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1、郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数1一、协方差与相关系数的概念及性质一、协方差与相关系数的概念及性质二二、相关系数的意义相关系数的意义三、小结三、小结第四节第四节 协方差与相关系数协方差与相关系数郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数21.问题的提出问题的提出 一、协方差与相关系数的概念及性质一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差协方差郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数32.定义：协方差与相关系数定义：协方差与相关系数Covariance and Correlation1.2.自协方差即方差自协方差即方差3.自相关系数为自相关系数为1郑勋烨郑
2、勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数43.协方差的运算性质协方差的运算性质 (1)对称性：对称性：(2)线性性：线性性：(3)分配律：分配律：郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数54.协方差的计算公式协方差的计算公式证明证明推论：推论：若若X,Y相互独立，则必定不相关相互独立，则必定不相关.(2)由方差的展由方差的展开式，显然开式，显然.郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数65.协方差性质协方差性质 (1)X,Y的相关系数又叫的相关系数又叫标准协方差标准协方差，是一个数值，是一个数值.相关系数为相关系数为0等价于协方差为等价于协方差为0，即不相关，即不相
3、关.(2)若若X,Y相互独立，则必定不相关相互独立，则必定不相关.(3)若若X,Y不相关，则方差有直接可加性：不相关，则方差有直接可加性：郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数76.相关系数的性质相关系数的性质(1)有界性：有界性：(2)最值条件：最值条件：相关系数达到绝对最大值相关系数达到绝对最大值1的的 X，Y 存在线性关系是必然事件存在线性关系是必然事件(概率为概率为1)：充分必要条件是充分必要条件是郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数87.相关系数的意义：相关系数的意义：衡量线性相关程度衡量线性相关程度若若XY 绝对值较大，则线性相关程度密切绝对值较大，则
4、线性相关程度密切.若若XY 绝对值较小，则线性相关程度疏远绝对值较小，则线性相关程度疏远.称为称为不相关不相关.称为称为完全线性相关完全线性相关.郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数9(1)不相关与相互独立的关系不相关与相互独立的关系8.判别命题判别命题相互独立相互独立不相关不相关(2)不相关的充要条件不相关的充要条件则则X与与Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是定理定理二维正态分布随机变量，独立等价于不相关二维正态分布随机变量，独立等价于不相关.郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数10解解例例1郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数11郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数12郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数13解解练习练习设设确定常数确定常数 a 使得期望使得期望EW 最小，并求出此最小值最小，并求出此最小值.由期望的线性性质，期望由期望的线性性质，期望利用利用“平方的期望平方的期望”与与“期望的平方期望的平方”的联络公式，的联络公式，有有郑勋烨郑勋烨4.4 协方差与相关系数协方差与相关系数14利用相关系数与协方差的联络公式，我们有利用相关系数与协方差的联络公式，我们有由期望的线性性质，期望由期望的线性性质，期望时时期望期望最小，最小值为最小，最小值为故故