复数项级数与函数项级数讲稿.ppt

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1、复数项级数与函数项级数复数项级数与函数项级数第一页，讲稿共四十八页哦4.1 复数项级数复数项级数一、复数序列一、复数序列二、复数项级数二、复数项级数第二页，讲稿共四十八页哦一、复数序列一、复数序列1.基本概念基本概念定义定义 设设 为复数，称为复数，称 为为复数序列复数序列。极限极限设设 为一复数序列，又设为一复数序列，又设 为一确定的复数，为一确定的复数，当当 n N 时，总有时，总有|zn-a|0，相应地存在自然数，相应地存在自然数 N，第三页，讲稿共四十八页哦一、复数序列一、复数序列2.复数序列极限存在的充要条件复数序列极限存在的充要条件则则 的充要条件是的充要条件是定理定理 设设证明证

2、明 必要性必要性“”若若则则当当 时，时，第四页，讲稿共四十八页哦则则 的充要条件是的充要条件是一、复数序列一、复数序列2.复数序列极限存在的充要条件复数序列极限存在的充要条件定理定理设设证明证明充分性充分性“”则则当当 时，时，若若第五页，讲稿共四十八页哦解解由由 或或 发散，发散，即得即得 也发散。也发散。已知已知故序列故序列 收敛。收敛。附附 考察实序列考察实序列 的收敛性的收敛性。(其中其中 见上例见上例)根据根据复数模的三角不等式复数模的三角不等式有有第六页，讲稿共四十八页哦二、复数项级数二、复数项级数1.基本概念基本概念定义定义 设设 为一复数序列，为一复数序列，(1)称称 为为复

3、数项级数复数项级数，(3)如果序列如果序列 收敛，即收敛，即则称级数则称级数收敛收敛，(4)如果序列如果序列 不收敛，不收敛，则称级数则称级数发散发散。简记为简记为(2)称称 为级数的为级数的部分和部分和；并且极限值并且极限值 s 称为级数的称为级数的和和；第八页，讲稿共四十八页哦二、复数项级数二、复数项级数2.复数项级数收敛的充要条件复数项级数收敛的充要条件级数级数 和和 都收敛。都收敛。则级数则级数 的部分和的部分和即得级数即得级数 收敛的充要条件是收敛的充要条件是 和和 都收敛。都收敛。则级数则级数 收敛的充分必要条件是收敛的充分必要条件是定理定理 设设证明证明令令 和和 分别为级数分别

4、为级数和和 的部分和，的部分和，由于序列由于序列 收敛的充要条件是收敛的充要条件是 和和 都收敛，都收敛，第九页，讲稿共四十八页哦二、复数项级数二、复数项级数3.复数项级数收敛的必要条件复数项级数收敛的必要条件则则 收敛的必要条件是收敛的必要条件是定理定理 设设等价于等价于因此因此 收敛的必要条件是收敛的必要条件是证明证明 由于级数由于级数 收敛的充要条件是收敛的充要条件是 和和 都收敛，都收敛，而实数项级数而实数项级数 和和 收敛的必要条件是：收敛的必要条件是：第十页，讲稿共四十八页哦级数级数 收敛，收敛，解解但级数但级数 发散，发散，因此级数因此级数 发散。发散。(几何级数几何级数 时收敛

5、时收敛)(p 级数级数 时发散时发散)第十一页，讲稿共四十八页哦解解由于级数由于级数 和和 均为收敛，均为收敛，(绝对收敛绝对收敛)故有级数故有级数 和和 均收敛，均收敛，即得级数即得级数 收敛。收敛。记为记为 在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？在复数项级数中是否也能引入绝对收敛的概念呢？第十二页，讲稿共四十八页哦4.复数项级数的绝对收敛与条件收敛复数项级数的绝对收敛与条件收敛二、复数项级数二、复数项级数(2)若若 发散，发散，收敛，则称收敛，则称 条件收敛条件收敛。由由 收敛，收敛，证明证明收敛，收敛，定理定理 若若 收敛，则收敛，则 必收敛。必收敛。又又根据根据正项级数的比较法正

6、项级数的比较法可得，可得，和和 均收敛，均收敛，和和 均收敛，均收敛，收敛。收敛。定义定义(1)若若 收敛，则称收敛，则称 绝对收敛绝对收敛。第十三页，讲稿共四十八页哦解解 由于由于即即 绝对收敛，绝对收敛，故故 收敛。收敛。第十四页，讲稿共四十八页哦分析分析由于由于 发散，发散，(p 级数级数，比阶法比阶法)因此不能马上判断因此不能马上判断 是否收敛。是否收敛。解解故级数故级数 收敛。收敛。记为记为(莱布尼兹型的交错级数莱布尼兹型的交错级数)收敛，收敛，收敛，收敛，第十五页，讲稿共四十八页哦4.2 复变函数项级数复变函数项级数一、基本概念一、基本概念二、二、幂级数幂级数三、三、幂级数的性质幂

7、级数的性质第十六页，讲稿共四十八页哦一、基本概念一、基本概念1.复变函数项级数复变函数项级数(2)称称 为区域为区域 G 内内(1)称称 为区域为区域 G 内的内的复变函数序列复变函数序列。定义定义 设复变函数设复变函数 在区域在区域 G 内有定义，内有定义，的的复变函数项级数复变函数项级数，简记为简记为第十七页，讲稿共四十八页哦一、基本概念一、基本概念2.复变函数项级数收敛的定义复变函数项级数收敛的定义(1)称称 为级数为级数 的的部分和部分和。定义定义 设设 为区域为区域 G 内的内的复变函数项级数复变函数项级数，称级数称级数 在在 点收敛点收敛。z0则称级数则称级数 在区域在区域 D 内

8、收敛内收敛。此时，称此时，称(2)如果对如果对 G 内的某一点内的某一点 ，有，有z0则则为为和函数和函数，D 为为收敛域收敛域。(3)如果存在区域如果存在区域 D G，有有第十八页，讲稿共四十八页哦二、二、幂级数幂级数1.幂级数的概念幂级数的概念其中，其中，为复常数。为复常数。定义定义 称由下式给出的复变函数项级数为称由下式给出的复变函数项级数为幂级数幂级数：(I I)()()只需将只需将 换成换成 即可应用到即可应用到 型幂级数。型幂级数。(I I)z(2)对于对于 型幂级数，在型幂级数，在 点肯定收敛。点肯定收敛。()()特别地，当特别地，当 时有时有()()注注(1)下面主要是对下面主

9、要是对 型幂级数进行讨论，所得到的结论型幂级数进行讨论，所得到的结论第十九页，讲稿共四十八页哦二、二、幂级数幂级数2.阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理(1)如果级数在如果级数在 点收敛，则它在点收敛，则它在 上绝对收敛；上绝对收敛；对于幂级数对于幂级数 ，有，有定理定理(2)如果级数在如果级数在 点发散，则它在点发散，则它在 上发散。上发散。则存在则存在 M，使对所有的，使对所有的 n 有有即得即得 收敛。收敛。其中其中 ，当当 时，时，证明证明(1)由由 收敛，有收敛，有第二十页，讲稿共四十八页哦对于幂级数对于幂级数 ，有，有二、二、幂级数幂级数2.阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理(1)如果

10、级数在如果级数在 点收敛，则它在点收敛，则它在 上绝对收敛；上绝对收敛；定理定理(2)如果级数在如果级数在 点发散，则它在点发散，则它在 上发散。上发散。证明证明(2)反证法反证法：与已知条件矛盾。与已知条件矛盾。已知级数在已知级数在 点发散，点发散，假设存在假设存在使得级数在使得级数在 点收敛，点收敛，由定理的第由定理的第(1)条有，条有，级数在级数在 上绝对收敛；上绝对收敛；级数在级数在 点收敛，点收敛，第二十一页，讲稿共四十八页哦 利用阿贝尔定理，不难确定幂级数的收敛范围利用阿贝尔定理，不难确定幂级数的收敛范围 ，对于对于任一个幂级数来说，它的收敛情况不外乎三种：任一个幂级数来说，它的收

11、敛情况不外乎三种：iii)iii)既存在使级数收敛的正实数既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数也存在使级数发散的正实数.设设 (正实数正实数)时时,级数收敛级数收敛,(,(正实数正实数)时时,级数发级数发散散.i)i)对所有的正实数都是收敛的对所有的正实数都是收敛的.这时这时,根据阿贝尔定理可知级根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛数在复平面内处处绝对收敛.ii)ii)对所有的正实数除对所有的正实数除 z z=0=0 外都是发散的外都是发散的.这时这时,级数在复平级数在复平面内除原点外处处发散面内除原点外处处发散.第二十二页，讲稿共四十八页哦二、二、幂级数幂级数3.收敛圆

12、与收敛半径收敛圆与收敛半径发散发散发散发散收敛收敛收敛收敛分析分析第二十三页，讲稿共四十八页哦二、二、幂级数幂级数3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径发散发散发散发散收敛收敛收敛收敛定义定义 如图设如图设 CR 的半径为的半径为 R，(1)称圆域称圆域为为收敛圆收敛圆。(2)称称 R 为为收敛半径收敛半径。R注意注意 级数在收敛圆的边界上级数在收敛圆的边界上各点的收敛情况是不一定的。各点的收敛情况是不一定的。约定约定表示级数仅在表示级数仅在 z=0 点收敛；点收敛；表示级数在整个复平面上表示级数在整个复平面上 收敛。收敛。第二十四页，讲稿共四十八页哦例例 考察级数考察级数 的收敛性。的收敛性。

13、收敛半径为收敛半径为(必要条件必要条件)例例 考察级数考察级数 的收敛性。的收敛性。由由 收敛，收敛，因此级数因此级数 在全平面上收敛，在全平面上收敛，故级数故级数 仅在仅在 点收敛，点收敛，收敛半径为收敛半径为对对任意固定任意固定的的解解当当 时，有时，有对任意的对任意的解解都有都有收敛，收敛，第二十五页，讲稿共四十八页哦级数的部分和为级数的部分和为解解级数发散。级数发散。级数收敛；级数收敛；(1)当当 时，时，和函数为和函数为(2)当当 时，时，故级数收敛半径为故级数收敛半径为第二十六页，讲稿共四十八页哦二、二、幂级数幂级数4.求收敛半径的方法求收敛半径的方法(1)比值法比值法如果如果则收

14、敛半径为则收敛半径为对于幂级数对于幂级数 ，有，有推导推导考虑正项级数考虑正项级数利用利用达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法：当当 即即 时，级数收敛；时，级数收敛；当当 即即 时，级数发散。时，级数发散。第二十七页，讲稿共四十八页哦(2)根值法根值法如果如果则收敛半径为则收敛半径为二、二、幂级数幂级数4.求收敛半径的方法求收敛半径的方法(1)比值法比值法如果如果则收敛半径为则收敛半径为对于幂级数对于幂级数 ，有，有(利用正项级数的利用正项级数的柯西判别法柯西判别法即可得到即可得到)第二十八页，讲稿共四十八页哦例例求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在

15、收敛圆周上的情形)(2)(并讨论并讨论时的情形时的情形)或或解解(1)因为因为第二十九页，讲稿共四十八页哦所以收敛半径所以收敛半径即原级数在圆即原级数在圆内收敛内收敛,在圆外发散在圆外发散,收敛的收敛的级数级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周上上,级数级数第三十页，讲稿共四十八页哦说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.原级数成为原级数成为交错级数交错级数,收敛收敛.发散发散.原级数成为原级数成为调和级数，调和级数，解：解：(2)(并讨论并讨论时的情形时的情形)第三十一页，讲稿共四

16、十八页哦例例 求幂级数求幂级数的收敛半径与收敛圆。的收敛半径与收敛圆。收敛圆为收敛圆为故级数的收敛半径为故级数的收敛半径为由于由于解解第三十三页，讲稿共四十八页哦令令则在则在 内有内有三、三、幂级数的性质幂级数的性质1.幂级数的运算性质幂级数的运算性质P86 第三十四页，讲稿共四十八页哦2.幂级数的分析性质幂级数的分析性质即即(3)在收敛圆内可以在收敛圆内可以逐项积分逐项积分，即即(1)函数函数在收敛圆在收敛圆 内内解析解析。(2)函数函数 的导数可由其幂函数的导数可由其幂函数逐项求导逐项求导得到，得到，三、三、幂级数的性质幂级数的性质设设性质性质则则第三十五页，讲稿共四十八页哦3.幂级数的代

17、换幂级数的代换(复合复合)性质性质 在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。又设函数又设函数 在在 内解析，且满足内解析，且满足设级数设级数 在在 内收敛，内收敛，和函数和函数为为性质性质当当 时，有时，有则则三、三、幂级数的性质幂级数的性质第三十六页，讲稿共四十八页哦解解 方法一方法一 利用乘法运算性质利用乘法运算性质方法二方法二 利用逐项求导性质利用逐项求导性质第三十七页，讲稿共四十八页哦例例5 把函数把函数表成形如表成形如的幂的幂级数级数,其中其中是不相等的复常数是不相等的复常数.解解把函数把函数写成如下的形式写成如下的形式

18、:代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现凑出凑出第三十八页，讲稿共四十八页哦级数收敛级数收敛,且其和为且其和为第三十九页，讲稿共四十八页哦 轻松一下吧第四十页，讲稿共四十八页哦附：附：人物介绍人物介绍 阿贝尔阿贝尔挪威数学家(18021829)阿贝尔N.H.Abel 天才的数学家。天才的数学家。关于椭圆函数理论的研究工作在当时是函数论的关于椭圆函数理论的研究工作在当时是函数论的最高成果之一。最高成果之一。第四十一页，讲稿共四十八页哦附：附：人物介绍人物介绍 阿贝尔阿贝尔 很少有几个数学家能使自己的名字同近世数学中很少有几个数学家能使自己的名字同近世数学中如此多的概念和定理联系在一起。如

19、此多的概念和定理联系在一起。阿贝尔群阿贝尔群阿贝尔积分阿贝尔积分阿贝尔函数阿贝尔函数阿贝尔级数阿贝尔级数阿贝尔可和性阿贝尔可和性阿贝尔积分方程阿贝尔积分方程阿贝尔部分和公式阿贝尔部分和公式阿贝尔基本定理阿贝尔基本定理阿贝尔极限定理阿贝尔极限定理第四十二页，讲稿共四十八页哦附：附：人物介绍人物介绍 阿贝尔阿贝尔 阿贝尔只活了短短的阿贝尔只活了短短的 27 年，一生中命途坎坷。年，一生中命途坎坷。他的才能和成果在生前没有被公正的承认。他的才能和成果在生前没有被公正的承认。为了纪念阿贝尔诞辰为了纪念阿贝尔诞辰 200 周年，挪威政府于周年，挪威政府于 2003 年设立年设立了一项数学奖了一项数学奖

20、阿贝尔奖。每年颁发一次，奖金高达阿贝尔奖。每年颁发一次，奖金高达 80 万美元，是世界上奖金最高的数学奖。万美元，是世界上奖金最高的数学奖。(返回返回)第四十三页，讲稿共四十八页哦附：附：人物介绍人物介绍 伽罗华伽罗华 天才的数学家。天才的数学家。群论的创始人与奠基者。群论的创始人与奠基者。对函数论、方程式理论和数论等作出了重要贡献。对函数论、方程式理论和数论等作出了重要贡献。法国数学家(18111832)伽罗华variste Galois第四十四页，讲稿共四十八页哦 伽罗华只活了短短的伽罗华只活了短短的 21 年。年。他的成果在生前没有人能够理解。他的成果在生前没有人能够理解。1829 年，

21、伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交法国科学院。群论初步研究结果的论文提交法国科学院。当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人，当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人，最后不了了之。最后不了了之。科学院委托科学院委托附：附：人物介绍人物介绍 伽罗华伽罗华第四十五页，讲稿共四十八页哦 伽罗华只活了短短的伽罗华只活了短短的 21 年。年。他的成果在生前没有人能够理解。他的成果在生前没有人能够理解。1830 年年 2 月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文文提交法国科学

22、院。提交法国科学院。秘书傅立叶。秘书傅立叶。未能发现伽罗华的手稿未能发现伽罗华的手稿。科学院将科学院将论文寄给当时科学院终身论文寄给当时科学院终身但傅立叶在当年但傅立叶在当年 5 月去世，在他的遗物中月去世，在他的遗物中附：附：人物介绍人物介绍 伽罗华伽罗华第四十六页，讲稿共四十八页哦 伽罗华只活了短短的伽罗华只活了短短的 21 年。年。他的成果在生前没有人能够理解。他的成果在生前没有人能够理解。又得到了一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这又得到了一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这 1831 年年 1 月，伽罗华在寻求确定方程的可解性问题上，月，伽罗华在寻求确定方程的可解性问题上，篇

23、论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的篇论文是伽罗华关于群论的重要著作，当时负责审查的数学家泊松为理解这篇论文绞尽脑汁。传说泊松将这篇数学家泊松为理解这篇论文绞尽脑汁。传说泊松将这篇论文看了四个月，最后结论居然是论文看了四个月，最后结论居然是“完全不能理解完全不能理解”。附：附：人物介绍人物介绍 伽罗华伽罗华第四十七页，讲稿共四十八页哦友写信，仓促地把自己所有的数学研究心得扼要写出，友写信，仓促地把自己所有的数学研究心得扼要写出，l832 年年 3 月月 16 日，伽罗华卷入了一场决斗。他连夜给朋日，伽罗华卷入了一场决斗。他连夜给朋他在天亮之前最后几个小时写出的东西，为一个折磨了他在天亮之前最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案。数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案。伽罗华只活了短短的伽罗华只活了短短的 21 年。年。他的成果在生前没有人能够理解。他的成果在生前没有人能够理解。附：附：人物介绍人物介绍 伽罗华伽罗华第四十八页，讲稿共四十八页哦