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1、 前面我们介绍了随机变量的数学期望前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是现间关系的数字特征中，最重要的，就是现在要讨论的在要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数上页 下页 返回 结束 在在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。讨论这个问题之前，我们先看一个例子。在研究子女与父母的相象程度时，有一项是在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系.上页 下页 返回 结束 这里有两个变量，一个是父亲的身高，一个这里有两个变量，一个是父亲
2、的身高，一个是成年儿子身高是成年儿子身高.为了研究二者关系为了研究二者关系.英国统英国统计学家皮尔逊收集了计学家皮尔逊收集了1078个父亲及其成年儿个父亲及其成年儿子身高的数据子身高的数据,画出了一张散点图画出了一张散点图.上页 下页 返回 结束 那么要问：父亲及其成年儿子身高是一那么要问：父亲及其成年儿子身高是一种什么关系呢？种什么关系呢？类似的问题有类似的问题有：吸烟和患肺癌有什么关系？吸烟和患肺癌有什么关系？受教育程度和失业有什么关系？受教育程度和失业有什么关系？上页 下页 返回 结束 高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？为了研究诸如此类的两变量的
3、相互关系问为了研究诸如此类的两变量的相互关系问题，我们需要从理论上对两变量的相互关题，我们需要从理论上对两变量的相互关系加以研究系加以研究.上页 下页 返回 结束 这一讲就来讨论这个问题这一讲就来讨论这个问题.上页 下页 返回 结束 任意两个随机变量任意两个随机变量和和的协方差的协方差,记为记为Cov(,),定义为定义为 Cov(+,)=Cov(,)+Cov(,)Cov(,)=Cov(,)（一）、协方差（一）、协方差2.简单性质简单性质 Cov(a,b)=ab Cov(,)a,b是常数是常数Cov(,)=E(-E)(-E)1.定义定义3.5上页 下页 返回 结束 Cov(,)=E()-E E可
4、见，若可见，若与与独立，独立，Cov(,)=0.3.计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望的性质，可得=E()-EE-EE+EE=E()-EE即即Cov(,)=E(-E)(-E)上页 下页 返回 结束 若若1,2,n两两独立两两独立,，上式化为，上式化为D(+)=D+D+2Cov(,)4.随机变量随机变量和的方差与协方差的关系和的方差与协方差的关系常用上式计算相依随机变量和的方差常用上式计算相依随机变量和的方差.上页 下页 返回 结束 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间的关系，但它还受相互间的
5、关系，但它还受与与本身度量单位本身度量单位的影响的影响.例如：例如：Cov(k,k)=k2Cov(,)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化为了克服这一缺点，对协方差进行标准化:这就引入了这就引入了相关系数相关系数.上页 下页 返回 结束 二二、相关系数、相关系数为随机变量为随机变量和和的相关系数的相关系数.定义定义:设设D()0,D()0,称称在不致引起混淆时，记在不致引起混淆时，记 为为 .上页 下页 返回 结束 相关系数的性质：相关系数的性质：证证:由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意实数b,有有0D(-b)=b2D+D-2b Cov(,)令令，则上式
6、为，则上式为 D(-b)=由于方差由于方差D()是正的是正的,故必有故必有1-0,所以所以|1.上页 下页 返回 结束 2.和和独立时，独立时，=0，但其逆不真但其逆不真.由于当由于当和和独立时，独立时，Cov(,)=0.故故=0但由但由并不一定能推出并不一定能推出和和 独立独立.请看下例请看下例.上页 下页 返回 结束 例例1 设设X服从服从(-1/2,1/2)内的均匀分布内的均匀分布,而而Y=cos X,（请课下自行验证）（请课下自行验证）因而因而 =0，即即X和和Y不相关不相关.但但Y与与X有严格的函数关系，有严格的函数关系，即即X和和Y不独立不独立.不难求得，不难求得，Cov(X,Y)=0，上页 下页 返回 结束 存在常数存在常数a,b(b0），），使使PY=a+bX=1，即即X和和Y以概率以概率1线性相关线性相关.上页 下页 返回 结束