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1、初中数学存在性问题初中数学存在性问题v宣威市来宾镇第一中学宣威市来宾镇第一中学v宁德毅宁德毅初中数学存在性问题初中数学存在性问题v随着新课程改革的不断深入，中考数学试题随着新课程改革的不断深入，中考数学试题也不断推旧出新，也不断推旧出新，“选拔性选拔性”和和“能力性能力性”兼容，命题由兼容，命题由“知识型知识型”立意向立意向“能力型能力型”、“素质型素质型”立意转变，题型设计思路开阔、立意转变，题型设计思路开阔、内容丰富、立意深刻、发人深省。存在性问内容丰富、立意深刻、发人深省。存在性问题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典型代表，由于这类试题大多以函数图
2、象为载型代表，由于这类试题大多以函数图象为载体，来研究事物的存在性，理解起来比较抽体，来研究事物的存在性，理解起来比较抽象，涉及面较广，技能性和综合性也很强，象，涉及面较广，技能性和综合性也很强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力，灵活运用能力和分析问题的能力要求很高，灵活运用能力和分析问题的能力要求很高，所以几年来一直是全国各地中考数学的压轴所以几年来一直是全国各地中考数学的压轴题目。题目。一存在性问题的内涵：一存在性问题的内涵：v所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论，存在性问探究是
3、否存在符合要求的结论，存在性问题可抽象理解为题可抽象理解为“已知事项已知事项M，是否存在具，是否存在具有某种性质的对象有某种性质的对象Q。”解题时要说明解题时要说明Q存存在，通常的方法是将对象在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要构造出来；若要说明说明Q不存在，可先假设不存在，可先假设Q存在，然后由此存在，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的的存在，此类问题的叙述通常是存在，此类问题的叙述通常是“是否存在是否存在若存在，请求出若存在，请求出（或证明），若（或证明），若不存在，请说明理由。不存在，请说明理由。二存在性问题的种类：二存在性问题的种类：v二
4、存在性问题的种类：二存在性问题的种类：v定性分类：定性分类：v1.肯定型存在性问题：肯定型存在性问题：v2.否定型的存在性问题：否定型的存在性问题：v定量分类：定量分类：v1.数值存在性问题：数值存在性问题：v2.定值存在性问题：定值存在性问题：v3.极值存在性问题：极值存在性问题：v4.点存在性问题：点存在性问题：v5.直线存在性问题：直线存在性问题：v6.三角形存在性问题：三角形存在性问题：v7.平行四边形存在性问题平行四边形存在性问题v8.圆的存在性问题：圆的存在性问题：v9.时间存在性问题：时间存在性问题：v10.位置存在性问题：位置存在性问题：v11.变化存在性问题：变化存在性问题：
5、v12.关联存在性问题：关联存在性问题：数学思想：v主要是：主要是：v 数形结合思想、数形结合思想、v 分类讨论思想、分类讨论思想、v 特殊到一般的思想特殊到一般的思想解题技巧：v1、从数到形：、从数到形：根据点的坐标特征，根据点的坐标特征，挖掘发现挖掘发现特殊角特殊角或或线段比线段比v2、从形到数：、从形到数：找出找出特殊位置特殊位置，分段分类讨论，分段分类讨论思维模式v顺向思维顺向思维v逆向思维逆向思维v两头架线两头架线 中间碰火的思维中间碰火的思维四边形四边形存在性问题存在性问题v实例分析：点点M在抛物线在抛物线 上上,点点N在其对称轴上，是否在其对称轴上，是否存在这样的点存在这样的点M
6、与与N，使以，使以M、N、C、E为顶点的四为顶点的四边形是平行四边形？边形是平行四边形？v分析：v 平行四边形中有两个定平行四边形中有两个定点点E、C，和两个动点，和两个动点M、N，为了不使情况遗漏，需按，为了不使情况遗漏，需按EC在平行四边形中的在平行四边形中的“角色角色”分类讨论；分类讨论；v 然后，求然后，求M、N坐标时，坐标时，充分运用平行四边形在坐标充分运用平行四边形在坐标系中的性质求解，关注与系中的性质求解，关注与OCE全等的全等的，还有线段，还有线段比：比：v 简解：（1）CE为平行四边为平行四边形的形的对角线对角线时，其时，其中点中点P为平行四边为平行四边形中心，点形中心，点M
7、与抛与抛物线的顶点重合，物线的顶点重合，点点N与与M 关于点关于点P对称，对称，(2)CE为平行四边形为平行四边形的的一条边一条边时，时，根据其倾斜方向有根据其倾斜方向有两种情况：两种情况：v往右下倾往右下倾时，时，得得 QM=OC=8，NQ=6 易求易求 M（12，-32）N（4，-26）往左下倾斜时往左下倾斜时，同理可求同理可求 M(-4，-32)N(4，-38)v如图，在矩形如图，在矩形OABC中，中，AO=10，AB=8，沿直线，沿直线CD折叠矩形折叠矩形OABC的一的一边边BC，使点，使点B落在落在OA边边上的点上的点E处分别以处分别以OC，OA所在的直线为所在的直线为x轴，轴，y轴
8、建立平面直角坐标系，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过抛物线经过O，D，C三三点点v（1）求）求AD的长及抛物的长及抛物线的解析式；线的解析式；v（2）一动点）一动点P从点从点E出发，出发，沿沿EC以每秒以每秒2个单位长的速个单位长的速度向点度向点C运动，同时动点运动，同时动点Q从点从点C出发，沿出发，沿CO以每秒以每秒1个单位长的速度向点个单位长的速度向点O运动，运动，当点当点P运动到点运动到点C时，两点时，两点同时停止运动设运动时同时停止运动设运动时间为间为t秒，当秒，当t为何值时，以为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形为顶点的三角形与与ADE相似？相似？v（3）点）点N在抛物线对称轴上，在
9、抛物线对称轴上，点点M在抛物线上，是否存在这样在抛物线上，是否存在这样的点的点M与点与点N，使以，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点？若存在，请直接写出点M与点与点N的坐标（不写求解过程）；若的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由不存在，请说明理由v解：（1）四边形ABCO为矩形，OAB=AOC=B=90，AB=CO=8，AO=BC=10。由折叠的性质得，BDCEDC，B=DEC=90，EC=BC=10，ED=BD。v由勾股定理易得EO=6。AE=106=4。设AD=x，则BD=CD=8x，由勾股定理，得x2+42=（8x）2，解
10、得，x=3。AD=3。抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），v，解得。抛物线的解析式为：。v（2）DEA+OEC=90，OCE+OEC=90，DEA=OCE，v由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，PC=102t。v当PQC=DAE=90，ADEQPC，v，即，解得。v当QPC=DAE=90，ADEPQC，v，即，解得。v当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似。v（3）存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：M1（4，32），N1（4，38）；vM2（12，32），N2（4,26）；【考 点】v一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相
11、似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。v（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，ABOC，AOC=90，BCO=45，BC=12，点C的坐标为（18，0）。（1）求点B的坐标；v（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的v四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。v解：（1）过点B作BFx轴于F，v在RtBCF中vBCO=45，BC=12，C
12、F=BF=12。vC 的坐标为（18，0），AB=OF=6。v点B的坐标为（6，12）。v(2）过点D作DGy轴于点G，vOD=2BD，OD=OB。vABDG，ODGOBA。v，AB=6，OA=12，DG=4，OG=8。D（4，8），E（0，4）。v设直线DE解析式为y=kx+b（k0）v，解得。直线DE解析式为y=x+4。v（3）结论：存在。v点Q的坐标为：（2，2），（2，2），（4，4），（2，2）。【考考 点点】v二次函数综合题，折叠和动点问题，二次函数综合题，折叠和动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定与方程的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。和性质，平行四边形的判定和性质。谢谢大家谢谢大家