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1、 中考数学二次函数与四边形综合专题-作者:_ -日期:_ 2 二次函数与四边形综合专题 一二次函数与四边形的形状 例 1.如图，抛物线223yxx与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），直线l与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y轴的平行线交抛物线于 E点，求线段 PE长度的最大值；（3）点 G是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F点坐标；如果不存在，请说明理由
2、 解：（1）令 y=0，解得11x 或23x A（-1，0）B（3，0）；将 C 点的横坐标 x=2 代入223yxx 得 y=-3，C（2，-3）直线 AC 的函数解析式是 y=-x-1 （2）设 P 点的横坐标为 x（-1x2）则 P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（2(,23)x xx P 点在 E点的上方，PE=22(1)(23)2xxxxx 当12x 时，PE 的最大值=94（3）存在 4 个这样的点 F，分别是1234(1,0),(3,0),(47 0),(47,0)FFFF，练习 1.如图，对称轴为直线72x 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4）（1）求抛物线解析
3、式及顶点坐标；A 3 72x B(0,4)A(6,0)E F x y O 72x B(0,4)A(6,0)E F x y O（2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF是以 OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积 S 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当平行四边形 OEAF的面积为 24时，请判断平行四边形 OEAF是否为菱形？是否存在点 E，使平行四边形 OEAF为正方形？若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x，可设解析式为27()2ya xk把 A、B两点坐标代入上式，得 227(
4、6)0,27(0)4.2akak 解之，得225,.36ak 故抛物线解析式为22725()326yx，顶点为725(,).26（2）点(,)E x y在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 离 22725()326yx，y0,y 表示点 E 到 OA 的距OA是OEAFY的对角线，2172264()2522OAESSOA yy V 4 因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是 1x6 根据题意，当 S=24 时，即274()25242x化简，得271().24x 解之，得123,4.xx故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，4），E2（4，4）点 E1
5、（3，4）满足 OE=AE，所以OEAFY是菱形；点 E2（4，4）不满足 OE=AE，所以OEAFY不是菱形 当 OAEF，且 OA=EF时，OEAFY是正方形，此时点 E的坐标只能是（3，3）而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E，使OEAFY为正方形 练习 2.如图，已知与x轴交于点(10)A，和(5 0)B，的抛物线1l的顶点为(3 4)C，抛物线2l与1l关于x轴对称，顶点为C（1）求抛物线2l的函数关系式；（2）已知原点O，定点(0 4)D，2l上的点P与1l上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点DOPP，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l上是
6、否存在点M，使ABM是以AB为斜边且一个角为30o的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 练习 3.如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是(4 0)A ，(2 0)B ，(0 8)E，5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C 1 O 2l 1l x y 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C 1 O 2l 1l x y 5（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S若点A，点D同时
7、以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒 2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由 二二次函数与四边形的面积 例 1.如图 10，已知抛物线 P：y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在 x 轴的正半轴上)，与 y 轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边 DE 在线段
8、 AB 上，顶点 F、G 分别在线段 BC、AC 上，抛物线 P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x -3-2 1 2 6 y -52-4-52 0 (1)求 A、B、C 三点的坐标；(2)若点 D 的坐标为(m，0)，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系，并指出 m 的取值范围；(3)当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时，连接 DF 并延长至点 M，使FM=kDF，若点 M 不在抛物线 P 上，求 k 的取值范围.练习 1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180的图形OA
9、BC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由 练习 2.如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子动点P，Q同时从点A出发，点P沿ABC方向以每秒2c
10、m的速度运图 10 B C P O D Q A B P C O D Q A y 3 2 1 O 1 2 x 7 动，到点C停止，点Q沿AD方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为2cmy（1）当01x 时，求y与x之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；（3）当12x 时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ的变化范围；（4）当02x 时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象 练习 3.如图，已知抛物线 l1：y=x2-4 的图象与 x轴相交于 A、C 两点，B是抛物线 l1上
11、的动点(B不与 A、C 重合)，抛物线 l2与 l1关于 x轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的第四个顶点为 D.(1)求 l2的解析式；(2)求证：点 D一定在 l2上；(3)ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.注：计算结果不取近似值.8 三二次函数与四边形的动态探究 例 1.如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点 P是 OA边上的动点(与点 O、A不重合)现将PAB沿 PB翻折，得到PDB；再在OC 边上选取适当的
12、点 E，将POE沿 PE翻折，得到PFE，并使直线 PD、PF重合(1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y关于 x的函数关系式，并求 y的最大值；(2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使PEQ是以 PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标 例 2.已知抛物线 yax2bxc与 x轴交于 A、B 两点，与 y轴交于点 C，其中点 B在 x轴的正半轴上，点 C 在 y轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OBOC）是方程 x210 x160 的两个根，且抛物线的对
13、称轴是直线 x2（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；图 1 FEPDyxBACO图 2 OCABxyDPEF 9（3）连接 AC、BC，若点 E是线段 AB上的一个动点（与点 A、点 B不重合），过点 E作EFAC 交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE的长为 m，CEF的面积为 S，求 S与 m之间的函数关系式，并写出自变量 m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点 E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由 例 3.如图，矩形 ABCD中，AB3，BC4，将矩形 ABCD 沿对角线 A平移
14、，平移后的矩形为 EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点 E与 C 重时停止移动平移中 EF与BC 交于点 N，GH与 BC 的延长线交于点 M，EH与 DC 交于点 P，FG与 DC 的延长线交于点 Q设 S 表示矩形 PCMH 的面积，S表示矩形 NFQC 的面积（1）S与S相等吗？请说明理由（2）设 AEx，写出 S 和 x 之间的函数关系式，并求出 x取何值时 S有最大值，最大值是多少？（3）如图 11，连结 BE，当 AE为何值时，ABE是等腰三角形 xNMQPHGFEDCBAQPNMHGFEDCBA 10 练习 1.如图 12，四边形 OABC 为直角梯形，A（4，0）
15、，B（3，4），C（0，4）点M从O出发以每秒 2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度向C运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动过点N作NP垂直x轴于点P，连结 AC 交 NP 于 Q，连结 MQ （1）点 （填 M或 N）能到达终点；（2）求AQM的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，当 t 为何值时，S的值最大；（3）是否存在点 M，使得AQM为直角三角形？若存在，求出点 M的坐标，若不存在，说明理由 练习 2.实验与探究（1）在图 1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点ABD，的坐标（如图所示），写出
16、图 1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是(5 2)，；图 12 yxPQBCNMOA 11 （2）在图 4中，给出平行四边形ABCD的顶点ABD，的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含abcdef，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图 1，2，3，4 的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A abB cdC mnD ef，（如图 4）时，则四个顶点的横坐标acme，之间的等量关系为 ；纵坐标bdnf，之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)yxcxc和三个
17、点15192222GccScc，(2 0)Hc，（其中0c）问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以GSHP，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标 参考答案：y C()A ab，()D ef，()Bc d，O x 图 4 y C()A(4 0)D，(12)B，O x 图 1 y C()A(0)D e，()B cd，O x 图 2 y C()A ab，()D eb，()B cd，O x 图 3 12 72x B(0,A(6,E F x y O 一二次函数与四边形的形状 例 1.解：（1）令 y=0，解得11x 或23x A（-1，0）B（3，0）；将 C 点的横坐标 x=2
18、 代入223yxx得 y=-3，C（2，-3）直线 AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设 P 点的横坐标为 x（-1x2）则 P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（2(,23)x xxP 点在 E 点的上方，PE=22(1)(23)2xxxxx 当12x 时，PE 的最大值=94（3）存在 4 个这样的点 F，分别是1234(1,0),(3,0),(47 0),(47,0)FFFF，练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x，可设解析式为27()2ya xk把 A、B两点坐标代入上式，得 227(6)0,27(0)4.2akak 解之，得225,.36ak 故抛物线解析式为227
19、25()326yx，顶点为725(,).26（2）点(,)E x y在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 22725()326yx，y0,y 表示点 E 到 OA 的距离OA是OEAFY的对角线，2172264()2522OAESSOA yy V 因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是 1x6 根据题意，当 S=24 时，即274()25242x化简，得271().24x 解之，得123,4.xx 故所求的点 E有两个，分别为 E1（3，4），E2（4，4）点 E1（3，4）满足 OE=AE，所以OEAFY是菱形；4 3 2 1 1 2 3 4 5 5
20、4 3 2 1 A E B 1 O 2l x y 13 543211 2 3 D5 5 4 3 2 1 ACEMBC1O2l1lxy点 E2（4，4）不满足 OE=AE，所以OEAFY不是菱形 当 OAEF，且 OA=EF时，OEAFY是正方形，此时点 E的 坐标只能是（3，3）而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E，使OEAFY为正方形 练习 2.解：（1）由题意知点C的坐标为(34)，设2l的函数关系式为2(3)4ya x 又Q点(10)A，在抛物线2(3)4ya x上，2(1 3)40a，解得1a 抛物线2l的函数关系式为2(3)4yx（或265yxx）（2）PQ与P始
21、终关于x轴对称，PP与y轴平行 设点P的横坐标为m，则其纵坐标为265mm，4OD Q，22654mm，即2652mm 当2652mm时，解得36m 当2652mm 时，解得32m 当点P运动到(36 2)，或(36 2)，或(322)，或(322)，时，P POD，以点DOPP，为顶点的四边形是平行四边形 （3）满足条件的点M不存在理由如下：若存在满足条件的点M在2l上，则 90AMBo，30BAMoQ（或30ABMo），114222BMAB 过点M作MEAB于点E，可得30BMEBAM o 112122EBBM，3EM，4OE 点M的坐标为(43)，14 但是，当4x 时，24645162
22、4533y 不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形 练习 3.解（1）点(4 0)A ，点(2 0)B ，点(0 8)E，关于原点的对称点分别为(4 0)D，(2 0)C，(08)F，设抛物线2C的解析式是 2(0)yaxbxc a，则16404208abcabcc，解得168abc ，所以所求抛物线的解析式是268yxx （2）由（1）可计算得点(31)(31)MN，过点N作NHAD，垂足为H 当运动到时刻t时，282ADODt，1 2NHt 根据中心对称的性质OAODOMON，所以四边形MDNA是平行四边形所以2ADNSS所以，四边形MDNA的面积2(82)(12)4148Stttt 因
23、为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t 所以，所求关系式是24148Stt，t的取值范围是04t （3）781444St，（04t）所以74t 时，S有最大值814 提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形 由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADMN，所以当ADMN时四边形MDNA是矩形所以ODON所以2222ODONOHNH 所以22420tt解之得126262tt，（舍）所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t 点评本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。15 二二次函数与四
24、边形的面积 例 1.解：（1）解法一：设)0(2acbxaxy，任取 x,y 的三组值代入，求出解析式2142yxx=+-，令 y=0，求出124,2xx=-=；令 x=0，得 y=-4，A、B、C 三点的坐标分别是 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4)解法二：由抛物线 P 过点(1，-52)，(-3，52-)可知，抛物线 P 的对称轴方程为 x=-1，又 抛物线 P 过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，点 A、B、C 的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4).（2）由题意，ADDGAOOC=，而 AO=2，OC=4，AD=2-m，故 DG=4-2m
25、，又 BEEFBOOC=，EF=DG，得 BE=4-2m，DE=3m，DEFGs=DGDE=(4-2m)3m=12m-6m2(0m2).注：也可通过解 RtBOC 及 RtAOC，或依据BOC 是等腰直角三角形建立关系求解.(3)SDEFG=12m-6m2(0m2)，m=1 时，矩形的面积最大，且最大面积是6.当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，设直线 DF 的解析式为 y=kx+b，易知，k=23，b=-23，2233yx=-，又可求得抛物线 P 的解析式为：2142yxx=+-，令2233x-=2142xx+-，可求出3611x.设射线
26、 DF 与抛物线 P 相交于点 N，则 N 的横坐标为1613-，过 N 作 x 轴的垂线交 x 轴于 H，有 FNHEDFDE=161233-=5619-+，点 M 不在抛物线 P 上，即点 M 不与 N 重合时，此时 k 的取值范围是 k5619-+且 k0.说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.若选择另一问题：(2)ADDGAOOC=，而 AD=1，AO=2，OC=4，则 DG=2，又FGCPABOC=，而 AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，DEFGs=DGFG=6.练习 1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC 1 分 A，B，C 三点与 M，N，H 分别关于点 O 中心对
27、称，16 A（0，4），B（6，4），C（8，0）3 分（写错一个点的坐标扣 1 分）（2）设过 A，B，C 三点的抛物线关系式为，抛物线过点 A（0，4），则抛物线关系式为 4 分 将 B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得 5AB，垂足为 G，则 sinFEGsinCAB分 解得 6 分 所求抛物线关系式为：7 分（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m 8 分 OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA （04）10 分 当时，S 的取最小值 又0m4，不存在 m 值，使 S 的取得最小值 12 分（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG 14 分 练习 2.解（1）当
28、01x 时，2APx，AQx，212yAQ APxg，即2yx （2）当12ABCDABPQSS正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子，22BPx，AQx，211222222xx，43x （3）当413x时，2AB，22PBx，AQx，2223222AQBPxxyABxg，17 即32yx 作OEAB，E为垂足 当423x 时，22BPx，AQx，1OE，BEOPOEAQySS梯形梯形12211122xx 32x，即32yx90180POQoo或180270POQoo（4）如图所示：练习 3.解(1)设 l2的解析式为y=ax2+bx+c(a0)，l1与 x轴的交点为A(-2，0)，C(2，0)，
29、顶点坐标是(0，-4)，l2与 l1关于 x轴对称，l2过 A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)，420,420,4.abcabcc a=-1,b=0,c=4，即 l2的解析式为 y=-x2+4.(还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)(2)设点 B(m，n)为 l1：y=x2-4 上任意一点，则 n=m2-4(*).四边形 ABCD是平行四边形，点 A、C 关于原点 O对称，B、D关于原点 O对称，点 D的坐标为 D(-m,-n).由(*)式可知，-n=-(m2-4)=-(-m)2+4，即点 D的坐标满足 y=-x2+4，点 D在 l2上.(3)ABCD 能为矩形.过点 B作
30、BHx轴于 H，由点 B在 l1：y=x2-4上，可设点 B的坐标为(x0，x02-4)，则 OH=|x0|，BH=|x02-4|.易知，当且仅当 BO=AO=2 时，ABCD 为矩形.在 Rt OBH中，由勾股定理得，|x0|2+|x02-4|2=22，(x02-4)(x02-3)=0，x0=2(舍去)、x0=3.所以，当点 B坐标为 B(3，-1)或 B(-3，-1)时，ABCD 为矩形，此时，点 D的坐标分别是 D(-3，1)、D(3，1).因此，符合条件的矩形有且只有 2 个，即矩形 ABCD和矩形 ABCD.设直线 AB与 y轴交于 E，显然，AOE AHB，EOAO=BHAH，12
31、23EO.EO=4-23.由该图形的对称性知矩形 ABCD 与矩形 ABCD重合部分是菱形，其面积为 S=2SACE=212 AC EO=212 4(4-2 3)=16-8 3.三二次函数与四边形的动态探究 3 2 1 O 1 2 x y 43 18 例 1.解：(1)由已知 PB平分APD，PE平分OPF，且 PD、PF重合，则BPE=90OPEAPB=90 又APBABP=90，OPE=PBA RtPOERtBPAPOBAOEAP即34xyxy=2114(4)333xxxx(0 x4)且当 x=2时，y有最大值13(2)由已知，PAB、POE 均为等腰三角形，可得 P(1，0)，E(0，1
32、)，B(4，3)设过此三点的抛物线为 y=ax2bxc，则1,0,1643.cabcabc1,23,21.abc y=213122xx(3)由(2)知EPB=90，即点 Q与点 B重合时满足条件直线 PB为 y=x1，与 y轴交于点(0，1)将 PB向上平移 2 个单位则过点 E(0，1)，该直线为 y=x1 由21,131,22yxyxx得5,6.xyQ(5，6)故该抛物线上存在两点 Q(4，3)、(5，6)满足条件 例 2.解：（1）解方程 x210 x160 得 x12，x28 1分 点 B在 x轴的正半轴上，点 C 在 y轴的正半轴上，且 OBOC 点 B的坐标为（2，0），点 C 的
33、坐标为（0，8）又抛物线 yax2bxc的对称轴是直线 x2 19 由抛物线的对称性可得点 A的坐标为（6，0）4分（2）点 C（0，8）在抛物线 yax2bxc的图象上，c8，将 A（6，0）、B（2，0）代入表达式，得 解得 所求抛物线的表达式为yx2 x8 7分（3）依题意，AEm，则 BE8m，OA6，OC8，AC10 EFAC BEFBAC 即，EF FG8m SSBCESBFE（8m）8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m 10分 自变量 m的取值范围是 0m8 11分（4）存在理由：Sm24m（m4）28 且0，当 m4时，S 有最大值，S 最大值8 12分 m4，点 E的坐标为（2，0）BCE为等腰三角形 14分（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）例 3 解:（1）相等。理由是：因为四边形 ABCD、EFGH是矩形，所以,EGHEGFECNECPCGQCGMSSSSSS