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1、概率统计概率统计下页结束返回4.3 协方差和相关系数协方差和相关系数1.协方差协方差4.4 4.4 矩和协方差矩阵矩和协方差矩阵2.相关系数相关系数下页 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的最重要的，就是本讲要讨论的“协方差和相关系数协方差和相关系数”.概率统计概率统计下页结束返回一、协方差与相关系数的定义一、协方差与相关系数的定义Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y).1.定义定义 设设(X,Y)为二维随机变量为二维随机变
2、量.若若EX-E(X)Y-E(Y)存在，存在，下页则称它是随机变量则称它是随机变量X与与Y的协方差，记为的协方差，记为Cov(X,Y)，即，即而当而当D(X)0,D(Y)0时，称时，称为随机变量为随机变量X与与Y的相关系数或标准协方差的相关系数或标准协方差.当当r rXY=0时，称随机变量时，称随机变量X与与Y不相关不相关.二二.计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)概率统计概率统计下页结束返回(6)对任意三个随机变量对任意三个随机变量X,Y,Z，有，有 (3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)三、协方差的性质三、协方差的性质(5)Co
3、v(aX,bY)=ab Cov(X,Y)a,b是常数是常数下页(1)若若X与与Y相互独立，则相互独立，则Cov(X,Y)=0.(2)对任意二维随机变量对任意二维随机变量(X,Y),有有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)(4)Cov(X,a)=0,a是常数是常数Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(X,Z)概率统计概率统计下页结束返回 例例1.设设(X,Y)的联合分布的联合分布如右表，求如右表，求Cov(X,Y),XY.解：解：计算得计算得 E(X)=2,E(Y)=2,E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2,D(X)=1/2,D(Y)=1/2,Cov(X,Y)=23
4、/6 4=-1/6,1/4 1/2 1/4 Y 1 2 31 0 1/6 1/122 1/6 1/6 1/63 1/12 1/6 0X1/41/21/41）相关系数的计算）相关系数的计算下页于是得于是得概率统计概率统计下页结束返回 例例2.2.设随机变量设随机变量X的方差的方差D(X)0,且且Y=aX+b(a0),),求求X和和Y的相关系数的相关系数XY .解：解：下页概率统计概率统计下页结束返回3.X和和Y独立时，独立时，r r=0，即，即X与与Y不相关，但其逆不真不相关，但其逆不真.四、相关系数的性质及其与独立性的关系四、相关系数的性质及其与独立性的关系下页2.充分必要条件是充分必要条件是
5、PY=aX+b=1，其中，其中a(0),b为常数为常数.当当r r=1时，有时，有a0;当当r r=-1时，有时，有a0.例例3.设设X服从服从(-1/2,1/2)内的均匀分布内的均匀分布,而而Y=cos(X)，求求X，Y的相关系数的相关系数.解：解：显然显然E(X)=0,而而因而因而=0，即即X和和Y不相关不相关.但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系，即即X和和Y不独立不独立.概率统计概率统计下页结束返回证明：证明：(1)因为同理同理 E(Y)=0.于是于是 XY=0，所以所以 X与与Y不相关不相关.下页 例例4设随机向量设随机向量(X,Y)的概率密度如下的概率密度如下,试证试证X
6、与与Y既不相关既不相关也不相互独立也不相互独立.概率统计概率统计下页结束返回下页 例例5设随机向量设随机向量(X,Y)的概率密度如下的概率密度如下,试证试证X与与Y既不相关既不相关也不相互独立也不相互独立.证明：证明：(2)因因fX(x)fY(y)f(x,y)，故故X与与Y不相互独立不相互独立.概率统计概率统计下页结束返回4.44.4 矩和协方差矩阵矩和协方差矩阵设设X是随机变量，若是随机变量，若 k=1,2,存在，存在，称它为称它为X的的k阶原点矩阶原点矩.k=1,2,存在，存在，若若称它为称它为X的的k阶中心矩阶中心矩.显然，期望是显然，期望是X的一阶原点矩，方差是的一阶原点矩，方差是X的
7、二阶中心矩的二阶中心矩.下页概率统计概率统计下页结束返回协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的二阶的二阶称它为称它为X和和Y的的k+L阶混合（原点）矩阶混合（原点）矩.若若存在，存在，称它为称它为X和和Y的的k+L阶混合中心矩阶混合中心矩.设设X和和Y是随机变量，若是随机变量，若 k,L=1,2,存在，存在，可见，可见，下页混合中心矩混合中心矩.一、矩的定义一、矩的定义概率统计概率统计下页结束返回二、协方差矩阵的定义二、协方差矩阵的定义 将二维随机变量将二维随机变量(X1,X2)的四个二阶中心矩的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为（称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵的协方差矩阵.这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵下页概率统计概率统计下页结束返回 类似定义类似定义n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2,Xn)的的协方差矩阵协方差矩阵.称矩阵称矩阵都存在都存在,i,j=1,2,n,若若下页