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1、 中考数学 二次函数专题 命题点 1 二次函数的性质 1.抛物线 y2(x3)21 的顶点坐标是()A.B.C.D.2.二次函数 yax2bxc(a0)图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下：x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的对称轴是()A.直线 x3 B.直线 x2 C.直线 x1 D.直线 x0 3.二次函数 yx22x4 化为 ya(xh)2k 的形式，下列正确的是()A.y(x1)22 B.y(x1)23 C.y(x2)22 D.y(x2)24 4.抛物线 y12x2，yx2，yx2的共同性质是：都是开口向上；都以点(0，0)为顶点；都以 y 轴为对称
2、轴；都关于 x 轴对称其中正确的个数有()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.已知函数 yx22x，当_时，函数值 y 随 x 的增大而增大 命题点 2 二次函数图象的平移 6.如果将抛物线 yx22 向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是()A.y(x1)22 B.y(x1)22 C.yx21 D.yx23 7.要将抛物线 yx22x3 平移后得到抛物线 yx2，下列平移方法正确的是()A.向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B.向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 C.向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D.向右平移 1 个单位，再向下
3、平移 2 个单位 8.若抛物线yx22x3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移 3 个单位，则原抛物线图象的解析式应变为()A.y(x2)23 B.y(x2)25 C.yx21 D.yx24 9.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度，然后绕原点旋转 180得到抛物线 yx25x6，则原抛物线的解析式是()A.y(x52)2114 B.y(x52)2114 C.y(x52)214 D.y(x52)214 命题点 3 二次函数图象与系数的关系 10.某同学在用描点法画二次函数 yax2bxc 图象时，列出了下面的表格：x 2 1 0
4、1 2 y 11 2 1 2 5 由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是()A.11 B.2 C.1 D.5 11.以 x 为自变量的二次函数 yx22(b2)xb21 的图象不经过第三象限，则实数 b的取值范围是()A.b54 B.b1 或 b1 C.b2 D.1b2 12.已知直线ybxc与抛物线yax2bxc在同一直角坐标系中的图象可能是()13.抛物线 yx2bxc(其中 b，c 是常数)过点 A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段 y0(1x3)有交点，则 c 的值不可能是()A.4 B.6 C.8 D.10 14.二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图所示，下列结
5、论：b0；ac0，其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4 第 14 题图 第 15 题图 15.如图，抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴是过点(1，0)且平行于 y 轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则 4a2bc 的值为_ 命题点 4 二次函数图象与方程、不等式 16.若二次函数 yax22axc 的图象经过点(1，0)，则方程 ax22axc0 的解为()A.x13，x21 B.x11，x23 C.x11，x23 D.x13，x21 17.若二次函数 y2x24x1 的图象与 x 轴交于 A(x1，0)、B(x2，0)两点，则1x11x2的值为_ 第 18 题图 18
6、.如图，直线 yxm 和抛物线 yx2bxc 都经过点 A(1，0)和 B(3，2)，不等式 x2bxcxm 的解集为_ 命题点 5 二次函数的实际应用 19.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个小球假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后 1.1 秒时到达相同的最大离地高度第一个小球抛出后 t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则 t_ 20.某电商销售一款夏季时装，进价 40 元/件，售价 110 元/件，每天销售 20 件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用 a 元(a0)未来 30 天，这款时装将开展“每天降价 1 元”的夏令促销活动，
7、即从第 1 天起每天的单价均比前一天降 1 元通过市场调研发现，该时装单价每降 1 元，每天销量增加 4 件在这 30 天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数 t(t 为正整数)的增大而增大，a 的取值范围应为_ 21.如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案，按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用 yax2bx(a0)表示 已知抛物线上 B，C 两点到地面的距离均为34 m，到墙边 OA 的距离分别为12 m，32 m.(1)求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为 10 m，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？第 21 题图 22.某
8、果园有 100 棵橙子树，平均每棵树结 600 个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵果树就会少结 5 个橙子，假设果园多种 x 棵橙子树(1)直接写出平均每棵树结的橙子数 y(个)与 x 之间的关系式；(2)果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少个？23.一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是 80 元/kg，销售单价不低于120 元/kg，且不高于 180 元/kg.经销一段时间后得到如下数据：销售单价 x(元/kg)120 130 180 每天销量 y(k
9、g)100 95 70 设 y 与 x 的关系是我们所学过的某一种函数关系(1)直接写出 y 与 x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围；(2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？命题点 6 二次函数综合题 24.如图，已知抛物线 yx2mx3 与 x 轴交于点 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B的坐标为(3，0)(1)求 m 的值及抛物线的顶点坐标；(2)点 P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点，当 PAPC 的值最小时，求点 P 的坐标 第 24 题图 25.正方形 OABC 的边长为 4，对角线相交于点 P，抛物线 L 经过 O、P、A 三点，点 E是正方形
10、内的抛物线上的动点(1)建立适当的平面直角坐标系，直接写出 O，P，A 三点坐标；求抛物线 L 的解析式；(2)求OAE 与OCE 面积之和的最大值 第 25 题图 26.已知二次函数 yax22axc(a0)的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、B两点，与 y 轴交于点 C，它的顶点为 P，直线 CP 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 D，且 CPPD23.(1)求 A、B 两点的坐标；(2)若 tanPDB54，求这个二次函数的关系式 第 26 题图 参考答案 1.A【解析】抛物线 ya(xh)2k 的顶点坐标是(h，k)，y2(x3)21 的顶点坐标是(3，1)2.B【解
11、析】由表格的数据可以看出，x3 和 x1 时 y 的值相同，都是3，所以可以判断出，点(3，3)和点(1，3)关于二次函数图象的对称轴对称，利用公式 xx1x22，可求出对称轴为直线 xx1x22312422.3.B【解析】将二次函数的一般式经过配方转化成顶点式，可以加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式yx22x4x22x13(x1)23.4.B【解析】抛物线 y12x2，yx2，yx2的共同性质是：序号 逐项分析 正误 抛物线 y12x2，yx2都是开口向上，但抛物线 yx2的开口向下，错误 三条抛物线都是以(0，0)为顶点，正确 三条抛物线都是以 y 轴为对称轴，正确 三条抛物线都关于
12、 y 轴对称，错误 5.x1 【解析】函数 yx22x，其图象的对称轴为 xb2a1，且 a10，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而增大，x1.6.C【解析】根据图象平移变换口诀“左加右减，上加下减”进行解答把抛物线 yx22 向下平移 1 个单位得 yx221x21.7.D【解析】yx22x3(x1)22，该抛物线的顶点坐标是(1，2)，抛物线 yx2的顶点坐标是(0，0)，则平移的方法可以是：将抛物线 yx22x3 向右移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得抛物线 yx2.8.C【解析】由抛物线 yx22x3 得 y(x1)22.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移 1
13、 个单位，其实质相当于抛物线向左平移 1 个单位，再将平面直角坐标系向上平移 3 个单位，则相当于抛物线向下平移 3 个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为 y(x11)223x21.9.A【解析】抛物线的解析式为：yx25x6，绕原点旋转 180变为 yx25x6，即 y(x52)214，再向下平移 3 个单位长度得到的抛物线解析式为 y(x52)2143(x52)2114.10.D【解析】由函数图象关于对称轴对称，得点(1，2)，(0，1)，(1，2)在函数图象上，把点(1，2)，(0，1)，(1，2)代入函数解析式，得abc2c1abc2，解得a3b0c1
14、，函数解析式为 y3x21，x2 时 y11.11.A【解析】二次函数图象不经过第三象限，分两种情况讨论：(1)当对称轴在x0 范围内，即 b20 时，需满足在 x0 时，函数值大于等于 0，即 yb210，解得b2；(2)当对称轴在 x0 范围内，即 b20 时，需满足函数图象顶点的纵坐标大于等于0，即4（b21）2（b2）244b50，解得54b2；综上所述，b 的取值范围为 b54.12.C【解析】在 A 中，抛物线的对称轴在 y 轴右边，b2a0，a0，b0；而从一次函数图象知 b0，选项 A 错误；在 B 中，抛物线对称轴b2a0，a0，b0；而从一次函数图象知 b0，选项 B 错误
15、；在 C 中，抛物线的对称轴在 y 轴左边，b2a0，a0，b0；抛物线与 y 轴负半轴相交，c0；而从一次函数图象知 b0，c0，c0，选项 C 正确；在 D 中，抛物线与 y 轴的正半轴相交，c0，由一次函数图象知c0，即 c0，选项 D 错误 13.A【解析】由题知，对称轴与线段 y0(1x3)有交点，则有 1b23，可得到：6b2，由抛物线经过点 A(2，6)，代入可得 42bc6，b2c2，62c22,解得 6c14，c 的值不可能是 4.14.C【解析】图象开口向下，a0，对称轴在 y 轴右侧，a，b 异号，b0，故错误；图象与 y 轴交于 x 轴上方，c0，故正确；当 x1 时，
16、abc0，则 acb，故正确；图象与 x 轴有两个交点，则 b24ac0，故正确 15.0【解析】设抛物线与 x 轴的另一个交点是 Q，抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与 x 轴的一个交点是 P(4，0)，与 x 轴的另一个交点 Q(2，0)，把(2，0)代入解析式得：04a2bc，4a2bc0.16.C【解析】图象过点(1，0)，将点(1，0)代入方程得 a2ac0，即 3ac0.当 x3 时，将(3，0)代入方程也得到 3ac0 成立，当 x3 时，将(3，0)代入方程也得到 15ac0(与 3ac0 不相符)，方程的两个根为 x11，x23.17.4【解析】由题意可知，x1，x2为
17、方程 2x24x10 的两根，所以 x1x22，x1x212，则1x11x2x1x2x1x22124.18.x3【解析】直线 yxm 和抛物线 yx2bxc 都经过点 A(1，0)和B(3，2)，根据图象可知，不等式 x2bxcxm 的解集为 x1 或 x3.19.1.6 秒【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题由题意可知，各自抛出后 1.1 秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为 t1.1；由于两次抛小球的时间间隔为 1 秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时
18、间到对称轴距离相同.故该距离为 0.5 秒，所以此时第一个小球抛出后 t1.10.51.6 秒时与第二个小球的离地高度相同 20.0a5【解析】设未来 30 天每天获得的利润为 y，y(11040t)(204t)(204t)a 化简，得 y4t2(2604a)t140020a，每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数 t(t 为整数)的增大而增大，则（2604a）2（4）30，解得 a5，又a0，a 的取值范围是 0a5.21.解：(1)由题意知，抛物线 yax2bx(a0)经过点 B(12，34)，C(32，34)，则14a12b3494a32b34，解得a1b2，抛物线的解析式是 yx22x
19、.(3 分)根据对称性知，抛物线的对称轴是 xb2a1，当 x1 时，y1，顶点坐标是(1，1)答：图案最高点到地面的距离是 1 m(5 分)(2)抛物线的对称轴是 x1，一个图案与地面两交点间的距离是 2 m，1025.答：最多可以连续绘制 5 个这样的抛物线型图案(8 分)22.解：(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为：y6005x(0 x120)(3分)(2)设果园多种 x 棵橙子树时，可使橙子的总产量为 w，(4 分)则 w(6005x)(100 x)5x2100 x60000 5(x10)260500.(7 分)答：果园多种 10 棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最
20、大为 60500 个(8 分)23.解：(1)y12x160，120 x180.(3 分)(2)设销售利润为 W 元，则 Wy(x80)(12x160)(x80)，(4 分)即 W12x2200 x1280012(x200)27200.(5 分)120，当 x200 时，W 随 x 的增大而增大，又 120 x180，当 x180 时，W 取最大值，此时，W12(180200)272007000.答：当销售单价为 180 元时，销售利润最大，最大利润是 7000 元(8 分)24.解：(1)把 B(3，0)代入抛物线解析式，得 0323m3，解得 m2，(2 分)yx22x3，yx22x3(x
21、1)24，顶点坐标为(1，4)(4 分)第 24 题解图(2)如解图，连接 BC 交抛物线对称轴 l 于点 P，连接 AP，此时 PAPC 的值最小(6分)由抛物线 yx22x3 得点 C 的坐标为(0，3)，设直线 BC 的解析式为 ykxb(k0)，把点 B(3，0)，C(0，3)的坐标代入，得 03kb3b，k1b3，直线 BC 的解析式为 yx3.(8 分)当 x1 时，y132.当 PAPC 的值最小时，点 P 的坐标为(1，2)(10 分)25.【思路分析】建立坐标系时应使正方形内抛物线上点的坐标是正数，以点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系，即可表示出 O、P、A 三点的坐标；用
22、待定系数法即可求得抛物线的解析式 解：如解图，以 OA 所在的直线为横轴，水平向右为正方向，以 OC 所在直线为纵轴，垂直向上为正方向，建立平面直角坐标系 第 25 题解图 O(0，0)，P(2，2)，A(4，0)；(3 分)设抛物线 L 的解析式为 yax2bxc，将点 O，P，A 的坐标分别代入 yax2bxc，得 c04a2bc216a4bc0，解得a12b2c0，抛物线 L 的解析式为 y12x22x.(6 分)(2)【思路分析】用点 E 的横坐标表示OAE 与OCE 的面积之和，根据二次函数的性质即可确定最大值 解：设点 E 的横坐标为 m.点 E 在正方形内的抛物线上，点 E 的纵
23、坐标为12m22m,SOAESOCE124(12m22m)124mm26m(m3)29.(10 分)当 m3 时，OAE 与OCE 的面积之和的值最大，最大值是 9.(12 分)26.解：(1)yax22axc 第 26 题解图 a(x22x)ca(x1)2ca P 点坐标为(1，ca)(2 分)如解图，过点 C 作 CEPQ，垂足为 E，延长 CE 交 BD 于点 F，则 CFBD.P(1，ca)，CEOQ1.PQBD，CEPCFD，CPCDCECF.又CPPD23，CECFCPCD22325，CF2.5，(4 分)OBCF2.5，BQOBOQ1.5，AQBQ1.5，OAAQOQ1.510.5，A(0.5，0)，B(2.5，0)(5 分)(2)tanPDB54，CFDF54，DF45CF452.52，(6 分)CFDCEP，PEDFCECF，PEDFCECF212.50.8.P(1，ca)，C(0，c)，PEPQOCc(ca)a，a0.8，(8 分)y0.8x21.6xc.把 A(0.5，0)代入得：0.8(0.5)21.6(0.5)c0，解得 c1.(9 分)这个二次函数的关系式为：y0.8x21.6x1.(10 分)