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1、某班级同学早餐情况某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名姓名馒头馒头包子包子鸡蛋鸡蛋稀饭稀饭周星周星驰驰4221张曼张曼玉玉0000陈水陈水扁扁4986为了方便，常用下面右边的数表表示为了方便，常用下面右边的数表表示2.1矩阵的概念矩阵的概念2.1.12.1.1矩阵的引入矩阵的引入第1页/共99页1.定义定义2.1 由由mn个个aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的排成的m行行n列的数表列的数表称称m行行n列矩阵，简称列矩阵，简称mn矩阵。记作矩阵。记作2.1.2矩阵的定义第2页/共99页2.说明:矩阵与行列式不同1)形式不同形式不同 矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列
2、数同矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同.2)内容不同内容不同 矩阵是一个数表，但行列式必是一个数矩阵是一个数表，但行列式必是一个数.3.实矩阵、复矩阵第3页/共99页5.矩阵相等充要条件是:4.同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵第4页/共99页2.1.2一些特殊矩阵1.方阵若A为n行n列的矩阵，称A为n阶方阵。2.行矩阵、列矩阵行矩阵只有一行的矩阵。列矩阵只有一列的矩矩阵3.零矩阵、单位矩阵第5页/共99页n阶单位矩阵第6页/共99页4.对角矩阵与数量矩阵5.上（下）三角形矩阵第7页/共99页2.2 矩阵的运算2.2.1.2.2.1.矩阵的加法与数乘矩阵的加法与数乘:注：矩阵
3、的加法只能在两个注：矩阵的加法只能在两个 同型矩阵之间进行；同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应两个矩阵相加时，对应 元素进行相加。元素进行相加。1.矩阵的加法（定义矩阵的加法（定义2.2）:A=(aij)、B=(bij)第8页/共99页2.矩阵的数乘定义2.3数与矩阵的乘积记为A或A，并规定：负矩阵:A=(aij)减法：B=+(B)第9页/共99页3.矩阵线性运算律：(1)A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(A)=O (4)1A=A (5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA (7)k(A+B)=kA+kB第10页/共99页例1若X满足其中求X.
4、解X=第11页/共99页2.2.2.矩阵的乘法矩阵的乘法：1.矩阵的乘法定义（定义矩阵的乘法定义（定义2.5）设矩阵设矩阵 A为为ms 阶矩阵、矩阵阶矩阵、矩阵B为为 sn 阶矩阵，阶矩阵，A=(aij)ms、B=(bij)sn，则矩阵，则矩阵 A与与 B 的乘的乘积为一积为一 mn 阶矩阵阶矩阵C=(cij)mn，记，记 C=AB，且且第12页/共99页就是说，矩阵就是说，矩阵C 的第的第 i 行第行第 j 列的元素等于列的元素等于矩阵矩阵 A 的第的第 i 行的所有元素与矩阵行的所有元素与矩阵 B 的第的第 j 列的对应元素的乘积之和。列的对应元素的乘积之和。第13页/共99页例2计算第1
5、4页/共99页例3.非齐次线性方程组的矩阵表示记则非齐次线性方程组可简记为第15页/共99页关于矩阵乘法的注意事项：关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵）矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右做乘法必须是左矩阵的列数与右 矩阵的行数相等；矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是是 A左乘左乘B的乘积，的乘积，BA是是A右乘右乘B的乘积；的乘积；2.矩阵乘法与加法满足的运算规律第16页/共99页（3 3）ABAB与与BABA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定同时会有意义；即是有意义，也 不一定相等；不一定相等
6、；（4 4）AB=O AB=O 不一定有不一定有A=OA=O或或B=O B=O；A(XA(X Y)=O Y)=O 且且 A O A O 也不可能一定有也不可能一定有X=YX=Y例4第17页/共99页定理2.1若矩阵A的第i行是零行，则乘积AB的第i行也是零；若矩阵B的第j行是零列，则乘积AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩阵，则乘积AB也是零矩阵。例5设求AB与BA解第18页/共99页只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)An Am=An+m(2)(
7、An)m=An m (3)(AB)k Ak Bk3.矩阵的乘幂：设A 是n 阶方阵，定义：第19页/共99页例6解第20页/共99页4.4.方阵方阵A的的n次多项式次多项式第21页/共99页5.5.矩阵的转置矩阵的转置定义定义2.6 A2.6 A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作A AT T，是将，是将A A的行列互换后所的行列互换后所得矩阵如果得矩阵如果 A A是一个是一个 mn mn 阶矩阵，阶矩阵，A AT T 是一个是一个 nm nm 阶矩阵阶矩阵。矩阵的转置的性质第22页/共99页证明证明（1）、（）、（2）、（）、（3）易证，下证明）易证，下证明(4).设矩阵设矩阵 A为为ms 阶矩
8、阵，矩阵阶矩阵，矩阵 B为为sn阶矩阵，那么：阶矩阵，那么：(AB)T与与 BTAT 是同型矩阵；是同型矩阵；又设又设 C=A B，因为，因为 CT的第的第 i 行第行第 j 列的元素正好是列的元素正好是 C 的的 cji，即，即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而而b1i，b2i，bsi 正好是正好是 BT的第的第 i 行，行，aj1,aj2,ajs 正正好是好是 AT的第的第 j 列，因此列，因此 cji 是是 BTAT的第的第 i 行第行第 j 列的元列的元素。故素。故 (AB)T=AT BT第23页/共99页6.对称矩阵与反对称矩
9、阵设A为n 阶方阵，若AT=A，即aij=aji (i,j=1,2,n)，称矩阵A 为对称矩阵；若AT=A，即aij=aji (i,j=1,2,n)，称矩阵A 为反对称矩阵。如右边的矩阵A 为对称矩阵第24页/共99页7.方阵的行列式方阵的行列式（1）方阵）方阵 A 的行列式，记为的行列式，记为|A|或或 det A。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。且它们的记号也是不同的。（2）方阵的行列式满足以下运算规律）方阵的行列式满足以下运算规律(设设 A、B为为n 阶方阵，阶方阵，为实数为实数)第25页/共99页1)伴随矩阵：设A=(ai
10、j)nn，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵8、再讲几类特殊的矩阵称矩阵A的伴随矩阵，记为A第26页/共99页矩阵运算举例第27页/共99页第28页/共99页第29页/共99页第30页/共99页第31页/共99页 设对于设对于 n 阶方阵阶方阵 A，若存在，若存在 n 阶方阵阶方阵 B 使得使得 A B=B A=E 恒成立，则称矩阵恒成立，则称矩阵 A 可逆或满秩矩阵可逆或满秩矩阵,或非奇异矩阵；或非奇异矩阵；B 称为称为 A 的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为 A1=B 。1）.若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。证明：设A有两个逆矩阵B1、B2，则 B1=B1E=B1(AB2)=
11、(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩阵的定义（定义、可逆矩阵的定义（定义2.8）2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质2.3逆矩阵逆矩阵第32页/共99页证明：充分性证明：充分性 由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又，又|A|02）.定理定理2.2 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是|A|0，且，且A可逆可逆时有时有第33页/共99页3）.对于n 阶方阵A、B 若有AB=E 则：A、B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明：AB=E|A|B|=1 故|A|0且|B|0，A、B均可逆，
12、又BA=BABB1=BB1=E,故A1=B必要性证明：A可逆A A1=A1A=E故|A|A1|=1，即|A|0，A可逆，同时还有奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵的行列式|A|0，称矩阵A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。第34页/共99页4）.逆矩阵的性质逆矩阵的性质 如果如果A、B均可逆，那么均可逆，那么AT与与AB都可逆，且都可逆，且 (A 1)1A (AT)1(A1)T (AB)1B1A1 (kB)1k1A1(k为非零）为非零）|A1|=|A|1 证明：证明：A、B均可逆均可逆 AA1=A1AE 故故 (AA1)T=(A1)TATET=E (AT)1=(A1)T 同理同理(AB)(B
13、1 A1)(B 1 A1)(AB)E (A)1=1 A1第35页/共99页有关逆矩阵例题第36页/共99页第37页/共99页第38页/共99页第39页/共99页第40页/共99页第41页/共99页本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。运算中
14、，把这些小矩阵当做一个数来处理。2.4 分块矩阵第42页/共99页第43页/共99页即即Aij与与Bij有相同的列数与行数，则：有相同的列数与行数，则：A与与B 的和就是以的和就是以Aij与与Bij为元素的形式矩阵相加。为元素的形式矩阵相加。2.4.1 分块矩阵的加法：分块矩阵的加法：设矩阵设矩阵A,矩阵矩阵B为为：第44页/共99页2.4.2 分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法：设矩阵设矩阵 Amn、Bnp 且矩阵且矩阵 A 列列的分法与矩阵B 的行的分法相同。第45页/共99页第46页/共99页2.4.3 分块矩阵的转置分块矩阵的转置第47页/共99页它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而
15、它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称 A为为准对角矩阵（或对角块矩阵）。准对角矩阵（或对角块矩阵）。对于准对角矩阵，有以下运算性质对于准对角矩阵，有以下运算性质：若若A与与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设是具有相同分块的准对角矩阵，且设2.4.4 准对角矩阵准对角矩阵若矩阵若矩阵A的分块矩阵具有以下形式的分块矩阵具有以下形式第48页/共99页则：第49页/共99页若准对角矩阵若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵阵A也可逆，且也可逆，且第50页/共99
16、页2.4.5 矩阵分块的应用矩阵分块的应用第51页/共99页第52页/共99页第53页/共99页第54页/共99页2.4.6 矩阵按列分块矩阵按列分块1.矩阵按列分块矩阵按列分块第55页/共99页2.线性方程线性方程组的系数矩阵按列分块后线性方程组组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式的等价形式第56页/共99页如果把系数矩阵如果把系数矩阵A A按列分成按列分成 n n块，则线性方程组可块，则线性方程组可记作记作第57页/共99页2.5 初等变换与初等矩阵2.5.1矩阵的初等变换(Elementaryoperation)1初等变换定义定下面的三种变换称为矩阵的初等变换：(i).对调两行(i
17、i).以非0数乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。第58页/共99页例18设（1）用行初等变换把A化为阶梯形，进一步化为行标准形（2）再用列初等变换把A化为标准形解（1）第59页/共99页（行阶梯形）第60页/共99页第61页/共99页第62页/共99页2行阶梯形矩阵定义2.11一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行增加，一旦出现零行，则后面各行（如
18、果有的话）都是零行如下面的阶梯形矩阵第63页/共99页行标准型下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为标准型第64页/共99页3.定理2.3设A是一个m行n列矩阵，通过行初等变换可以把A化为如下行标准型第65页/共99页4定理矩阵A可经初等变换化为标准形:第66页/共99页（1）.已知分别将A的第一、二行互换和将A的第一列的 2倍加到第二列，求出相应的初等矩阵,并用矩阵乘法将这两种变换表示出来。第67页/共99页解 交换A的第一、二行，可用二阶初等矩阵 左乘A：第68页/共99页将A的第一列的 2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵右乘A：第69页/共99页2.5.2初等矩阵1.初等矩阵的定义（
19、定义2.12）由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。对应于三种行初等变换，可以得到三种行初等矩阵。人们从大量的实际计算中发现：对经过一次初等变换等同于对矩阵左乘或右乘一个适当的矩阵，此矩阵就是下面的所谓初等矩阵。第70页/共99页(1)对于n阶单位矩阵I，交换E的第 行 ，得到的初等矩阵记作：第71页/共99页(2)用非零数k乘以I的第 行，得到的初等矩阵记作:第72页/共99页(3)将I的第 行的 倍加到第 行，得到的初等矩阵记作：第73页/共99页(4)同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵2.初等矩阵之间的关系第74页/共99页3.可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等
20、矩阵；4.初等矩阵与初等变换之间的关系；1）.先看下面的例题第75页/共99页1）行初等矩阵左乘矩阵（3）.列初等矩阵右乘矩阵第76页/共99页2）.结论定理2.4A为矩阵,对A进行初等行变换等同于用相应的行初等矩阵左乘A，对A进列变换等同于用相应的列初等矩阵右乘A。5.矩阵等价定义2.13若矩阵A经过行（列）初等变换可化为B则称A与B行（列）等价。若矩阵A经过初等变换可化为B则称A与B等价第77页/共99页6.初等矩阵可逆性初等矩阵是可逆的，且有第78页/共99页7.结论定理2.6可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的积，进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；也可以表示为有限个列初等矩阵的积。证
21、明：因为任意矩阵A，有行、列初等矩阵使得第79页/共99页因A可逆，所以A的标准形中不可能有零行，从而r=n,即有于是有第80页/共99页证毕初等矩阵的逆还是初等矩阵，故A初等矩阵的积。又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故A可以是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。第81页/共99页定理2.5矩阵A与B等价当且仅当存在可逆的P与Q，使得PAQ=B.特别地，矩阵A等价于A的标准形。证明：初等矩阵的积是可逆；任何矩阵一定可以经过初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有限初等矩阵的积第82页/共99页8.可逆矩阵的逆的求法A可逆,则有行初等行矩阵使得则有记第83页/共99页则有行初等矩阵使得上面的推导
22、，提供了一种新的求矩阵的简单方法，举例如下：第84页/共99页例4求A的逆矩阵第85页/共99页例5求A的逆矩阵解第86页/共99页2.6矩阵的秩2.6.1矩阵的秩的概念(Rankofamatrix)1.定义在mn矩阵A中，任取k行k列（km，kn），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。2.定义2.14如果矩阵A有一个不等于零的r阶子式D，并且所有的r+1阶子式（如果有的话）全为零，则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为矩阵A的秩，记为R(A)=r，并规定零矩阵的秩等于零。第87页/共99页4.由矩阵的秩的定义易得：（1）矩阵A
23、的秩既不超过行数也不超过列数（2）矩阵A的秩等于矩阵A的转置矩阵的秩。不为零的常数k与矩阵A的积的秩等于矩阵A的秩。（3）n阶矩阵A的秩等于n充要条件是A为可逆矩阵（满秩矩阵）。（4）若A有一个r阶子式不等于零，则r(A)大于等于r;若A所有一个r+1阶子式等于零，则r(A)小于等于r。第88页/共99页例20求下列矩阵的秩解：A是一个阶梯型矩阵，容易看出，A中有一个三阶子式不为0，而所有的四阶子式全为0，故R(A)3。对于B，可以验证R(B)2。因为中有一个二阶子式不为0，而所有的三阶子式（四个）全为0，第89页/共99页2.6.2用初等变换求矩阵的秩定理2.7初等变换不改变矩阵的秩证明从前
24、面的讨论显然有上面的结论从上面的例题很容易看出：阶梯型矩阵的秩易求，因此我们用初等变换方法求矩阵的秩例21用初等变换求下列矩阵的秩第90页/共99页故A的秩为3第91页/共99页定理2.8设矩阵A，可逆的P与Q，则r(PA)=r(A)2.6.3矩阵秩的不等式r(AQ)=r(A)r(PAQ)=r(A)证明从前面的讨论显然有上面的结论以下结论很重要，会经常应用定理2.9两个矩阵积的秩不超过每个因子的秩，设A是mn矩阵，B是nk矩阵,则第92页/共99页证明设r(A)=r由定理2.5可逆的P与Q使得于是将分块于是有第93页/共99页再由定理2.8，有同理可证第94页/共99页定理2.10（Sylvester公式）A是mn矩阵，B是nk矩阵，则特别第95页/共99页定理2.11A、B是mn矩阵，则证明将A,B排成m2n的矩阵则有由定理2.9有第96页/共99页综上，有由定理2.7第97页/共99页例22设A为n阶幂等矩阵，即证明证明由有由定理2.10有另一方面由定理2.11 有故有第98页/共99页感谢您的观看！第99页/共99页