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1、第四章 级数1 复数项级数与幂级数11.复数列的收敛与发散 设an(n=1,2,.)为一复数列,其中an=an+ibn,又设a=a+ib为一确定的复数.如果任意给定e0,相应地能找到一个正数N(e),使|an-a|N时成立,则a称为复数列an当n时的极限,记作此时也称复数列an收敛于a.2定理一定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是证 小结论：小结论：3推论：若实数列an与bn中有一个发散，则复数列n一定发散。例1.下列数列是否收？如果收敛，求出其极限.42 复数项级数 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列,表达式称为无穷级数,其最前面n项的和sn=a1+a2+.
2、+an称为级数的部分和.如果部分和数列sn收敛,5小结论：若复数项级数1+2+n+收敛，则其通项n极限为零。例2.当|1,判断级数1+2+n+是否收敛？6定理二定理二 级数 收敛级数 和 都收敛.证 sn=a1+a2+.+an =(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)=sn+itn由定理一,sn有极限存在的充要条件是sn和tn的极限存在,即级数 和 都收敛.7定理二将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数收敛问题.89定理三定理三证定理定理四四证10例 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.解 1)112)由于 an=n cos in=n ch n,因此,当n时,an.所以an发
3、散.例3 下列级数是否收敛?是否绝对收敛?解 1)因 发散;收敛,故原级数发散.122)因 ,由正项级数的比值收敛法知 收敛,故原级数收敛,且为绝对收敛.3)因 收敛;也收敛,故原级数收敛.但因 为条件收敛,所以原级数不是绝对收敛.13三、幂级数 设fn(z)(n=1,2,.)为区域D上的(复变)函数序列,表达式称为(复变)函数项级数.最前面n项的和Sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)称为这级数的部分和.14存在,则称复变函数项级数(4.1.2)在z0收敛,而f(z0)称为它的和.如果函数项级数(4.1.2)在D内处处收敛,则它的和一定是z的一个函数f(z):f(z)=f1(z)
4、+f2(z)+.+fn(z)+.如果对于D内的某一点z0,极限称为级数 的和函数.15这种级数称为幂级数.如果令z-a=z,则(4.1.3)成为 ,这是(4.1.4)的形式,为了方便,今后常就(4.1.4)讨论当fn(z)=cn(z-a)n时,16定理五(阿贝尔Abel定理)z0 xyO17证181920幂级数的收敛性只有三种情况：(1)当0R+时，幂级数在|z|R内发散；但在|z|=R上，幂级数可能收敛也可能发散。(2)当R=+时，幂级数在复平面上每一点绝对收敛。(3)当R=0时，幂级数在复平面上出去原点外处处发散。21例2 求下列幂级数的收敛半径22232425四.幂级数的性质 在以原点为中心,r1,r2中较小的一个为半径的圆内,这两个幂级数可以像多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.2627283)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即29