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1、复数项级数和幂级数现在学习的是第1页，共26页4-1 复数项级数和幂级数一、复数列的收敛性及其判别法二、复数项级数的收敛性及其判别法三、幂级数及其收敛半径四、幂级数的运算性质现在学习的是第2页，共26页一、复数项级数一、复数项级数 12 ,nn 复数列即有序的复数集称 收敛于 ，若 0lim.nn 0lim0,nn记作n 0 1. 复数列复数列现在学习的是第3页，共26页复数列收敛与实数列收敛的关系复数列收敛与实数列收敛的关系.lim,limbbaannnn 定理定理此定理说明此定理说明: 可将复数列的收敛性转化为判别两可将复数列的收敛性转化为判别两个实数列的收敛性个实数列的收敛性. (1,2
2、,)nnnaibn 复数列复数列的充要条件是的充要条件是收敛于收敛于 现在学习的是第4页，共26页1.1.复数项级数复数项级数(1,2,)nnnaibn nnn 211表达式表达式称为复数项级数称为复数项级数.前前 n 项的和项的和nnkknS 211称为级数的前称为级数的前 n 项项部分和部分和.2. 复数项级数的复数项级数的收敛性及其判别法收敛性及其判别法设设 为一复数列，为一复数列，现在学习的是第5页，共26页2. 级数收敛与发散的概念级数收敛与发散的概念,收敛收敛如果部分和数列如果部分和数列nS ,1收敛收敛则称级数则称级数 nn .lim称称为为级级数数的的和和且且极极限限SSnn
3、.lim SSnn 利用极限利用极限说明：说明：与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基判别复数项级数敛散性的基本方法是本方法是:,不收敛不收敛若部分和数列若部分和数列nS .1发散发散则称级数则称级数 nn 现在学习的是第6页，共26页3.3.复数项级数与实数项级数收敛的关系复数项级数与实数项级数收敛的关系证证因因nnS 21)()(2121nnbbbiaaa ,nni : )( 11收收敛敛的的充充要要条条件件是是级级数数 nnnnniba . 11都收敛都收敛和和 nnnnba定理定理2 2说明说明 复数项级数的收敛问题复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题两个
4、实数项级数的收敛问题现在学习的是第7页，共26页 11nnnnba收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项项级级数数.0lim0lim nnnnba和和0lim nn 级数收敛的必要条件（级数收敛的必要条件（定理定理3 3） 收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 1nn 现在学习的是第8页，共26页非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn 类似于实数级数，引入类似于实数级数，引入绝对收敛绝对收敛概念概念现在学习的是第9页，共26页绝对收敛级数
5、的性质绝对收敛级数的性质( (定理定理4 4) ) . , 11也也收收敛敛那那末末收收敛敛如如果果 nnnn .111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba 且有不等式且有不等式 成立成立. .11 nnnn 现在学习的是第10页，共26页1(1)innen因.sin)11(nnbn ,cos)11(nnan 所所以以而而0lim,1lim nnnnba解解 是否收敛？是否收敛？例例1 1 数列数列),sin)(cos11(ninn ,)11(收敛收敛所以数列所以数列nienn .1lim nn 且且1(1)innen现在学习的是第11页，共26页 !)8( 1是否绝对收敛？
6、是否绝对收敛？级数级数 nnni例例2 2, !81收敛收敛 nnn故原级数收敛故原级数收敛, 且为绝对收敛且为绝对收敛.,!8!)8(nninn 因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解现在学习的是第12页，共26页 ; )1( 1收敛收敛因为因为 nnn,211收收敛敛也也 nn故原级数收敛故原级数收敛.,)1(1收收敛敛为为条条件件但但 nnn所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛. 21)1( 1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 nnnin例例3 3解解现在学习的是第13页，共26页1.1.幂级数的概念幂级数的概念则则上的复变函数列上的复变函数列为区
7、域为区域设设 , )( Dzfn )()()(21zfzfzfn称为复变函数项级数。称为复变函数项级数。 1)(nnzf)()()()(21zfzfzfzSnn 称为该级数前称为该级数前n n项的项的部分和部分和. .级数前级数前n n项的和项的和三三. .幂级数及其收敛半径幂级数及其收敛半径现在学习的是第14页，共26页.)( , )( )()(lim 001000为为它它的的和和且且收收敛敛在在存存在在，称称，内内的的某某一一点点若若对对zSzzfzSzSzDnnnn )()()()(21zfzfzfzSn称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数在D内处处
8、收敛内处处收敛, 那末它的和一定那末它的和一定)( zSz的一个函数的一个函数是是121( )( )( )( )=( )nnnkkSzf zfzfzfz 现在学习的是第15页，共26页例例 求幂级数求幂级数2n0=1+z+z +z +nnz的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.现在学习的是第16页，共26页函数项级数的特殊情形函数项级数的特殊情形 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(.zczczcczcnnnnn 22101或或这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数.现在学习的是第17页，共26页2.2.幂级数的敛散性幂级数的敛散性Abel(阿贝尔阿贝尔)定理定理如果
9、级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收敛收敛, z那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛,如果如果在在级数发散级数发散, 那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足现在学习的是第18页，共26页收敛半径的计算方法收敛半径的计算方法方法方法1 1（比值法）比值法），则则如如果果 nnncc1lim 那末收敛半径那末收敛半径.1 R, 0在复平面内处处收敛在复平面内处处收敛 nnnzc即即. R, 0)1( ,)2( 即即. 0 R, , 00均均发发散散则则对对 nnnzcz,0)3( 22100)()()(azcazccazcnnn现在学
10、习的是第19页，共26页方法方法2 （根值法）根值法），则则如如果果 nnnclim 那末收敛半径那末收敛半径.1 R, 0在复平面内处处收敛在复平面内处处收敛 nnnzc即即. R, 0)1( ,)2( 即即. 0 R, , 00均均发发散散则则对对 nnnzcz,0)3( 22100)()()(azcazccazcnnn现在学习的是第20页，共26页pnnnnnncc)1(limlim1 . 11 R所以所以解解，因为因为pnnc1 例例 试求幂级数试求幂级数 1npnnz)( 为为正正整整数数p的收敛半径的收敛半径.pnn)11(1lim . 1 现在学习的是第21页，共26页4.4.幂
11、级数的运算性质幂级数的运算性质.,)(,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 设设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf ,Rz 其中其中),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababa),min(21rrR 现在学习的是第22页，共26页 00)(nnnzzc定理定理4 4 设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R则则时，时，当当Raz .)()(11 nnnaznczf在收敛圆在收敛圆 内解析内解析. .zaR 0)()(nnnazczf光光滑滑曲曲线线，则则可可求求长长内内的的一一条条为为设设)(
12、RazC 01.)(1d)( nnnzaazncf 或或 0d)(d )(ncnnczazczzf(1) 它的和函数它的和函数(2)(3)现在学习的是第23页，共26页例例 把函数把函数bz 1表成形如表成形如 0)(nnnazc的幂的幂级数级数, 其中其中ba与与是不相等的复常数是不相等的复常数 .解解把函数把函数bz 1写成如下的形式写成如下的形式: bz1)()(1abaz abazab 111代数变形代数变形 , 使其分母中出现使其分母中出现)(az 凑出凑出)(11zg 现在学习的是第24页，共26页时时，当当1 abaz,)()()(1112 nabazabazabazabaz bz1故故232)()(1)()(11azabazabab nnazab)()(11,Rab 设设,时时那那末末当当Raz 级数收敛级数收敛,且其和为且其和为.1bz 现在学习的是第25页，共26页感谢大家观看8/24/2022现在学习的是第26页，共26页