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1、概率统计概率统计下页结束返回 前面我们介绍了随机变量的数学期望前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的讲要讨论的“协方差和相关系数协方差和相关系数”.4.4 4.4 协方差和相关系数协方差和相关系数下页概率统计概率统计下页结束返回 任意两个随机变量任意两个随机变量X和和Y的协方差的协方差,记为记为Cov(X,Y),Covariance 定义为定义为 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、
2、协方差一、协方差2.简单性质简单性质 Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)a,b是常数是常数Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)1.定义定义下页概率统计概率统计下页结束返回 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，若可见，若X与与Y独立，独立，Cov(X,Y)=0.3.计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即即下页概率统计概率统计下页结束返回若若X1,
3、X2,Xn两两独立两两独立,，上式化为，上式化为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.随机变量随机变量和的方差与协方差的关系和的方差与协方差的关系下页概率统计概率统计下页结束返回二二、相关系数、相关系数为随机变量为随机变量X和和Y的相关系数的相关系数.定义定义:设设D(X)0,D(Y)0,称称在不致引起混淆时，记在不致引起混淆时，记 为为 .下页概率统计概率统计下页结束返回例例1.求Cov(X,Y),XY解：E(X)=2 ,E(Y)=2；E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2D(X)=1/2 ,D(Y)=1/2E(XY)=Cov(X,Y)=23/6 4=-1/6;Y 1 2
4、31 0 1/6 1/122 1/6 1/6 1/63 1/12 1/6 0X1/41/21/41）相关系数的计算）相关系数的计算下页概率统计概率统计下页结束返回例例2.2.设随机变量设随机变量X X的方差的方差D D(X X )且且Y=Y=aX+bX+b(a),),求求X X和和Y Y的相关系数的相关系数XYXY .解：下页概率统计概率统计下页结束返回2.X和和Y独立时，独立时，=0，但其逆不真但其逆不真.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)=0.故故=0但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.请看下例请看下例.2）相关系数的性质及其与独立性的关系）相关系数的
5、性质及其与独立性的关系下页概率统计概率统计下页结束返回例例3.设设X服从服从(-1/2,1/2)内的均匀分布内的均匀分布,而而Y=cos(X)，求求X，Y的相关系数。的相关系数。因而因而 =0，即即X和和Y不相关不相关.但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系，即即X和和Y不独立不独立.解：解：不难求得不难求得 Cov(X,Y)=0.相关系数刻划了相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关线性相关”的程度的程度.下页概率统计概率统计下页结束返回但对下述情形，独立与不相关等价但对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关显
6、然显然，若，若X与与Y独立，则独立，则X与与Y不相关，不相关，但由但由X与与Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X与与Y独立独立.下页概率统计概率统计下页结束返回例例4 4设（设（X，Y）服从二维正态分布，求服从二维正态分布，求X，Y的相关系数的相关系数。解：解：X，Y的联合密度的联合密度f(x,y)及边缘密度及边缘密度 fX(x),fY(y)如下：如下：从而说明二维正态分布随机变量从而说明二维正态分布随机变量X、Y相互独立相互独立 =0，即，即X、Y相互独立与不相关是等价的。相互独立与不相关是等价的。下页概率统计概率统计下页结束返回例例5 5(X X,Y Y)的概率密度如下的概率密度如
7、下,试证试证X X与与Y Y既不相关也不相互独立。既不相关也不相互独立。因因fX(x)fY(y)f(x,y)，故故X与与Y不不相相互互独独立立。证明：(1)因为同样 E（Y）=0于是于是 XY=0，所以所以 X与与Y不相关。不相关。(2)下页概率统计概率统计下页结束返回4.5 矩和协方差矩阵矩和协方差矩阵设设X是随机变量，若是随机变量，若 k=1,2,存在，存在，称它为称它为X的的k阶原点矩阶原点矩.k=1,2,存在，存在，若若称它为称它为X的的k阶中心矩阶中心矩.显然，期望是显然，期望是X的一阶原点矩，的一阶原点矩，方差是方差是X的二阶中心矩的二阶中心矩.下页概率统计概率统计下页结束返回协方
8、差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二阶混合中心矩二阶混合中心矩.称它为称它为X和和Y的的k+L阶混合（原点）矩阶混合（原点）矩.若若存在，存在，称它为称它为X和和Y的的k+L阶混合中心矩阶混合中心矩.设设X和和Y是随机变量，若是随机变量，若 k,L=1,2,存在，存在，可见，可见，下页概率统计概率统计下页结束返回协方差矩阵的定义协方差矩阵的定义 将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为（称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵的协方差矩阵.这是一个这是一个对称矩阵对称矩阵下页概率统计概率统计下页结束返回 类似定义类似定义n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2,Xn)的的协方差矩阵协方差矩阵称矩阵称矩阵都存在都存在,i,j=1,2,n若若下页概率统计概率统计下页结束返回例例6.解：解：下页概率统计概率统计下页结束返回下页概率统计概率统计下页结束返回从而从而下页概率统计概率统计下页结束返回作业：98页 13，14，15,16,17,18结束