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1、关于矩形折叠问题第一页，本课件共有38页一、一、什么是什么是折叠折叠二二、与折叠有关的问题与折叠有关的问题第二页，本课件共有38页一一.折叠的意义折叠的意义1折叠折叠就是将图形的一部分沿着一条就是将图形的一部分沿着一条直线翻折直线翻折180，使它与另一部分在这条直，使它与另一部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠线的同旁，与其重叠或不重叠.显然，显然，“折折”是过程，是过程，“叠叠”是结果是结果;第三页，本课件共有38页ABOl图1如图（如图（1）是线段）是线段AB沿直线沿直线l折叠后的图形，其折叠后的图形，其中中OB是是OB在折叠前的位置；在折叠前的位置；OB=OB；第四页，本课件共有38页
2、 图（图（2）是平行四边形）是平行四边形ABCD沿着对角线沿着对角线AC折叠后的图形，折叠后的图形，ABC是是ABC在折叠前在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形的位置，它们的重叠部分是三角形EACEAC；ABCABCABDB图2CE第五页，本课件共有38页2.2.图图形形的的翻翻折折部部分分在在折折叠叠前前和和折折叠叠后的形状、大小不变，是全等形后的形状、大小不变，是全等形;3.3.图图形形的的翻翻折折部部分分在在折折叠叠前前和和折折叠叠后后的位置关于折痕成轴对称的位置关于折痕成轴对称.第六页，本课件共有38页二、和折叠有关的问题二、和折叠有关的问题第七页，本课件共有38页问问题题1.1.如
3、如图图，将将宽宽度度为为a a的的长长方方形形纸纸片片折折叠叠成成如如图图所所示示的的形形状状，观观察察折折叠叠后后重重叠叠部部分三角形分三角形 A A EF EFFEA a这是一个什么三角形这是一个什么三角形?第八页，本课件共有38页FEA a 三角形三角形 A A EF EF是等腰三角形是等腰三角形123证明证明（方法一）（方法一）图形在折叠前和图形在折叠前和折叠后是全等的折叠后是全等的,1=2,1=2,又又矩形的对边是平行的矩形的对边是平行的,1=3,1=3,2=3,2=3,A A E=A E=A F F 三角形三角形 A A EF EF是等腰三角形是等腰三角形第九页，本课件共有38页F
4、EA a 三角形三角形 A A EF EF是等腰三角形是等腰三角形证明：证明：（方法二）（方法二）图形在折叠前和图形在折叠前和折叠后的形状、大小折叠后的形状、大小不变，只是位置不同。不变，只是位置不同。表示矩形表示矩形宽度宽度的线段的线段EPEP和和FQFQ相等相等,即即 A A EF EF的边的边 A A E E和和 A A F F上的高相等，上的高相等，A A E=A E=A F FPQ第十页，本课件共有38页思考题：思考题：改变折叠的角度改变折叠的角度 的大小，三的大小，三角形角形 A A EF EF的面积是否会改变？的面积是否会改变？为什么为什么?A AE F 的改变影响了的改变影响了
5、A A E E的长度，但却不能改的长度，但却不能改变边变边A A E E上的高，三角形上的高，三角形A A EF EF的面积会的面积会随着随着 的确定而确定的确定而确定.第十一页，本课件共有38页例例1.1.如如图图，标标出出点点A A 在在折折叠叠前前对对应应的的位位置置A,A,问问:四四边边形形AEAAEA F F是是什什么么四四边边形形?证证明明你你的发现的发现.答答:四边形四边形AEAAEA F F是菱形是菱形.FEAA第十二页，本课件共有38页1、矩形折叠给我们带来哪些信息？、矩形折叠给我们带来哪些信息？2、证明四边形是菱形通常有哪、证明四边形是菱形通常有哪些方法？些方法？第十三页，
6、本课件共有38页FEAA A是是A A 在折叠前在折叠前对应的位置对应的位置,A和和A 关于关于直线直线EF轴对称轴对称,AA EF,EF,且且AO=AAO=A O,O,又又AEAAEA F,F,EOOF=AOOEOOF=AOOA A,EO=OFEO=OF，AA 与与EFEF互相垂直平分互相垂直平分O证明证明:（方法一）（方法一）四边形四边形AEAAEA F F是菱形是菱形.第十四页，本课件共有38页A A是是A A 在折叠前对应的位置在折叠前对应的位置,AEF AEF A A EF,A E=AEF,A E=A E,AF=AE,AF=A F F，又又AEF AEF 是等腰三角形是等腰三角形,A
7、,A E=AE=A F F（已证）（已证）,AE=AF=AAE=AF=A E=AE=A F,F,四边形四边形AEAAEA F F是菱形是菱形.(方法二方法二)证明证明:FEAA第十五页，本课件共有38页例例2 2 在前面的在前面的思考思考题中题中,若翻折的角度若翻折的角度=30,a=2.=30,a=2.求四边形求四边形AEAAEA F F的面积的面积.A FEA30303030Q2S S四边形四边形AEAAEA F F=a分析：图中被覆盖的部分分析：图中被覆盖的部分AEFEF是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的宽度的宽度2,2,所以，本题的解题所以，本题的解题
8、关键就是要求出腰关键就是要求出腰AF(AE)AF(AE)的长。的长。第十六页，本课件共有38页例例3 3：如图：如图,将矩形将矩形ABCDABCD折叠折叠,使使B B 点落在点落在MNMN上上,落点为落点为P.P.已知已知M M、N N分别为分别为CDCD、ABAB的中点的中点,且且AB=,AB=,求折痕求折痕AEAE的长的长.分析分析:AE是直角三角形是直角三角形ABE的斜边，的斜边，解决解决本题的关键是求本题的关键是求PE(或或BE)的长的长P第十七页，本课件共有38页解法一解法一 M M、N N分别是矩分别是矩形的边形的边ABAB和和CDCD的的中点，中点，P MNAD BC MNAD
9、BC MN MNANAN且且ANAN是是ABAB的一半的一半 又又AP=AB.AP=AB.AN AN是是APAP的一半的一半 PAN=60,PAE=BAE=30PAN=60,PAE=BAE=30AEcos AEcos 3030=,AE=2.=,AE=2.第十八页，本课件共有38页解法二：解法二：延长延长EPEP交交ADAD与与 F F则则FE=FA(FE=FA(已证已证)F2 31P M M、N N分别是矩形分别是矩形的边的边ABAB和和CDCD的中点，的中点，MNADBCMNADBCEPPF=BNNA=11EPPF=BNNA=11，又又APE=B=90APE=B=90,AE=AFAE=AFA
10、E=AF=EF,AE=AF=EF,1=2=301=2=30,AE=2.AE=2.AP=AP=第十九页，本课件共有38页解法二：连结解法二：连结PB,PB,F2 31P M M、N N分别是矩分别是矩形的边形的边ABAB和和CDCD的的中点，中点，MNADBCMNADBCPNPN垂直平分垂直平分ABAB，PB=PA,PB=PA,又又PA=BAPA=BA，PA=BA=AB.PA=BA=AB.2+3=602+3=60,2=3=302=3=30,AE=2.AE=2.AP=AP=第二十页，本课件共有38页解法三：解法三：F2 31PO又又FE=FA(问题问题1的结论的结论)AE=AF=EFEAF=60,
11、1=2=30,3=30AE=2.由由BC/MN/DA且且M、N分别为分别为CD和和AB的中点可得的中点可得EP=PF，EO=AOPO=AF，又又EPF=90PO=AE，AE=AF，第二十一页，本课件共有38页xF例例4 4 在例在例3 3中中,若若M M、N N分别为分别为CDCD、ABAB的的 三等份点三等份点,AB=,AB=,求求PEPE和和AEAE的长的长.PACBDEMN分析：本题与上一题略有不同，分析：本题与上一题略有不同，MN由原来的二由原来的二等分线变为三等分线，其他条件不变。所以本题等分线变为三等分线，其他条件不变。所以本题的解题关键还是求出的解题关键还是求出EB(或或EP)的
12、长的长第二十二页，本课件共有38页x2x3xFPACBDEMN解：解：延长延长EP交交AD于于F,则则FE=FA(已证已证)M、N分别是矩形的分别是矩形的边边AB和和CD的三等分点的三等分点，MNADBC,EP PF=BN NA=1 2,设设EP=x,EP=x,则则PF=2x,AF=EF=3x,PF=2x,AF=EF=3x,在在RtRt APFAPF中有中有AP+PF=AFAP+PF=AF,5+(2x)=(3x),x=1,PE=1AE=1+5=6AE=,第二十三页，本课件共有38页思考题：思考题：如上题中如上题中M、N为四等分或五等为四等分或五等分点，其它条件不变你还能求出折痕分点，其它条件不
13、变你还能求出折痕的长吗？的长吗？第二十四页，本课件共有38页 例例5 5 如图：将正方形如图：将正方形ABCDABCD对折，折痕为对折，折痕为MNMN，再沿再沿AEAE折叠，把折叠，把B B点叠在点叠在MNMN上（图中的上（图中的P P）,若若AB=3,(1)AB=3,(1)求求PMPM的长；的长；(2)(2)以以PE PE 为边长的为边长的 正方正方形的面积形的面积.分析：将本题与例题分析：将本题与例题3比比较，不难看出它们的共同较，不难看出它们的共同之处，显然，解决本题的之处，显然，解决本题的关键是求关键是求PE和和PN的长。的长。EDCNMBAP33第二十五页，本课件共有38页EDCNM
14、BAP解解:(1)M、N分别是正方形的边AB和CD的中点，MNAD BC,MNAN且AN=AB又又AP=AB.AP=AB.AN=APAN=AP APN=30,PN=AN=APN=30,PN=AN=PM=3-PM=3-(2)APN=30,APN=30,PAN=60 PAN=60EAB=EAP=30,EAB=EAP=30,EP=BE=,以以EP为边长的正方形的面积为为边长的正方形的面积为3.第二十六页，本课件共有38页例例6如图，将矩形如图，将矩形ABCD折叠，使折叠，使C点落在边点落在边AB上，（如图所示），若上，（如图所示），若AB=10,BC=6,求四边形求四边形CNMD的面积。的面积。分析
15、：本题与上一题分析：本题与上一题区别在于点区别在于点C折叠后折叠后落在矩形的边落在矩形的边AB上，上，ACN和和AMN是是全等的，所以，求四边形全等的，所以，求四边形CNMD的面积可以转化的面积可以转化为求为求DCN或或DMN的面积，所以本题的解题的面积，所以本题的解题关键还是求出关键还是求出NC(或或BN)的长的长.第二十七页，本课件共有38页解解:在直角三角形在直角三角形ADM中中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2.设设NC=x,则则MN=x,BN=6-x,在在RtBMN中，中，MN2=BN2+BM2x2=（6-x）2+4x=S四
16、边形四边形CNMD=2SDCN=第二十八页，本课件共有38页解法二：由折叠的意义解法二：由折叠的意义可知可知DMN=C=90 C=90 DMA+NMB=90 NMB=90 A=C=90,C=90,DMADMAMNBMNB，6 6 8=2(6-x),x=S四边形四边形CNMD=2SDCN=第二十九页，本课件共有38页例例7:7:将长为将长为8，宽，宽为为6的矩形的矩形ABCD折折叠叠,使使B、D重合，重合，1.求折痕求折痕EF的长。的长。2.求求DEF的面积。的面积。EF分析：由矩形折叠的意义可知，分析：由矩形折叠的意义可知，EF垂直平分垂直平分BD（O为为BD的中点的中点),由由AB/DC可得
17、可得EO:FO=BO:DO=1:1,O为为EF的中点，所以的中点，所以可设法先求出可设法先求出EO的长，或直接求的长，或直接求EF的长的长,进而求进而求DEF面积。面积。O第三十页，本课件共有38页解（法一）：解（法一）：D、B关于关于EF成轴对称成轴对称EF垂直平分垂直平分DB，又又DCCB,DOEDCB在在RtDCB中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得BD=10DO=5,又又AB/DC,EO:OF=DO:OB=1:1,(1)由由DOEDCB得得DO:DC=DE:BCEO:6=5:8EO=,EF=(2)SDEF=EF DO=5=ABCDQPEFO第三十一页，本课件共有38页EFOP解法二：解
18、法二：(1)过过C作作CP/EF，交交AB于于P,EFDBCPDB易得易得CBPDCBCP:BD=CB:DC,EF=(2)SDEF=EF DO=5=第三十二页，本课件共有38页EFOP设设 BF=x则则 FD=DE=x，AF=8-x,在在RtRtADFADF中，中，AF2=AD2+DF2(8-x)2+62=x2x=(2)SDEF=66=EF DO=2EF=解法三：解法三：又又DO=5DO=5且且EF DO=ED AD第三十三页，本课件共有38页一、一、什么是什么是折叠折叠二二、与折叠有关的问题与折叠有关的问题小结：小结：第三十四页，本课件共有38页一、折叠的意义一、折叠的意义图形的翻折部分在折
19、叠前和折叠后的图形的翻折部分在折叠前和折叠后的 形形状、大小不变，是全等形；状、大小不变，是全等形；图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称关于折痕成轴对称 ABOl图1ABDB图2第三十五页，本课件共有38页 将长方形纸片折叠成如图所示的形状将长方形纸片折叠成如图所示的形状其重叠部分是其重叠部分是三角形三角形 A A EF EFA A E=AE=A F,F,A A EF EF是等腰三角形是等腰三角形;FEA a二、与折叠有关的问题二、与折叠有关的问题第三十六页，本课件共有38页解决折叠问题时，要认真审题，弄清哪些解决折叠问题时，要认真审题，弄清哪些是翻折部分，哪些是翻折后重叠的部分，是翻折部分，哪些是翻折后重叠的部分，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系进一步发现其中的数量关系;充分挖掘图形的几何性质，将其中的基充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之并迅速求解，这是解题时常用的方法之一一.第三十七页，本课件共有38页感感谢谢大大家家观观看看第三十八页，本课件共有38页