高考数学试题(理科).pdf

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1、湖北省高考数学试题湖北省高考数学试题（理）（理）1i为虚数单位，i607的共轭复数为AiBiC1D12我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为A134 石B169 石C338 石D1365 石3已知(1 x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项二项式系数和为A212B211C210D294设X:N(21,21)，Y:N(2,2)，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是AP(Y 2)P(Y 1)BP(X 2)P(X 1)C 对 任 意 正 数t

2、，P(X t)P(Y t)D 对 任 意 正 数t，第 4 题图P(X t)P(Y t)5设a1,a2,L,anR R，n 3.若 p：a1,a2,L,an成等比数列；q：(a221 a2L a22222n1)(a2 a3L an)(a1a2 a2a3L an1an)，则Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Cp 是 q 的充分必要条件Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件1,x 0,6已知符号函数sgn x 0,x 0,f(x)是R R上的增函数，g(x)f(x)f(ax)(a 1)，1,x 0.则Asgng(x)sgn

3、xBsgng(x)sgn xCsgng(x)sgnf(x)Dsgng(x)sgnf(x)7在区间0,1上随机取两个数x,y，记p1为事件“x y 12”的概率，p2为事件“|x y|12”的概率，p为事件“xy 132”的概率，则Ap1 p2 p3Bp2 p3 p1Cp3 p1 p2 Dp3 p2 p18将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a b)同时增加m(m 0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则A对任意的a,b，e1 e2B当a b时，e1 e2；当a b时，e1 e2C对任意的a,b，e1 e2D当a b时，e1 e2；当a b时，e1 e29已知集合A(x,

4、y)x2 y21,x,yZ Z，B(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ Z，定义集合A B(x1 x2,y1 y2)(x1,y1)A,(x2,y2)B，则A B中元素的个数为A77B49C45D3010设xR R，x表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得t1，t2 2，tn n同时成立，则正整数n的最大值是A3B4C5D611已知向量uOAuu ruABuu r，|uOAuu r|3，则uOAuu ruOBuu r12函数f(x)4cos2x2cos(2 x)2sin x|ln(x 1)|的零点个数为13如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北3

5、0o的方向上，行驶 600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75o的方向上，仰角为30o，则此山的高度CD m.yDBCNCMAOTBA第 13 题图第 14 题图14 如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B（B 在 A 的上方），且AB 2（）圆C的标准方程为；（）过点A任作一条直线与圆O:x2 y21相交于M,N两点，下列三个结论：NAMAMABCNBMB；NBNAMAMB 2；NBNAMB 2 2P其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）A15 如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC 3PB，则ABAC第.15 题图16 在直角坐

6、标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 的x t1极坐标方程为(sin3cos)0，曲线 C 的参数方程为t,1(t 为参数)，l 与 Cy t t相交于 A,B 两点，则|AB|.17某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)(0,|2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x 02322x536Asin(x)0550（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；（）将y f(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到y g(x)的图象.若y g(x)图象的一个对称中心为(512,0)，

7、求的最小值.18设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为Sn，等比数列bn的公比为 q已知b1 a1，ban2 2，q d，S10100（）求数列an，bn的通项公式；（）当d 1时，记cnb，n求数列cn前 n 项和Tn19 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 如图，在阳马P ABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD CD，过棱PC的中点E，作EF PB交PB于P点F，连接DE,DF,BD,BE.（）证明：PB 平面DEF试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，FE说明理由；

8、（）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求DCDC3BC的值AB第 19 题图20某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品生产1 吨A产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨B产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元要求每天B产品的产量不超过A产品产量的 2 倍，设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过 12 小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W1518P120.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量（）求Z的分

9、布列和均值；（）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率21一种作图工具如图1 所示O是滑槽AB的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且DN ON 1，MN 3 当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动N 绕O转动一周（D 不动时，N 也不动），M处的笔尖画出的曲线记为 C以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系（）求曲线 C 的方程；（）设动直线l与两定直线l1:x 2y 0和l2:x 2y 0分别交于P,Q两点若直线l总

10、与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由yNNADOBDOMM第 21 题图 222已知数列ab1n的各项均为正数，n n(1n)nan(nN)，e 为自然对数的底数（）求函数f(x)1 x ex的单调区间，并比较(11n)n与 e 的大小；（）计算b1，b1b2，b1b2b3bb L bna，由此推测计算1 21a1a2a的公式，并给出证明；1a2a3a1a2L an1（）令cann(1a2L an)，数列an，cn的前n项和分别记为Sn,Tn,证明：Tn eSn.参考答案：参考答案：1A2B3D4C5A6B7B8D9C10B

11、11 912 213100 614（）(x 1)2(y 2)2 2；（）1512162 517（）根据表中已知数据，解得A 5,2,6.数据补全如下表：x 03222x751312312612Asin(x)05050且 函 数 表 达 式 为f(x)5sin(2x 6)（）由（）知f(x)5sin(2x 6)，得g(x)5sin(2x 26).因为y sinx的对称中心为(k,0)，kZ Z.令2x 26 k，解得x k212，kZ Z.由于函数y g(x)的图象关于点(512,0)成中心对称，令k521212解得k23，kZ Z.由 0可知，当k 1时，取得最小值6.18（）由题意有，10a

12、1 45d 100,a2a19d 20,1d 2,即a1d 2,解得a1,a1 9,a 1(2n 79),1an 2n 1,nd 2,或d 2故9.bn 2n1.或92n1bn 9(9).（）由d 1，知a1n 2n 1，bn 2n，故c2n1n2n1，于是T3n1252792n 122324L 2n1，11357922T 2n 1n22232425L 2n.-可得12T212112n 1222 32n 32n，故T2n 3n2L n2nn 62n1.19（解法 1）（）因为PD底面ABCD，所以PD BC，由底面ABCD为长方形，有BC CD，而PDI CD D，所以BC 平面PCD.而DE

13、平面PCD，所以BC DE.又因为PD CD，点E是PC的中点，所以DE PC.而PCI BC C，所以DE 平面PBC.而PB平面PBC，所以PBDE.又PBEF，DE I EFE，所以PB平面DEF.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.（）如图 1，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.（）知，PB平面DEF，所以PBDG.又因为PD底面ABCD，所以PDDG.而PD I PBP，所以DG平面PBD.故BDF是面DEF与面ABCD所

14、成二面角的平面角，设PDDC1，BC，有BD12，在RtPDB中,由DFPB,得DPFFDB3,则tan3tan DPFBDPD123,解得2.所以DCBC122.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3时，DC2BC2.（解法 2）（）如图 2，以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设PDDC1，BC，则D(0,0,0),P(0,0,1),B(,1,0),C(0,1,0)，uPBuu r(,1,1)，点E是PC的中点，所以E(0,11uuu r11uuu r uuu r2,2)，DE(0,2,2)，于是PBDE0，即PBDE.又已知EFPB，而D

15、E I EFE，所以PB平面DEF.因uPCuu r(0,1,1),uDEuu r uPCuu r0,则DEPC,所以DE平面PBC.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEFzP，EFB，DFB.PFEFEGDCDCyABxAB第 19 题解答图 1第 19 题解答图 2（）由PD平面ABCD，所以uDPuu r(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量；由（）知，PB平面DEF，所以uBPuu r(,1,1)是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为uBPuu r uuu3

16、，则cos3|uBPuu rDPr|uDPuu r|12212，解得2.所以DCBC122.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为DC23时，BC2.21（）设点D(t,0)(|t|2)，N(x,y),M(x,y)，依题意，uMDuuu r 2uDNuur，且|uDNuur|uy00ONuu r|1，PNDOxMQ所以(t x,y)2(x第 21题解答图(x20t)2 y01,t x 2x0 2t,0t,y0)，且x22即0 y01.y 2y0.且t(t 2x0)0.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于 0，于是t 2xxy0，故x04,y0 2，代2y2001，可得x216y24

17、1，即所求的曲线C的方程为x216y2入x 41.（）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x 4或x 4，都有S1OPQ244 8.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l:y kx m(k 1y kx m,2)，由x2 4y216,消去y，可得(1 4k2)x28kmx 4m216 0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以 64k2m24(1 4k2)(4m216)0，即m216k2 4.又由y kx m,2mmx 2y 0,可得P(12k,12k)；同理可得Q(2m1 2k,m1 2k).由原点O到直线PQ的距离为d|m|和1 k2|PQ|1 k2|xP xQ|，可得S1112

18、m2m2m2OPQ2|PQ|d 2|m|xP xQ|2|m|1 2k1 2k1 4k2.将代入得，S2m24k21OPQ14k2814k21.当k24时，SOPQ8(4k212214k2124k21)8(14k21)8；当0 k 4时，SOPQ8(14k2)8(114k2).因0 k214，则0 1 4k21，214k2 2，所以SOPQ8(121 4k2)8，当且仅当k 0时取等号.所以当k 0时，SOPQ的最小值为 8.综合（1）（2）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ 的面积取得最小值8.22（）f(x)的定义域为(,)，f(x)1ex.当f(x)0，即x 0时，f(x)单

19、调递增；当f(x)0，即x 0时，f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(,0)，单调递减区间为(0,).当x 0时，f(x)f(0)0，即1 x ex.令x 1n，得111n en，即(11n)n e.（）b1a1(11)111 2；b1b2ab1ab2 22(11)2(2 1)2 32；111a21a22b1b2b3b1b2b3 323(11)3(31)3 43b1b2L bna aa.由 此 推 测：12a31a2a33a(n 1)n.1a2L an下面用数学归纳法证明.（1）当n 1时，左边右边 2，成立.（2）假设当n k时，成立，即b1b2L bka(k 1)k.1a2L a

20、k当n k 1时，bk1(k 1)(11k 1)k1ak1，由归纳假设可得b1b2L bkbk1b1b2L bkbk1(k 1)k(k 1)(11)k1(k 2)k1a.1a2L akak1a1a2L akak1k 1所以当n k 1时，也成立.根据（1）（2），可知对一切正整数n 都成立.（）由cn的定义，算术-几何平均不等式，bn的定义及得1111T12n c1 c2 c3L cn(a1)(a1a2)(a31a2a3)L (a1an2L an)1111(b1)123n2(b1b2)3(b1b2b3)4L(b1b2L bn)n 1b1b1b2b b L bn23b1b2b334L 1212n

21、(n1)b112123L 1n(n1)b1111122334L n(n1)L bnn(n1)b11(1n 1)b11112(2n 1)L bn(nn 1)b11b22L bnn(111)1a(11112)2a2L (1n)nan ea1 ea2L eaneSn.即Tn eSn.20（）设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y，相应的获利为z，则有2x 1.5y W,x 1.5y 12,2x y 0,（1）x 0,y 0.目标函数为z 1000 x 1200yyyy1210888B(3,6)B(3,6)B(2.4,4.8)C(6,4)O A(0,0)C(6,0)12xO A(0,0)C(7.5

22、,0)12xO A(0,0)D(9,0)12x第 20 题解答图 2当W 12时，（1）表示的平面区域如图 1，三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0)将z 1000 x 1200y变形为y 56x z1200，当x 2.4,y 4.8时，直线l：y 5z6x 1200在y轴上的截距最大，最大获利Z zmax 2.41000 4.81200 8160 当W 15时，（1）表示的平面区域如图 2，三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0)将z 1000 x 1200y变形为y 5z6x 1200，当x 3,y 6时，直线l：y 56x z1200在y轴上的截

23、距最大，最大获利Z zmax 31000 61200 10200当W 18时，（1）表示的平面区域如图 3，四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z 1000 x 1200y变形为y 5z6x 1200，当x 6,y 4时，直线l：y 56x z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z zmax 61000 41200 10800 故最大获利Z的分布列为ZP816010200108000.30.50.2因此，E(Z)81600.3102000.5108000.2 9708.（）由（）知，一天最大获利超过 10000 元的概率p1 P(Z 10000)0.5 0.2 0.7，由二项分布，3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为p 1(1 p31)10.33 0.973.