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1、1 第第 三三 章章 幂幂 级级 数数 展展 开开1 1、求幂级数收敛半径的方法；、求幂级数收敛半径的方法；2 2、复变函数、复变函数TaylorTaylor展开条件与展开方法展开条件与展开方法;3 3、复变函数、复变函数LaurantLaurant展开条件与展开方法展开条件与展开方法;4 4、解析延拓的方法；、解析延拓的方法；5 5、奇点的的分类以及极点阶的确定。、奇点的的分类以及极点阶的确定。23.1 复数项级数复数项级数一、复数项级数定义及其收敛判据一、复数项级数定义及其收敛判据1.复数项级数定义：复数项级数定义：每一项均为复数每一项均为复数实数项级数是复数项级数的特例实数项级数是复数项
2、级数的特例一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论说明：说明：3级数级数 收敛的收敛的充分必要条件充分必要条件为为成立。成立。对于任意给定的正数对于任意给定的正数,总存在自然数总存在自然数N使得当使得当n N时，时，对于任意的自然数对于任意的自然数p都有：都有：2、复数项级数的收敛判据、复数项级数的收敛判据-Cauchy 收敛判据收敛判据由由给定给定，存在，存在N，和和N一一对应关系一一对应关系 记为记为N(N()4二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质1)1)绝对收敛及其性质绝对收敛及其性质：绝对收敛定义绝对收敛定义或
3、写为或写为 、收敛，则称这个级数收敛，则称这个级数为为绝对收敛级数。绝对收敛级数。组成的新级数组成的新级数由复数级数由复数级数的各项模的各项模 、.5，a.如果级数如果级数是绝对收敛的，则该级数收敛。是绝对收敛的，则该级数收敛。常用级数绝对收敛来判断级数的收敛常用级数绝对收敛来判断级数的收敛 性质性质：b.如果级数如果级数和和是绝对收敛的，则它们的乘积是绝对收敛的，则它们的乘积也是绝对收敛的。也是绝对收敛的。c.c.改变绝对收敛级数的各项改变绝对收敛级数的各项先后次序其和不变。先后次序其和不变。和相同和相同62 2）一致收敛及其性质）一致收敛及其性质：一致收敛定义：一致收敛定义：如果级数是定义
4、在区域如果级数是定义在区域B（或境界线或境界线L）上，则在上，则在区域区域B（或（或L）上的各点上的各点z，对于给定的小正数对于给定的小正数 ，存在，存在与与z无关的正整数无关的正整数N,使得使得n N时，时，对于任意的自然数对于任意的自然数p恒有：恒有：成立。成立。则称级数则称级数 为一致收敛。为一致收敛。说明：说明：c c、复数项级数是、复数项级数是B B 的解析函数，其级数和一定是的解析函数，其级数和一定是B B上的收敛上的收敛函数。函数。d、若、若而而 收敛则该级数是绝对一致收敛的。收敛则该级数是绝对一致收敛的。b b、一致收敛是对区域一致收敛是对区域B B或或L L而言。而言。a a
5、、一致收敛一致收敛中中N N与与z z无关无关。7(2)性质连续性可积性解析性级数 在C上一致收敛，且wn(z)在C上连续，则级数 在B内一致收敛，且wn(z)连续，则该级数在B内连续级数 在B内一致收敛于f(z)，且wn(z)在B内解析，则f(z)在B内解析，且8几个定理：几个定理：=111nnnnnn,a aa aa a且且也收敛也收敛收敛收敛若若定理三定理三 9)()().in ;!ni ;nin :nnnnnn =+-+1012113821111否绝对收敛？否绝对收敛？下列级数是否收敛？是下列级数是否收敛？是例例103.2 幂幂 级级 数数一、幂级数表示一、幂级数表示其中其中z0,a0
6、,a1,a2,都是复常数都是复常数,这样的级数叫做以这样的级数叫做以z0为为中心中心中心中心的的幂级数幂级数幂级数幂级数11二、幂级数的收敛半径及其求法：二、幂级数的收敛半径及其求法：1 1）d dAlembertAlembert法（比值判别法）则求级数收敛半径法（比值判别法）则求级数收敛半径：如果：如果1、收敛半径、收敛半径R：绝对收敛，否则发散。绝对收敛，否则发散。收敛半径为收敛半径为 12如果如果则级数则级数(1)绝对收敛绝对收敛如果如果则后项与前项的模之比的极限则后项与前项的模之比的极限即对级数即对级数(1)来说来说,后面项的模越来越大后面项的模越来越大,必然是发散级数必然是发散级数,
7、即即级数级数(1)发散发散以以z0为圆心为圆心,作半径为作半径为R的圆周的圆周Ck,则幂级数在圆的则幂级数在圆的内部内部内部内部绝对收敛绝对收敛在圆外发散在圆外发散,这个圆称为幂级数的这个圆称为幂级数的收敛圆收敛圆收敛圆收敛圆,半径叫做半径叫做收敛半径收敛半径收敛半径收敛半径,至至于收敛圆周上的各点于收敛圆周上的各点,幂级数收敛或发散需要具体分析幂级数收敛或发散需要具体分析.13半径半径R1稍微小于稍微小于R的圆周的圆周 ,在在 所围的闭圆域上所围的闭圆域上,幂级数幂级数(1)的各项的模的各项的模圆的内部圆的内部指的是比这个圆稍微小一些的闭区域指的是比这个圆稍微小一些的闭区域,以以z0为圆心作
8、一为圆心作一对正的常数项级数对正的常数项级数应用比值判别法应用比值判别法此常数项级数收敛此常数项级数收敛,由此由此,幂级数幂级数(1)在收敛圆的内部不仅在收敛圆的内部不仅绝对绝对而且一致收敛而且一致收敛.141 1绝绝对收敛对收敛。若若1 1发散。发散。R=收敛半径为收敛半径为 对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。（证略）（证略）2 2）CauchyCauchy法法（根值判别法）（根值判别法）求收敛半径求收敛半径15.()z外都是发散的外都是发散的,对所有的正实数除对所有的正实数除2=z 除外处处发散除外处处发散.则级数则级数=16例例例例1
9、 1求幂级数求幂级数的收敛圆的收敛圆,t为复变数为复变数解解解解:所有的系数所有的系数ak=1,则收敛半径为则收敛半径为因此收敛圆是以因此收敛圆是以t=0为圆心而半径为为圆心而半径为1,收敛圆的内部可以表示收敛圆的内部可以表示为为|t|1这是一个几何级数这是一个几何级数,公比为公比为t,所以前所以前n+1项的和项的和若若|t|1,则有则有在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和为幂级数的和为1/(1-t)17例例例例2 2求幂级数求幂级数的收敛圆的收敛圆,z为复变数为复变数解解解解:记记z2=t,则本例的级数即则本例的级数即系数交替为系数交替为1和和-1,则则t平面上的收敛半径为平面上的收敛半径为由此
10、由此z平面上的收敛半径为平面上的收敛半径为收敛圆内部表示为收敛圆内部表示为本例也是几何级数本例也是几何级数,公比为公比为-z2在在条件下条件下,求出和为求出和为所求结果为所求结果为18三、幂级数性质三、幂级数性质1、级数在收敛圆内绝对且一致收敛、级数在收敛圆内绝对且一致收敛证明证明 收敛圆半径为收敛圆半径为R,做比收敛圆稍微缩小的圆周做比收敛圆稍微缩小的圆周 ,半径为半径为R1由由构成的常数级数构成的常数级数 则有则有 =1收敛收敛,则级数则级数绝对且一致收敛绝对且一致收敛192 2、级数在收敛圆内部是解析函数（无奇点）。、级数在收敛圆内部是解析函数（无奇点）。证明证明 =+两边乘以两边乘以两
11、边积分，并应用两边积分，并应用Cauchy公式公式把级数的和记作把级数的和记作 由于级数在收敛圆内一致且绝对收敛，则说明级数由于级数在收敛圆内一致且绝对收敛，则说明级数在偏小的在偏小的 上一致收敛，则它可上一致收敛，则它可 上逐项积分上逐项积分.为应用柯西公式为应用柯西公式,把把z记作记作 ，把级数的和记作把级数的和记作20=+即即级数可用连续函数的回路积分来表示级数可用连续函数的回路积分来表示，且连续函数的，且连续函数的回路积分可在积分号下求任意多次导数，说明该级数是一个回路积分可在积分号下求任意多次导数，说明该级数是一个解析函数。解析函数。3 3、级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次、级数
12、在收敛圆内部可以逐项求导任意多次。（证明略）。（证明略）21例例2的幂级数和为的幂级数和为1/(1+z2),具有孤立奇点具有孤立奇点z=士士i,而而士士i正好在收敛正好在收敛圆周圆周|z|=1上上。如果限制在实数域里边。如果限制在实数域里边,则则1-x2+x4+=1/(1+x2),|x|=1,即即x=士士1,并不是奇点并不是奇点,条件条件|x|1就不那么容易理解了就不那么容易理解了!如果用有界函数如果用有界函数遍乘遍乘可得可得22沿回路沿回路 逐项积分并用柯西公式可得逐项积分并用柯西公式可得这就是说，幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次这就是说，幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次,又因为又因为收敛圆的内部是单通区域收敛圆的内部是单通区域,幂级数在收敛圆内可以逐项积分幂级数在收敛圆内可以逐项积分.并且逐项积分或逐项求导不改变收敛半径并且逐项积分或逐项求导不改变收敛半径!23径径求下列幂级数的收敛半求下列幂级数的收敛半例例 32425