解析：C4A4A2=72.答案：B5.解析：a32=a2a4=1，a3=1.设an的公比
9、为S3=q2+q+1=13，解得 q=3，公比为2421，则q1.31n31n3)=()，331bn=log3()n 3=3n.3an=a3(bn是等差数列，其前 10 项和为答案：D6.解析：由题意知 ab=2b，a=3b，c=22b，10(27)=25.2e=c2 2.a3答案：D7.解析：甲、乙、丙三人均未命中的概率为(11112)(1)(1)=，5345甲、乙、丙三人至少有1 人命中的概率为 1答案：C23=.558.解析：将正四面体补成正方体，由正四面体棱长为 1，可得正方体棱长为2，正四面2体的外接球也就是正方体的外接球，其直径2r 等于正方体的对角线长263=.22r=36，外接
10、球表面积为4 r2=.24答案：B9.解析：取 CC1中点 F，连结 D1F、AF，则AD1F 是 AD1与 A1E 所成角，易得 AD1=5，D1F=2，AF=3，AFD1=90.cosAD1F=D1F10.AD15答案：A10.解析：x 可取负值，命题 p 为假，非 p 真，故选 C.答案：C11.解析：由 tan=2，得 sin2=4，5f(20sin cos)=f(10sin2)=f(8)=f(3)=f(3)=1.答案：B12.解析：f(x)图象过点(2，1)，32 b=1，b=2.f(x)=3x 2，f1(x)=log3x+2(1x9).f1(x2)中，x21，9.x3，11，3，F
11、(x)定义域为1，3，而 F(x)=(log3x+2)2(log3x2+2)=(log3x+1)2+1.log3x0，1，F(x)2，5.答案：A二、填空题(每小题 4 分，共 16 分)13.6014.x=215.1116.，三、解答题(17，18，19，20，21 题每题 12 分，22 题 14 分，共 74 分)BC717.解：(1)由 4sincos2A=及 A+B+C=180，222得 21cos(B+C)2cos2A+1=4(1+cosA)4cos2A=5.4cos2A4cosA+1=0，cosA=7，21.26 分0A180，A=60.b2c2a2(2)由余弦定理得：cosA=
12、.2bc11b2c2a2cosA=，=，222bc(b+c)2a2=3bc.将 a=3，b+c=3 代入上式得 bc=2.bc 3b 1,b 2,由得或c 1.c 2.bc 218.解：(1)n2，Sn2=(SnSn1)(SnSn=12 分1)，2Sn1，2Sn11即11=2(n2).SnSn111=2n1，Sn=.2n1Sn6 分(2)bn=Sn1111()，2n1(2n1)(2n1)2 2n12n111111111(1+)3355722n12n111=(1).22n1Tn=12 分19.(1)证明：平面 ABC平面 BCD，且BCD=90，CD平面 ABC，AB平面 ABC，CDAB.3
13、分(2)解：过点 C 作 CMAB 于 M，连 DM，由(1)知 CD平面 ABC，DMAB.CMD 是二面角 DABC 的平面角.设 CD=1，由BCD=90，CBD=30，得 BC=3，BD=2.ABC 为正三角形，CM=3CD223，CMD=arctan.BC=.tanCMD=2CM332二面角 DABC 的大小为 arctan2.37 分(3)解：取三边 AB，AD，BC 的中点 M，N，O，连 AO，MO，NO，MN，OD.则 OM1AC，MN21BD.2直线 OM 与 MN 所成的锐角或直角就是直线AC 和 BD 所成的角.ABC 为正三角形，且平面ABC平面 BCD，AO平面 B
14、CD，AOD 是直角三角形，ON=又CD平面 ABC，AD=1AD，2AC2CD231=2.1MO33在OMN 中，OM=，MN=1，ON=1，cosNMO=2.2MN4直线 AC 和 BD 所成的角为 arccos34.102t0 t20.解：(1)P=5,205t 10,402t11t 16.128t 60 t 5,()PQ=18t22t 16 5 t 10,128t 4t 36 11 t 16.t=5 时，L1max=98，即第 5 周每件销售利润最大.21.解：(1)由 y=x21(x1)，得 y0，且 x=y1，f1(x)=x1(x0)，即 C2：g(x)=x1，M=x|x0.(2)
15、对任意的 x1，x2M，且 x1x2，则有 x1x20，x10，x20.|g(x1)g(x2)|=|x11xx1 x2|21|=|x112|x1x2|.11x2y=g(x)为利普希茨类函数，其中a=12.(3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线 C2上不同两点，x1，x2M，且 x1x2.由(2)知|k|g(xAB|=|y1 y21)g(x2)|1x x|=12|x1 x2|21.直线 AB 的斜率 kAB1.又直线 y=x 的斜率为 1，直线 AB 与直线 y=x 必相交.22.解：(1)设椭圆 E 的方程为x2y2c2a2b2=1(ab0)，由 e=a3.12 分6 分12 分4
16、 分8 分12 分a2=3b2，故椭圆方程 x2+3y2=3b2.设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由于点 C(1，0)分有向线段AB的比为 2，x12x2 13x11 2(x21),y，即12y2 0y1 2y2.3x23y23b2由(x1)消去 y 整理并化简，得y k(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0.由直线 l 与椭圆 E 相交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，36k4 4(3k21)(3k2 2b2)0,x6k21 x2 3k21,x3k23b21x23k21.而 S1OAB=2|y11y2|=2|2y2y2|=32|y32k(x32|=|2+1)|=2|k|x2+1|.由得:x+1=223k21，代入得：S3|k|OAB=3k21(k0).8 分(2)因 S3|k|3OAB=3k21=33|k|12 3=32，|k|当且仅当 k=33，SOAB取得最大值.此时 xx1+x2=1，又1 2x23=1，x1=1，x2=2.将 x1，x2及 k2=13代入得 3b2=5.椭圆方程 x2+3y2=5.2 分4 分14 分