线性代数03矩阵及其运算.pptx

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1、会计学1线性代数线性代数03矩阵及其运算矩阵及其运算2主要内容主要内容主要内容主要内容第三讲 矩阵及其运算v矩阵的概念；v零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特 殊矩阵；v矩阵的线性运算（矩阵的加法及矩阵与数的乘 法）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵 的行列式以及他们的运算规律.基本要求v理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单 位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；v熟练掌握矩阵的运算及其运算规律.第1页/共59页3一、矩阵的定义与记号一、矩阵的定义与记号一、矩阵的定义与记号一、矩阵的定义与记号第一节 矩阵1.定义 由 个数排成的 行 列的数表称为 行 列矩阵，简称 矩阵.为表示这个数表是一个整

2、体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作第2页/共59页4这 个数称为矩阵 的元素，简称为元，数 位于矩阵的第 行第 列，称为矩阵的 元.以数 为 元的矩阵可简记作 或 .矩阵 也记作注意（1）矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖线）是不同的，这是两个不同的概念，注意区别.（2）矩阵的行数和列数不一定相等.第3页/共59页52.2.2.2.有关概念有关概念有关概念有关概念实矩阵与复矩阵：元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵；除特别说明外，都指实矩阵.行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，记作列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，记作 矩阵 矩阵第4页

3、/共59页6方阵：行数与列数都等于 的矩阵称为 阶矩阵或 阶方阵.阶矩阵 也记作同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.矩阵相等：如果 与 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即那么就称矩阵 与矩阵 相等，记作第5页/共59页7二、矩阵举例二、矩阵举例二、矩阵举例二、矩阵举例例2 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中 为工厂向第 店发送第 种产品的数量.这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵其中 为第 种产品的单价，为第 种产品单件重量.说明 从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息.第6页/共59页8例3 四个城市间的单向航线如下图所示，1234若令 则这个

4、图可以用矩阵表示为说明 用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对这个图进行分析和计算.第7页/共59页9例4 个变量 与 个变量之间的关系式 称为从变量 到变量 的线性变换.线性变换 的系数 构成矩阵称为线性变换的系数矩阵，线性变换与矩阵是一一对应的.第8页/共59页10三、几个特殊矩阵三、几个特殊矩阵三、几个特殊矩阵三、几个特殊矩阵单位矩阵（单位阵）：从左上角到右下角的直线单位矩阵对应线性变换为恒等变换（叫做（主）对角线）上的元素都是1，其它元素都是0，这种矩阵称为单位矩阵，简称单位阵，用 表示，即第9页/共59页11对角矩阵：对角矩阵对应的线性变换为不在对角线上的元素都是0.这种方 阵称为对角

5、矩阵，简称对角阵，用 表示，即第10页/共59页12零矩阵：元素都是零的矩阵，记作0.注意 不同型的零矩阵是不同的，例如第11页/共59页13数量矩阵（纯量矩阵）：不在对角线上的元素都是0，对角线上的元素相同，这种矩阵称为数量矩阵，又称纯量矩阵，用 表示，即第12页/共59页14四、小结四、小结四、小结四、小结v在线性代数里，矩阵是一个主要工具，也是 一个主要的研究对象.v1850年由西尔维斯特（Sylvester）首先提出矩阵 的概念v矩阵的应用十分广泛：自然科学、工程技术、社 会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的 位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别，以及计算机层析X射

6、线照相术等方面，都有广泛的应用v1858年卡莱（A.Cayley）建立了矩阵运算规则第13页/共59页15v西尔维斯特（Sylvester,1814-1897），他是犹太人，故他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数学研究，并创办了美国数学杂志。在长达50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不渝的作者之一。第14页/共59页16v卡莱（Cayley 1821-1895）生于一个古老而有

7、才能的英国家庭，在学校中他就显示了数学才能.他的老师说服他的父亲送他到剑桥，而不要让他做家务.在剑桥它是数学荣誉会考的一等第一名，并获得Smith奖，他当选为剑桥的三一学院的研究员和助理导师，但3年后由于必须担任圣职而离开。他转向法律并在这个职业上花费了后来的15年.这期间他用了大量的时间搞数学，并发表了近200篇文章.也是在这时，他和Sylvester开始了长期的友谊和合作.1863年，他被任命为剑桥新创立的Sadler数学教授。除去1882年受Sylvester的聘请在霍普金斯大学以外，他一直在剑桥，直到逝世第15页/共59页17一、矩阵的加减法一、矩阵的加减法一、矩阵的加减法一、矩阵的加

8、减法第二节 矩阵的运算1.定义 两个同为 的矩阵相加（减）后得一 矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和（差）.特别注意只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加（减）法.第16页/共59页18例如第17页/共59页192.矩阵的加减法_运算规则交换律：结合律：设矩阵 记称为矩阵 的负矩阵.第18页/共59页20二、矩阵与数的乘法（矩阵的数乘）二、矩阵与数的乘法（矩阵的数乘）二、矩阵与数的乘法（矩阵的数乘）二、矩阵与数的乘法（矩阵的数乘）1.定义 阶矩阵 与一个数 相乘后得一 矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数.记作说明矩阵 的负矩阵；纯量矩阵.第19页/共59页21例如第20页/共59页2

9、22.矩阵的数乘_运算规则 说明 矩阵的加法与矩阵的数乘合起来，统称为 矩阵的线性运算.第21页/共59页23三、矩阵与矩阵的乘法（矩阵的乘法）三、矩阵与矩阵的乘法（矩阵的乘法）三、矩阵与矩阵的乘法（矩阵的乘法）三、矩阵与矩阵的乘法（矩阵的乘法）1.概念的引入某家电公司向三个商店发送四种产品的数量如下表空调空调冰箱冰箱29彩电彩电 25彩电彩电甲商店甲商店30205020乙商店乙商店07100丙商店丙商店50405050第22页/共59页24 这四种产品的售价（单位：百元）及重量（单位：千克）如下售价售价重量重量空调空调3040冰箱冰箱163029彩电彩电223025彩电彩电1820问：该公司

10、向每个商店出售产品的总售价及总重量分别是多少？第23页/共59页25甲商店乙商店丙商店售价重量第24页/共59页262.定义定义如下：若则其中设 是一个 矩阵，是一个矩阵，与 的乘积是一个 矩阵 ，记作说明：的 元 就是 的第 行元素与 的第 列元素对应乘积之和.第25页/共59页27特别注意_乘积不可交换 可乘的前提是 的列数等于 的行数.乘积一般不可以交换，1）为 矩阵，但 无意义；2）为和均有意义，但2阶矩阵，为3阶矩阵，不相等；3）若则称矩阵 乘积可交换.第26页/共59页28例题例5 求矩阵与的乘积 解 析：是 矩阵，是 矩阵，的列数等于 的行数，所以矩阵 与 可以相乘.第27页/共

11、59页29例题例5 求矩阵与的乘积 解 析：是 矩阵，是 矩阵，的列数等于 的行数，所以矩阵 与 可以相乘.第28页/共59页30例题例5 求矩阵与的乘积 解 析：是 矩阵，是 矩阵，的列数等于 的行数，所以矩阵 与 可以相乘.第29页/共59页31例题例5 求矩阵与的乘积 解 析：是 矩阵，是 矩阵，的列数等于 的行数，所以矩阵 与 可以相乘.第30页/共59页32例6 求矩阵与的乘积 及 解说明 此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即1）若不能推出2）若不能推出第31页/共59页33矩阵的乘法_运算规则 或简写成 纯量矩阵与方阵的乘积 说明 第五条规则表明

12、，纯量矩阵与方阵都是可交换的第32页/共59页34方阵的幂定义设是阶方阵，定义说明 此定义表明，就是 个 连乘，并且显然，只有方阵，它的幂才有意义.运算规则 特别注意 一般来说，与 不相等.第33页/共59页35方阵的多项式方阵的多项式方阵的多项式方阵的多项式设称为方阵 的 次多项式.为数 的 次多项式，记同一个方阵的两个矩阵多项式是可交换的：设 是 的两个多项式，则由此可知，方阵的多项式可以像数的多项式一样分解因式.如第34页/共59页36说明 当 与 可交换时，有类似与数的乘法公式.与 为同阶方阵：第35页/共59页375.行矩阵与列矩阵的乘积设则第36页/共59页38例7 下图示明了d国

13、三个城市，e国三个城市，f国两个城市相互间之道路.交通网络模型在d国和e国间城市通路情况可用下列形式表示：在e国和f国间城市通路情况可用下列形式表示：其中：0,1 指城市间的通路数第37页/共59页39求：d 国和 f 国城市通路形式？第38页/共59页40四、矩阵的转置四、矩阵的转置四、矩阵的转置四、矩阵的转置1.定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .即若则其中例如则的转置矩阵为设矩阵第39页/共59页412.对称矩阵设 为 阶方阵，如果满足 ，即那么 称为对称矩阵，简称对称阵.例如对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴，对应相等.第40页/共59页42

14、3 3.矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置_ _运算规则运算规则运算规则运算规则 第41页/共59页43例8 已知求解法1解法2 此例验证了矩阵的转置运算规则4第42页/共59页44例9 设列矩阵 满足 ，证析：要证明一个方阵是不是对称阵，就是验证它是否满足对称阵的条件 所以 是对称阵.为 阶单位矩阵，证明 是对称阵，且注意 和 的区别第43页/共59页45五、方阵的行列式五、方阵的行列式五、方阵的行列式五、方阵的行列式1.定义由 阶方阵 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵 的行列式，记作 或特别注意方阵与行列式是两个不同的概念，方阵是一个数表，而行列式则是一个数.方阵与

15、它的行列式又是紧密相关的，行列式是方阵确定的一个数，所以行列式可看作方阵的函数；同时，行列式是方阵特性的重要标志.第44页/共59页462.由 确定 _运算规则 证明注意但但第45页/共59页473.3.伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵称为矩阵的伴随矩阵，简称伴随阵.矩阵 的行列式 的各元素的代数余子式 所构成的如下的矩阵第46页/共59页48说明此性质表明 与 可交换，且其乘积为单位阵的 倍；当 时，由此可进一步讨论与 的性质（后面介绍）.伴随矩阵的基本性质证明第47页/共59页49例10 设求 的伴随矩阵解第48页/共59页50所以，所求的伴随阵为验证第49页/共59页51六、共轭矩阵六、

16、共轭矩阵六、共轭矩阵六、共轭矩阵当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记 称为 的共轭矩阵.定义 由 确定 _运算规则第50页/共59页52七、小结七、小结七、小结七、小结v矩阵的线性运算是矩阵的加法及矩阵的数乘；v矩阵的乘法是比较难理解的一种运算，它与数的乘法比较如下：实数实数矩阵矩阵结合律结合律分配律分配律幺元素幺元素交换律交换律不成立不成立消去律消去律不成立不成立第51页/共59页53作业：P53 3.4.P54 7.8.9.第52页/共59页54证明证明证明证明设记 阶行列式 一方面，根据公式有另一方面，第53页/共59页55第54页/共59页56第55页/共59页57返回第56页/共59页58伴随矩阵性质的证明伴随矩阵性质的证明伴随矩阵性质的证明伴随矩阵性质的证明第 行第 列代数余子式的性质第57页/共59页59类似地，可以证明返回第58页/共59页