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1、会计学1线性系统理论资料线性系统理论资料2定理定理3-63-6 动态方程(3-22)可控、可观测的充分必要充分必要条件条件是g(s)无零、极点对消，即 D(s)和N(s)无非常数的公因式。证明：证明：首先用反证法证明条件的必要性。若有s=s0 既使N(s0)=0，又使D(s0)=0：利用恒等式第1页/共33页3将s=s0代入，可得将上式前乘 c、后乘 b 后即有式(1)前乘cA、后乘b，并考虑到(2)的结果后即有.，依次类推可得第2页/共33页4这组式子又可写成因为假设动态方程可观测，上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故第3页/共33页5考虑到式(1-45)，我们有这与系统可控的假设相矛盾。第
2、4页/共33页6 矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会出现零、极点相消的现象。充分性：充分性：即若N(s)和D(s)无相同因子，要证明动态方程(3-30)是可控、可观的。用反证法。设系统不是既可控又 可观测的。不妨设(3-30)是不可控的。这时可按可 控性分解为(2-36)的形式，并且可知这时传递函数，第5页/共33页7在上面的式子中，D(s)是n 次多项式，而D1(s)是n1次多项式，由于系统不可控，所以 n1 n，而N(s)和D(s)无相同因子可消去，显然这和两者应相等矛盾。证完。证完。第6页/共33页8推推 论论1)单输入系统(A,b)可控的充分必要条件是adj(sIA)
3、b 与D(s)=(s)无非常数公因式;2)单输出系统(A,c)可观的充分必要条件是cadj(sIA)与D(s)=(s)无非常数公因式。对单输出系统亦有类似的结论。第7页/共33页9零极对消问题小结零极对消问题小结一、一、若 cadj(sIA)b与A的特征式的特征式(s)有公因子ss0,则s0 或是不可控模态，或是不可观模态，或是既不可控又不可观的模态；若 adj(sIA)b与(s)有公因子ss0,则s0是不可控模态若cadj(sIA)与(s)有公因子ss0,则s0是不可观模态第8页/共33页10二、若 adj(sIA)与(s)有零、极对消，则ad(sIA)b 与(s)有零、极对消；c adj(
4、sIA)与(s)有零、极对消；即使adj(sIA)与(s)无零、极对消，也有可能 adj(sIA)b与(s)、c adj(sIA)与(s)都有零、极对消。第9页/共33页11例题例题 1 1不可控模态：1；不可观模态：1；adj(sIA)与(s)有 s=1 对消；adj(sIA)b与(s)有s=1 对消；cadj(sIA)与(s)有s=1 对消。第10页/共33页12adj(sIA)与(s)无零、极对消，也有可能有既不可控又不可观的模态。见下面的例2。例题例题2 2不可控模态：3、4,adj(sIA)b 与(s)可对消(s3)(s4)；不可观模态：2、4,cadj(sIA)与(s)可对消(s2
5、)(s4)；既不可控又不可观的模态：4,(但 adj(sIA)却与(s)无对消！)。第11页/共33页13总结例总结例1和例和例2：既不可控又不可观的模态一定使adj(sIA)b 与(s)有零、极对消，也使cadj(sIA)与(s)有零、极对消；反之，即使adj(sIA)b与(s)有零、极对消、cadj(sIA)与(s)有零、极对消，也不一定adj(sIA)与(s)有零、极对消,也不一定有既不可控又不可观的模态。第12页/共33页14adj(sI-A)与(s)有s-s0对消有既不可控又不可观的模态s-s0。adj(sI-A)b与(s)有s-s0对消，cadj(sI-A)与(s)有s-s0对消。
6、无必然联系adj(sI-A)b与(s)有s-s0对消，cadj(sI-A)与(s)有s-s0对消。反之不成立反之不成立第13页/共33页15(3-30)式中的d 就是下列动态方程中的直接传递部分 所以只需讨论(3-30)式中的严格真有理分式部分。设给定有理函数二、有理传递函数的最小实现二、有理传递函数的最小实现二、有理传递函数的最小实现二、有理传递函数的最小实现第14页/共33页16要求寻找（A,b,c），使得并且在所有满足(3-33)式的（A,b,c）中，要求 A 的维数尽可能的小。下面的讨论中总假定下面的讨论中总假定g(s)的分子和的分子和分母无非常数公因式。分母无非常数公因式。对(3-3
7、3)式，可构造出如下的实现 (A,b,c)问题的提法是：问题的提法是：给定严格真有理函数 第15页/共33页171.1.可控标准形的最小阶实现可控标准形的最小阶实现 (3-34)：具体构造如下：第16页/共33页181)第17页/共33页193)第18页/共33页20 (3-42)式给出的(A,b,c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是(3-34)的传递函数。由于已经假设由于已经假设g(s)无零、极点对消，故可知无零、极点对消，故可知(3-42)(3-42)式对应的动态方程也一定是可观的。式对应的动态方程也一定是可观的。这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可
8、能得出传递函数的分母是n 次多项式的结果。所以(3-42)式给出的就是(3-34)的最小阶动态方程实现最小阶动态方程实现。第19页/共33页212.2.可观标准形的最小阶实现可观标准形的最小阶实现第20页/共33页22第21页/共33页23第22页/共33页24第23页/共33页25第24页/共33页26第25页/共33页27可控和可观标准型实现小结可控和可观标准型实现小结1)在在传递函数为即约的条件下，无论是可控还是可观标准型均是最小实现；2)G(s)实现为可控标准型(Ac,bc,cc)时,其中，an 和 n分别是分母和分子多项式的常数项。第26页/共33页283)G(s)的可观控标准型(Ao,co,bo)：其中，an 和 n分别是分母和分子多项式的常数项。第27页/共33页293.3.若当标准形实现若当标准形实现第28页/共33页30则因第29页/共33页31第30页/共33页人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。第31页/共33页第32页/共33页