线性代数矩阵及其运算 (3).ppt

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1、关于线性代数矩阵及其运算(3)现在学习的是第1页，共99页某班级同学早餐情况某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头包子鸡蛋稀饭周星驰4221张曼玉0000陈水扁4986422100004986 为了方便，常用下面右边的数表表示为了方便，常用下面右边的数表表示2.1现在学习的是第2页，共99页1.定义定义2.1 由由mn个个aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成排成的的m行行n列的数表列的数表111212122212.nnmmmnaaaaaaaaa称称m行行n列矩阵，简称列矩阵，简称mn矩阵。记作矩阵。记作111212122212.nnmmmn

2、aaaaaaaaaA现在学习的是第3页，共99页2.说明说明:矩阵与行列式不同矩阵与行列式不同 形式不同形式不同 矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同.内容不同内容不同 矩阵是一个数表，但行列式必是一个数矩阵是一个数表，但行列式必是一个数.3.实矩阵、复矩阵实矩阵、复矩阵现在学习的是第4页，共99页5.矩阵矩阵 相等相等 充要条件是充要条件是:BA是同型矩阵是同型矩阵、）BA1)(2位位置置上上的的元元素素相相等等，第第）jibajiji 4.同型矩阵同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵现在学习的是第5

3、页，共99页2.1.2 一些特殊矩阵一些特殊矩阵1.方阵方阵 若若A为为n行行n列的矩阵，称列的矩阵，称A为为n阶方阵。阶方阵。2.行矩阵、列矩阵行矩阵、列矩阵行矩阵行矩阵 只有一行的矩阵。只有一行的矩阵。列矩阵列矩阵 只有一列的矩矩阵只有一列的矩矩阵3.零矩阵、单位矩阵零矩阵、单位矩阵现在学习的是第6页，共99页表零矩阵nm 00n阶单位矩阵阶单位矩阵 100010001nI现在学习的是第7页，共99页4.对角矩阵与数量矩阵对角矩阵与数量矩阵;),(2121nnaaaaaadiag5.上（下）三角形矩阵上（下）三角形矩阵 nnnnaaaaaaA22211211 nnnnbbbbbbB2122

4、2111kkkkI现在学习的是第8页，共99页2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算2.2.1.2.2.1.矩阵的加法与数乘矩阵的加法与数乘:111112121121212222221122.nnnnmmmmmnmnabababababababababAB注：矩阵的加法只能在两个注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。元素进行相加。1.矩阵的加法（定义矩阵的加法（定义2.2）:A=(aij)、B=(bij)现在学习的是第9页，共99页2.矩阵的数乘矩阵的数乘 定义定义2.3 数数与矩阵与矩阵的乘积记为的乘积记为A或或A

5、，并规定：，并规定：111212122212.nnmmmnaaaaaaaaaA负矩阵负矩阵:A=(aij)减法：减法：B=+(B)现在学习的是第10页，共99页3.矩阵线性运算律：矩阵线性运算律：(1)A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(A)=O (4)1A=A (5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA (7)k(A+B)=kA+kB 现在学习的是第11页，共99页例例1若若X满足满足XBA22 其中其中534021A,435628B求求 X.解解 X=2112221068042435628313/)2(AB现在学习的是第12页，共99页 2.2.

6、2.矩阵的乘法矩阵的乘法：1.矩阵的乘法定义（定义矩阵的乘法定义（定义2.5）设矩阵设矩阵 A为为ms 阶矩阵、矩阵阶矩阵、矩阵B为为 sn 阶矩阵阶矩阵，A=(aij)ms、B=(bij)sn，则矩阵，则矩阵 A与与 B 的乘的乘积为一积为一 mn 阶矩阵阶矩阵C=(cij)mn，记，记 C=AB，且且112211,2,()1,2,ijijijinnjnikkjkca baba bima bjpsss现在学习的是第13页，共99页11.jiinijnjbaacb 就是说，矩阵就是说，矩阵C 的第的第 i 行第行第 j 列的元素等于矩阵列的元素等于矩阵 A 的第的第 i 行的所有元素与矩阵行的

7、所有元素与矩阵 B 的第的第 j 列的对应列的对应元素的乘积之和。元素的乘积之和。ss现在学习的是第14页，共99页例例2 计算计算 152295211081043521430112现在学习的是第15页，共99页例例3.非齐次线性方程组的矩阵表示非齐次线性方程组的矩阵表示 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111记记 mnnmjibbbxxxaA11)(则非齐次线性方程组可简记为则非齐次线性方程组可简记为bAx 现在学习的是第16页，共99页(1)()()(2)()()()(3)()()(4)mm nm nm nnm nAB CA

8、BCABA BA BA B CABACB C ABA CAE AAAEA关于矩阵乘法的注意事项：关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵）矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右做乘法必须是左矩阵的列数与右 矩阵的行数相等；矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是是 A左乘左乘B的乘积，的乘积，BA是是A右乘右乘B的乘积；的乘积；2.矩阵乘法与加法满足的运算规律矩阵乘法与加法满足的运算规律现在学习的是第17页，共99页（3 3）ABAB与与BABA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定同时会有意义；即是有意义，也 不

9、一定相等；不一定相等；（4 4）AB=O AB=O 不一定有不一定有A=OA=O或或B=O B=O；A(XA(X Y)=O Y)=O 且且 A O A O 也不可能一定有也不可能一定有X=YX=Y1 111 1 11122 22.O0如：显然有：矩阵乘法不满足总结:交换律与消去律ABABBAABABBA例例4现在学习的是第18页，共99页定理定理2.1 若矩阵若矩阵A的第的第i行是零行，则乘积行是零行，则乘积 AB的第的第i行也是零行也是零；若矩阵；若矩阵 B的第的第j行是零列，则乘积行是零列，则乘积 AB的第的第j列也是零。若列也是零。若A(或或B)是零矩阵，则乘积是零矩阵，则乘积 AB也是

10、零矩阵。也是零矩阵。例例5 设设 321121,111121BA求求AB与与BA 1710303036231BAAB解解现在学习的是第19页，共99页只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)An Am=An+m (2)(An)m=An m (3)(AB)k Ak Bk()nnn 为正数AAAA3.矩阵的乘幂：设矩阵的乘幂：设 A 是是 n 阶方阵，定义阶方阵，定义：现在学习的是第20页，共99页101020,.(2 3.)001kAAk求、例例6 解解）

11、，32(121kAkk 现在学习的是第21页，共99页4.4.方阵方阵A的的n次多项式次多项式012012 ()()()()()()()nnkmxaa xaaxnmaaaafmggx2n2nfx+.+xA f AEAA+.+AAAAAEAf AAA f AA设为 的 次多项式，为 阶方阵，记称为矩阵 的 次多项式.由于方阵、对乘法是可交换的，所以矩阵 的多项式的乘法也是可交换的，即从而 的多项式可以象数 的多项式分233232(2)()()33AAEAEAEAEAAAE解因式.如：现在学习的是第22页，共99页5.5.矩阵的转置矩阵的转置定义定义2.6 A2.6 A的转置矩阵，记作的转置矩阵，

12、记作A AT T，是将，是将A A的行列互换后所得矩的行列互换后所得矩阵如果阵如果 A A是一个是一个 m mn n 阶矩阵，阶矩阵，A AT T 是一个是一个 n nm m 阶矩阵阶矩阵。T141232545636AAT TTTTTTTTT(1)()(2)()(3)()(4)()AAA BABAAABB A矩阵的转置的性质矩阵的转置的性质现在学习的是第23页，共99页证明证明（1）、（）、（2）、（）、（3）易证，下证明）易证，下证明(4).设矩阵设矩阵 A为为ms 阶矩阵，矩阵阶矩阵，矩阵 B为为sn阶矩阵，那么：阶矩阵，那么：(AB)T与与 BTAT 是同型矩阵；是同型矩阵；又设又设 C

13、=A B，因为，因为 CT的第的第 i 行第行第 j 列的元素正好是列的元素正好是 C 的的 cji，即，即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而而b1i，b2i，bsi 正好是正好是 BT的第的第 i 行，行，aj1,aj2,ajs 正好是正好是 AT的第的第 j 列，因此列，因此 cji 是是 BTAT的第的第 i 行第行第 j 列的元素。故列的元素。故 (AB)T=AT BT现在学习的是第24页，共99页 6.对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵 设设 A为为 n 阶方阵，阶方阵，若若 AT=A，即即 aij=aji (i,j=1

14、,2,n)，称矩阵称矩阵A 为对称矩阵；为对称矩阵；若若AT=A，即即 aij=aji (i,j=1,2,n)，称矩阵称矩阵 A 为反对称矩阵。为反对称矩阵。171720103A如右边的矩阵如右边的矩阵A 为对称矩阵为对称矩阵现在学习的是第25页，共99页7.方阵的行列式方阵的行列式（1）方阵）方阵 A 的行列式，记为的行列式，记为|A|或或 det A。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。它们的记号也是不同的。（2）方阵的行列式满足以下运算规律）方阵的行列式满足以下运算规律(设设 A、B为为n 阶阶方阵，方阵，为实数为实数)T(1

15、)|(2)|(3)|(4)|nAAAAABA BABBA现在学习的是第26页，共99页1)伴随矩阵：设伴随矩阵：设 A=(aij)nn，矩阵，矩阵A中元素中元素aij的代数余子式的代数余子式Aij构成的如下矩阵构成的如下矩阵8 8、再讲几类特殊的矩阵、再讲几类特殊的矩阵11211*1222212.nnnnnnAAAAAAAAAA称矩阵称矩阵A的伴随矩阵，记为的伴随矩阵，记为A现在学习的是第27页，共99页T1 1 1 2 312 3 nABCABC设，求例例1 18例例矩阵运算举例矩阵运算举例*(det)AAA AA E伴随矩阵有如下重要性质：现在学习的是第28页，共99页1 12 31123

16、32.()().()().()11 1 1 232 33111 12 3132 12 3331nnnn CCC CAB ABABABABABBAC而所以：解：现在学习的是第29页，共99页T n设、为 阶矩阵，且为对称矩阵，证明，仍是对称矩阵。A BAB AB例例2 2.TTTTTTTTT ()()因为，所以故是对称矩阵。证明：AAB ABB ABB ABB AB9例例现在学习的是第30页，共99页 n例3.A BABABBA设、都是 阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充要条件是TTTTTTTTT()()()ABABABABB AAA BBABB ABAABBAAB是对称矩阵而，又，所以有：故是为对

17、称矩阵的证明：充要条件.10例例现在学习的是第31页，共99页TT TT TTT2T 2TT 2TTTTTTTT(2)(2)2(2)44()44()()44()44HEXXEXXEXXHHHHEXXEXXXXEXXXXXXEXXX X X XEXXXXE证明：TT12TT(,.,)42nx xxn例.XX XEHEXXHHHE设列矩阵满足=1,为 阶单位矩阵，,证明是对称矩阵，且=11例例现在学习的是第32页，共99页 设对于设对于 n 阶方阵阶方阵 A，若存在，若存在 n 阶方阵阶方阵 B 使得使得 A B=B A=E 恒成立，则称矩阵恒成立，则称矩阵 A 可逆或满秩矩阵可逆或满秩矩阵,或非

18、或非奇异矩阵；奇异矩阵；B 称为称为 A 的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为 A1=B 。1）.若矩阵若矩阵 A可逆，则可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的。证明：证明：设设 A有两个逆矩阵有两个逆矩阵B1、B2，则，则 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩阵的定义（定义、可逆矩阵的定义（定义2.8）2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质2.3现在学习的是第33页，共99页1*1121111121*122222122212121 .nnnnnnnnnnnnijijaaaaaaaaaa A A A A A A A A AA A A

19、A AA A其中是矩阵的元素的代数余子式。证明：充分性证明：充分性 由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：有：AA*=A*A=|A|E，又，又|A|02）.定理定理2.2 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是|A|0，且，且A可逆时有可逆时有现在学习的是第34页，共99页*1*111()():|AAA AEAAAAA故3）.对于对于n 阶方阵阶方阵 A、B 若有若有 AB=E 则：则：A、B 均可逆，且均可逆，且它们互为可逆矩阵。它们互为可逆矩阵。证明：证明：AB=E|A|B|=1 故故|A|0且且|B|0，A、B均可逆，又均可逆，又BA=BA

20、BB1=BB1=E,故故 A1=B必要性证明：必要性证明：A可逆可逆 A A1=A1 A=E故故|A|A1|=1，即，即|A|0，A可逆，可逆，同时还有同时还有11|AA奇异矩阵与非奇异矩阵：若奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵方阵的行列式的行列式|A|0，称矩阵，称矩阵 A为非奇为非奇异矩阵，否则矩阵异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。称为奇异矩阵。现在学习的是第35页，共99页4）.逆矩阵的性质逆矩阵的性质 如果如果A、B均可逆，那么均可逆，那么AT与与AB都可逆，且都可逆，且 (A 1)1A (AT)1(A1)T (AB)1B1A1 (kB)1k1A1(k为非零）为非零）|A1|=|A|1 证明

21、：证明：A、B均可逆均可逆 AA1=A1AE 故故 (AA1)T=(A1)TATET=E (AT)1=(A1)T 同理同理(AB)(B 1 A1)(B 1 A1)(AB)E (A)1=1 A1现在学习的是第36页，共99页11111.0 1.11nnnnaaaaaaAABABBAEAB设且，求：且所以例有解：12例例有关逆矩阵例题有关逆矩阵例题现在学习的是第37页，共99页1*1*3 1.0 22160311136102.2AAAAAAA例解：设，求，13例例现在学习的是第38页，共99页1*1*1 2 3 40 1 2 30 0 1 20 0 0 1121001211001200011231

22、010121001201.00AAAAAAA设，求：，例解：所 以 14例例现在学习的是第39页，共99页1212121212 ().().(.()(.4.(.kkkkkkkAEAEAAAEA EAAAEAAAEAEAAAAAAEAE0如果，那么（）例证明：）15例例现在学习的是第40页，共99页*1*1().0 1()5.AAAAAAA AAAEAAAAEAAAAAAQ设 矩 阵 可 逆，求 证 也 可 逆，并 求可 逆，有由 公 式 有 ，可 逆且 例证：16例例现在学习的是第41页，共99页2310:041.AAEOA AE已知，证明和都可逆，并求出例它们的逆矩阵13(3)10101(3

23、)10AEA AEEAEAAAE所以可逆且证：，明17例1(4)()6(4)61(4)()6AEAEAEEAEEAAEAE又所以 可逆，且现在学习的是第42页，共99页 本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上的的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。数来

24、处理。111213142122232431323334 aaaaaaaaaaaaAA例如，设矩阵，将矩阵分成子块的形式有很多种，下面就是三种不同2.4 2.4 分块矩阵分块矩阵现在学习的是第43页，共99页11121314212223243132333411121314111213142122232421222324313233343132333411122122 1)2)3)1)aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAAAAA的分块形式：在分块形式中，其中11111212131423242122212231323334 ,aaaaaaaaaaaaAAAA，现

25、在学习的是第44页，共99页111211112121222212221212.ssssrrrsrrrsA AAB BBA AAB BBABA AAB BB即即Aij与与Bij有相同的列数与行数，则：有相同的列数与行数，则：A与与B 的和就是以的和就是以Aij与与Bij为为元素的形式矩阵相加。元素的形式矩阵相加。2.4.1 分块矩阵的加法：分块矩阵的加法：设矩阵设矩阵A,矩阵矩阵B为为：现在学习的是第45页，共99页111112121121212222221122.ssssrrrrrsrsABABABABABABAABABAB2.4.2 分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法：设矩阵设矩阵 Amn、Bnp

26、 且矩阵且矩阵 A 列列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。11121111212122221222121212112122.srsststrrrssssttmmmpnnnnpnnpAAABBBAAAABBBBAAABBB现在学习的是第46页，共99页1112121222121 12212112.(1,2,.,1,2,.,)ttrrrtspqpqpqpssqpkkqktrpppmr qmpmt C CCC ABC CCC CCCA BA BA BA B于 是 有，其 中，现在学习的是第47页，共99页1111222212111212122212TTT21TTTTTTT.rrssrsssrrrsA

27、AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA设矩阵 的分块矩阵为则矩阵 的转置矩阵为2.4.3 分块矩阵的转置分块矩阵的转置现在学习的是第48页，共99页 它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称 A为为准对角矩阵（或对准对角矩阵（或对角块矩阵）。角块矩阵）。对于准对角矩阵，有以下运算性质对于准对角矩阵，有以下运算性质：若若A与与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设是具有相同分块的准对角矩阵，且设120.00.0.00.sAAAA2.4.4 准对角矩阵准对角矩阵 若矩

28、阵若矩阵A的分块矩阵具有以下形式的分块矩阵具有以下形式现在学习的是第49页，共99页11220.00.00.00.0.00.00.ssABABABAB则：11220.00.0.00.ssABABABAB11220.00.0.00.ssA BA BA BA B现在学习的是第50页，共99页T1TT2T0.00.0.00.sAAAA若准对角矩阵若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也也可逆，且可逆，且1111210.00.0.00.sAAAA现在学习的是第51页，共99页12120.00.0.0 0.ssAAAA AAA2.4.5 矩阵分块的应

29、用矩阵分块的应用现在学习的是第52页，共99页1231231 2 0 0 03 7 0 0 00 0 1 0 00 0 0 9 50 0 0 7 41 2 0 0 03 7 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 9 50 0 0 7 41 2 9 5|13 7 73.4AAAAAAAAAAA设，求对进行分块如下解：例：18例现在学习的是第53页，共99页11111122122111212122211121112112222 .4 A 0XACB CXXXXX XEXXXXE 0A 0B CXX0 EAXAXE 0BXCXBXCX0 E设，且 与 均是可逆例解：矩阵，求设即：19例现在学习的

30、是第54页，共99页1111111212111121211122222211111 0 XAAXEXAXBXCXXC BABXCXEXCAXC BA C故：000现在学习的是第55页，共99页2.4.6 矩阵按列分块矩阵按列分块1.矩阵按列分块矩阵按列分块1112121222121212.(1,2,.)(,.,).nnmmmnjjjnmjaaaaaaaaaaajnaAA 记则现在学习的是第56页，共99页11 11221121 1222221 1221112111122212222.().nnnnmmmnnmijnnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxbaaaabxbxb

31、aaabxbAxbB对于线性方程组记12.mmmnmaaabAxb则2.线性方程线性方程组的系数矩阵按列分块后线性方程组的组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式等价形式bAX 则方程记为现在学习的是第57页，共99页12121 12 2 (,.,).nnn nxxxxxxAx bb即如果把系数矩阵如果把系数矩阵A A按列分成按列分成 n n块，则线性方程组可记块，则线性方程组可记作作Axb现在学习的是第58页，共99页2.5 初等变换与初等矩阵2.5.1矩阵的初等变换矩阵的初等变换(Elementary operation)1 初等变换 定义定定下面的三种变换称为矩阵的下面的三种变换称为矩

32、阵的初等变换初等变换：(i).对调两行对调两行(ii).以非以非0数乘以某一行的所有元素；数乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去倍加到另一行对应的元素上去 把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”，即得矩阵的初等列变换的定义，即得矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。是同一种初等变换。现在学习的是第59页，共99页例18 设 1753316422

33、1421001111A（1）用行初等变换用行初等变换 把把A化为阶梯形，进一步化化为阶梯形，进一步化为行标准形为行标准形（2）再用列初等变换再用列初等变换 把把A化为标准形化为标准形解解（1）22例现在学习的是第60页，共99页 17533164221421001111A 142001420014210111111413)3()2(rrrr 000001420000010111113432)1(rrrr（行阶梯形）（行阶梯形）现在学习的是第61页，共99页 000002121000001011111)21(3r行行标标准准型型）(B 00000212100000102110013121rrrr

34、现在学习的是第62页，共99页 00000001000001000001初等列变换初等列变换B标准型）标准型）(现在学习的是第63页，共99页 2 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵定义定义2.11 一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）都是，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）都是零行零行 如下面的阶梯形矩阵如下面的阶梯形矩阵 0000220011202121 0000000000930008760032121现在学习的是第64页，共99页

35、行标准型行标准型00#rI标准型 000rI下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为标准型下面形式的矩阵称为标准型现在学习的是第65页，共99页3.定理定理2.3设设A是一个是一个m行行n列矩阵，通过行初等变换可以把列矩阵，通过行初等变换可以把A化为如下行标准型化为如下行标准型00#rI现在学习的是第66页，共99页 4 定理定理 矩阵矩阵A可经初等变换化为标准形可经初等变换化为标准形:000rI现在学习的是第67页，共99页（1）.已知已知分别将分别将A的第一、二行互换和将的第一、二行互换和将A的第一列的的第一列的 2倍加到第二列，求出相应的初等矩阵倍加到第二列

36、，求出相应的初等矩阵,并用矩阵并用矩阵乘法将这两种变换表示出来乘法将这两种变换表示出来。123456A23例现在学习的是第68页，共99页解解 交换交换A的第一、二行，可用二阶初等矩阵的第一、二行，可用二阶初等矩阵 左乘左乘A：01(1,2)10E0 1 1 2 34 5 61 0 4 5 61 2 3 21R现在学习的是第69页，共99页将将A的第一列的的第一列的 2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵倍加到第二列，即用三阶初等矩阵右乘右乘A：120(1,2(2)010001E120123103010456436001)2(12C现在学习的是第70页，共99页2.5.2 初等矩阵初等矩阵1.初等矩

37、阵的定义（定义初等矩阵的定义（定义2.12）由单位矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。对应于三种行初等变换，可以得到三种行初等矩阵。对应于三种行初等变换，可以得到三种行初等矩阵。人们从大量的实际计算中发现：对经过一次初等变换人们从大量的实际计算中发现：对经过一次初等变换等同于对矩阵左乘或右乘一个适当的矩阵，此矩阵就等同于对矩阵左乘或右乘一个适当的矩阵，此矩阵就是下面的所谓初等矩阵。是下面的所谓初等矩阵。现在学习的是第71页，共99页对于对于n阶单位矩阵阶单位矩阵I，交换，交换E的第的第 行行 ，得到的初等矩阵记作：，得到的初等矩阵记作：

38、1011(,)1101iE i jj行行ijRji,)(ji 现在学习的是第72页，共99页(2)用非零数用非零数k乘以乘以I的第的第 行，得到的初等矩阵记作行，得到的初等矩阵记作:11()11 E i kkii行列i)(kiR现在学习的是第73页，共99页(3)将将I的第的第 行的行的 倍加到第倍加到第 行，得到的初等矩行，得到的初等矩阵记作：阵记作：11(,()11 kiE i j kij行行列列jjki)(kjiR 现在学习的是第74页，共99页(4)同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵ijC)(kijC)(kiC2.初等矩阵之间的关系初等矩阵

39、之间的关系,ijijCR )(kiR )(kjiR)(kiC)(kijC 现在学习的是第75页，共99页3.可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；4.初等矩阵与初等变换之间的关系初等矩阵与初等变换之间的关系；1）.先看下面的例题先看下面的例题,ijijCR 如ijTijTijRCR现在学习的是第76页，共99页 131211232221333231333231232221131211001010100aaaaaaaaaaaaaaaaaa 3332333123222321131213113332312322211312112221020100

40、01aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1）行初等矩阵左乘矩阵）行初等矩阵左乘矩阵（3）.列初等矩阵右乘矩阵列初等矩阵右乘矩阵现在学习的是第77页，共99页2）.结论结论定理定理2.4 A为矩阵为矩阵,对对A进行初等行变换等同于用相应的行初进行初等行变换等同于用相应的行初等矩阵左乘等矩阵左乘A，对，对A进列变换等同于用相应的列初进列变换等同于用相应的列初等矩阵右乘等矩阵右乘A。5.矩阵等价矩阵等价定义定义2.13 若矩阵若矩阵A经过行（列）初等变换可化为经过行（列）初等变换可化为B则称则称A与与B行（列）等价。若矩阵行（列）等价。若矩阵A经过初等变换可化为经过初等变换可化为B则则称称A与

41、与B等价等价现在学习的是第78页，共99页6.初等矩阵可逆性初等矩阵可逆性初等矩阵是可逆的，且有初等矩阵是可逆的，且有)(1)()1(1)(1)(,)(,)(kjikjikikiijijRRRRRR)(1)()1(1)(1)(,)(,)(kjikjikikiijijCCCCCC现在学习的是第79页，共99页7.结论结论定理定理2.6 可逆矩阵可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的积，可表示为有限个初等矩阵的积，进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；也可以进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；也可以表示为有限个列初等矩阵的积表示为有限个列初等矩阵的积。证明：证明：因为任意矩阵因为任意矩阵A，有行、列

42、初等矩阵，有行、列初等矩阵tsQQPP11;00011rtsIQAQPP使得使得现在学习的是第80页，共99页因因A可逆，所以可逆，所以A的标准形中不可能有零行，从的标准形中不可能有零行，从而而 r=n,即有即有nr IQAQPPts 11于是有于是有111111QQPPAts现在学习的是第81页，共99页证毕证毕初等矩阵的逆还是初等矩阵，故初等矩阵的逆还是初等矩阵，故A初等矩阵的积。初等矩阵的积。又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故A可以是可以是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。现在学习的是第82页，共99页定理定理2.5 矩

43、阵矩阵A 与与B等价当且仅当存在可逆的等价当且仅当存在可逆的P与与Q，使得，使得 PAQ=B.特别地，矩阵特别地，矩阵A等价于等价于A的标准的标准形。形。证明：证明：初等矩阵的积是可逆；任何矩阵一定可以经过初等矩阵的积是可逆；任何矩阵一定可以经过初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有限初初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有限初等矩阵的积等矩阵的积现在学习的是第83页，共99页8.可逆矩阵的逆的求法可逆矩阵的逆的求法 A可逆可逆,则有行初等行矩阵则有行初等行矩阵sPP1使得使得IAPPs 1 则有则有11 AIPPs记记 IA现在学习的是第84页，共99页IPPPAPPPss1212

44、11 AIPPIs则有行初等矩阵则有行初等矩阵)(121IAPPPPss使得使得121PPPPss上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简单上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简单方法，举例如下：方法，举例如下：现在学习的是第85页，共99页例4 求A的逆矩阵 3152A 2110112110310152IA解解：21105301 21531A24例现在学习的是第86页，共99页例例5 求求A的逆矩阵的逆矩阵 111011201A解解 100111010011001201IA 110100010010001201 110100211010221001 1102112211A25例现在学习的是第87页

45、，共99页2.6 矩阵的秩矩阵的秩2.6.1 矩阵的秩的概念(Rank of a matrix)1.定义定义 在在m n矩阵矩阵A中，任取中，任取k行行k列（列（k m，k n），位于这），位于这些行列交叉处的些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而中所处的位置次序而得的得的k阶行列式，称为阶行列式，称为矩阵矩阵A的的k阶子式阶子式。2.定义定义2.14 如果矩阵如果矩阵A有一个不等于零的有一个不等于零的r阶子式阶子式D，并且所有，并且所有的的r+1阶子式（如果有的话）全为零，则称阶子式（如果有的话）全为零，则称D为矩阵为矩阵A的最高阶的最高阶非零子式，称

46、非零子式，称r为为 矩阵矩阵A的秩的秩，记为，记为R(A)=r，并规定零矩阵，并规定零矩阵的秩等于零。的秩等于零。现在学习的是第88页，共99页4.由矩阵的秩的定义易得：由矩阵的秩的定义易得：（1）矩阵）矩阵A的秩既不超过行数也不超过列数的秩既不超过行数也不超过列数（2）矩阵）矩阵A的秩等于矩阵的秩等于矩阵A的转置矩阵的秩。不为零的常的转置矩阵的秩。不为零的常 数数k与矩阵与矩阵A的积的秩等于矩阵的积的秩等于矩阵 A 的秩。的秩。（3）n阶矩阵阶矩阵A的秩等于的秩等于n充要条件是充要条件是A为可逆矩阵（满秩为可逆矩阵（满秩 矩阵）。矩阵）。（4）若）若A有一个有一个r阶子式不等于零，则阶子式不

47、等于零，则r(A)大于大于 等于等于r;若若 A所有一个所有一个r+1阶子式等于零，阶子式等于零，则则r(A)小小 于等于于等于r。现在学习的是第89页，共99页例20 求下列矩阵的秩解：解：A是一个阶梯型是一个阶梯型矩阵，容易看出，A中有一个三阶子中有一个三阶子式不为式不为0，而所有的四阶子式全为，而所有的四阶子式全为0，故，故R(A)3。对于对于B，可以验证，可以验证R(B)2。因为中有一个二阶子式不为中有一个二阶子式不为0，而所有的三阶子式（四个）全为，而所有的三阶子式（四个）全为0，9001712413931)2(,00000110002152043121)1(BA26例现在学习的是第

48、90页，共99页2.6.2 用初等变换求矩阵的秩用初等变换求矩阵的秩定理定理2.7 初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩证明 从前面的讨论显然有上面的结论从上面的例题很容易看出：从上面的例题很容易看出：阶梯型阶梯型矩阵的秩易求，因此矩阵的秩易求，因此我们用初等变换方法求矩阵的秩我们用初等变换方法求矩阵的秩例例21 用初等变换求下列矩阵的秩用初等变换求下列矩阵的秩 2101126415017141701201A27例现在学习的是第91页，共99页 2101126415017141701201A解解 212310641501001001201 312300141001001001201 0

49、0000141001001001201 00000001000001000001故故A的秩为的秩为3现在学习的是第92页，共99页定理定理2.8 设矩阵设矩阵A，可逆的，可逆的P与与Q，则，则r(PA)=r(A)2.6.3 矩阵秩矩阵秩 的不等式的不等式r(AQ)=r(A)r(PAQ)=r(A)证明证明 从前面的讨论显然有上面的结论从前面的讨论显然有上面的结论以下结论很重要，会经常应用以下结论很重要，会经常应用定理定理2.9 两个矩阵积的秩不超过每个因子的秩，两个矩阵积的秩不超过每个因子的秩，设设A是是m n矩阵，矩阵，B是是n k矩阵矩阵,则则 )(),(min)(BrArABr 现在学习的

50、是第93页，共99页证明 设 r(A)=r由定理 2.5可逆的P与Q使得 000rIPAQ于是11000 QIPArBQIPABr11000 将BQ1 分块 211CCBQ于是有krnkrCC )(21)(,)(000011211CPCCIPABr现在学习的是第94页，共99页再由定理再由定理2.8，有，有)0()(11 CPrABr)0(1Cr)(1Cr)(Ar 同理可证)()(BrABr 现在学习的是第95页，共99页定理定理2.10（Sylvester 公式）公式）A是是m n矩阵，矩阵，B是是n k矩阵，矩阵，则则的行数）的列数（或 BABrArABr)()()(特别的的行行数数）的的