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1、一、复数列的极限二、级数的概念第一节第一节 复数项级数与幂级数复数项级数与幂级数三、典型例题四、幂级数五、小结与思考1一、复数列的极限一、复数列的极限1.1.定义定义记作记作22.复数列收敛的条件复数列收敛的条件定理一说明定理一说明:可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.证明思想与过程跟函数极限的证明完全类似，证明思想与过程跟函数极限的证明完全类似，故省略故省略.3课堂练习课堂练习:下列数列是否收敛下列数列是否收敛?如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.收敛到收敛到-1不收敛不收敛收敛到收敛到04二、级数的概念二、级数的概念1.1.定义
2、定义表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和5收敛与发散收敛与发散说明说明:与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:672.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为定理二定理二8说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二定理二)9解解所以原级数发散所以原级数发散.课堂练习课堂练习10必要条件必要条件重要结论重要结论:11不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.
3、启示启示:判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时,可先考察可先考察?级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.123.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛注意注意 应用正项级数的审敛法则判定应用正项级数的审敛法则判定.定理三定理三13证证由于由于而而根据实数项级数的比较准则根据实数项级数的比较准则,知知14由定理二可得由定理二可得证毕证毕15非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.说明说明如果如果 收敛收敛,那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.定义定义16所以所以综上综上:17三、典型例题三、典型例题例例1 1 解解 级数满足必要条件级数满足必要条件,
4、但但18例例2 2故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解19故原级数收敛故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.例例3 3解解20四四.幂级数幂级数1.1.幂级数的概念幂级数的概念 设设fn(z)(n=1,2,.)为一复变函数序为一复变函数序列列,其中各项在区域其中各项在区域D内有定义内有定义.表达式表达式称为这级数的部分和.称为称为复变函数项级数复变函数项级数.最前面最前面n项的和项的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)21s(z)称为级数如果对于如果对于D内的某一点内的某一点
5、z0,极限极限存在存在,则称复变函数项级数则称复变函数项级数(4.2.1)在在z0收敛收敛,而而s(z0)称为它的称为它的和和.如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛,则则它的和一定是它的和一定是z的一个函数的一个函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.的的和函数和函数.22如果令z-a=z,则(4.2.2)成为 ,这是(4.2.3)的形式,为了方便,今后常就(4.2.3)讨论当当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或或fn(z)=cn-1zn-1时时,就得到函数项级就得到函数项级数的特殊情形数的特殊情形:这种级数称为幂级数这种级数称为幂级数.23定理一定理一(阿
6、贝尔阿贝尔Abel定理定理)z0 xyO24证证25262.2.收敛圆和收敛半径收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理利用阿贝尔定理,可以定出可以定出幂级数的收敛范围幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说对一个幂级数来说,它的收敛它的收敛情况不外乎三种情况不外乎三种:iii)iii)既存在使级数收敛的正实数既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数也存在使级数发散的正实数发散的正实数.设设z=a(正实数正实数)时时,级数收敛级数收敛,z=b(正实数正实数)时时,级数发散级数发散.i)i)对所有的正实数都是收敛的对所有的正实数都是收敛的.这时这时,根据阿贝尔根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛定理可知
7、级数在复平面内处处绝对收敛.ii)ii)对所有的正实数除对所有的正实数除z=0外都是发散的外都是发散的.这时这时,级级数在复平面内除原点外处处发散数在复平面内除原点外处处发散.27蓝色：已知收蓝色：已知收敛部分，敛部分，绿色圆外是发绿色圆外是发散部分散部分往里压缩往里压缩往外往外扩张扩张最终，最终，称称28例例4 4 求幂级数求幂级数的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解 级数实际上是等比级数级数实际上是等比级数,部分和为部分和为29303.收敛半径的求法收敛半径的求法定理二定理二(比值法比值法)如果如果则收敛半径中心在中心在 z0 的幂级数也是如此求半径的幂级数也是如此求半径,只是收敛圆
8、域的写只是收敛圆域的写法不同而已法不同而已.31解：解：故收敛半径故收敛半径324.4.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样象实变幂级数一样,复变复变幂级数也能进行有理运算幂级数也能进行有理运算.设设在以原点为中心在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以象多项式那样进行相加这两个幂级数可以象多项式那样进行相加,相减相减,相乘相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与与g(z)的和的和,差与积差与积.3334更为重要的是代换更为重要的是代换(复合复合)运算运算这个代换运算这个代换运算,在把函数
9、展开成幂级数时在把函数展开成幂级数时,有着有着广泛的应用广泛的应用.35363)3)f(z)在收敛圆域内可以逐项积分在收敛圆域内可以逐项积分,即即37五、小结与思考五、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习,应了解复数列的极限概念应了解复数列的极限概念;熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质收敛与条件收敛的概念与性质.38思考题思考题39思考题答案思考题答案否否.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.40作业作业:习题四习题四100页页:3(1)(3)题目改为求收敛半径并写出收敛圆域题目改为求收敛半径并写出收敛圆域作业作业:习题四习题四88页页:2(4)3(1)(3)题目改为求收敛半径并写出收敛圆域题目改为求收敛半径并写出收敛圆域新书新书41