线性系统理论1.pptx

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1、1 系统的综合就是对于给定控制对象和指定的期望运动行为，确定控制作用。通常采用反馈形式。综合问题涉及3个元素：受控对象、性能指标和控制输入。（1）受控系统（5-1）其中，x为 n 维状态，u为p 维输入，y维 q 维输出。（2）性能指标 可以有多种形式，大体上可以分为优化型性能指标和非优化型性能指标。非优化型性能指标指某些特征参量，优化型性能指标是指系统的一个性能指标函数取为极小值或极大值。第1页/共81页2（3）控制算法 状态反馈 （5-2）输出反馈 （5-3）第2页/共81页3常见综合问题类型：（1）镇定问题，控制器设计目标是使反馈闭环系统渐近稳定。（2）极点配置问题，以一组期望闭环系统特

2、征值作为性能指标，综合目标是闭环系统特征值置于复平面上期望位置。（3）解耦问题，将m个输入m个输出系统化为m个单输入单输出系统，即使导出的反馈控制系统实现一个输出仅由一个输入所控制。（4）跟踪问题，外部存在干扰时输出无静差地跟踪参考信号输入。实现中的问题：如果状态变量不能直接测量，则需要由控制输入u和输出y重构状态，这称为观测器设计问题。第3页/共81页4 记系统S=（A，B，C），其状态x，输入u，输出y的维数分别为n，p，q。设 k x 作为反馈量构成闭环，反馈到系统的输入端，这种反馈形式称为对S系统的状态反馈。V +_uB+sxCyAk图5.1 状态反馈5.1 状态反馈的定义及性质+第4

3、页/共81页5V为参考输入，将（5-4）代入（5-1）中得反馈系统 （5-4）（5-5）控制输入为 系统综合的实质就是通过引入合适的状态反馈矩阵k，使闭环系统 特征值位于复平面上期望位置。开环系统传递函数矩阵极点就等于A的特征值.闭环系统传递函数矩阵第5页/共81页6定理5.1（状态反馈系统能控性）对线性时不变系统，状态反馈保持能控性。证明：受控系统S和状态反馈系统 ，其能控性判别阵为因为，每个列均可表为 各列的线性组合，每列可表为 各列的线性组合，因此第6页/共81页7另一方面，把受控系统S可看成是 的状态反馈系统，即有可得出即有证毕。定理5.2 对线性时不变系统，状态反馈不一定保持能观性，

4、但输出保持能观性。第7页/共81页8例5.1 设能控能观系统引入状态反馈则闭环系统的状态方程为闭环系统能控但不能观。第8页/共81页95.2 多变量系统的极点配置5.2.1 极点配置问题提法及任意配置极点的条件考虑线性时不变受控系统（5-6）其中，x为n维数状态，u为p维输入。开环系统传递函数矩阵为任意指定n个期望闭环极点：它们或为实数，或为共轭复数。取状态反馈第9页/共81页10闭环系统极点满足关系式定理5.3（极点配置定理）对多输入n维连续时间线性时不变系统，系统通过状态反馈任意配置全部 n 个极点的充分必要条件为 完全能控。证：我们在这里证明单输入单输出系统情况。必要性。采用反证法，反设

5、（A，b）不完全能控，则通过线性非奇异变换进行结构分解了导出：对任一 状态反馈矩阵 ，有第10页/共81页11上式表明，状态反馈不能改变系统不能控部分特征值，即不能任意配置全部极点，这于已知条件矛盾。因此，系统（A，b）完全能控。第11页/共81页12充分性。已知（A，b）完全能控，欲证可任意配置。采用构造性方法。对此，表并由（A，b）完全能控，可通过相应线性非奇异变换，将（A，b）化为能控规范形(定理3.6)：（5-7）第12页/共81页13再由任意指定的n个期望闭环极点 ，可以导出：构造状态反馈矩阵（5-8）由（5-7）和（5-8）得第13页/共81页14于是，得到即存在反馈矩阵 ，使闭环

6、系统任意配置极点。第14页/共81页151、判断（A，b）能控性。若完全能控，进入下一步；若不 完全能控，转到停止。2、计算矩阵A特征多项式。有3、计算由期望闭环特征值 决定的特征多项式。有5.2.2 单输入单输出系统极点配置算法第15页/共81页164、计算5、计算能控规范形变换矩阵6：计算7：计算8：停止计算。第16页/共81页17考虑多输入系统算法算法1 1 假定（A，B）能控。思路：首先求一状态反馈，使得其闭环系统对某一输入（例如对第一个输入 ）是能控的，再按单输入系统配置极点的方法配置极点。综合这两次反馈即得所求状态反馈。设系统（A，B）能控，即按列搜索格栅来选取 中n个线性无关列向

7、量。设 ，选择好n个独立列向量并排列成如下形式：5.2.3 多输入多输出系统极点配置算法(5-9)第17页/共81页18以它作为列向量构造矩阵并有显然W是 阶的满秩阵，故 存在。再构造如下矩阵第 列第 列第 列第 n 列第18页/共81页19其中 ，是 单位阵的第i 列列向量。显然 L 是 阶矩阵。令构造状态反馈设 是 的第一个分量，则有如下结果:定理5.4 系统(5-9)在反馈作用(5-10)下，以 作输入的闭环系统是能控的。(5-10)证明：自己证明。(5-11)第19页/共81页20由于（5-11）是单输入能控系统，可以用单输入系统状态反馈极点配置方法设计状态反馈。构造状态反馈使得闭环系

8、统具有指定极点。对多输入系统（5-9）构造状态反馈其中（5-12）第20页/共81页21那么其闭环系统为而 有相同的极点，故（5-13）具指定的极点。（5-13）综合（5-10）和（5-12），得状态反馈其中，闭环系统为（5-14）（5-14）具有指定的极点。第21页/共81页22步骤：1、构造状态反馈 2、对（1）得到的单输入系统，用单输入系统配置极点方法，求反馈矩阵 ，使闭环系统到希望的极点，并令 使单输入系统 能控；3、求总反馈第22页/共81页23例5.2 设系统状态方程为试求一状态反馈，使得闭环系统的极点为-1，-2。解：（1）求 ，使 能控。构造W，L第23页/共81页24由5.1

9、0式构造状态反馈第24页/共81页25在此反馈下，所给系统的闭环系统为：因而单输入系统是能控的。（*）（*）（2）对*式构造反馈，使闭环系统的极点为-1，-2。(*)式的特征多项式为第25页/共81页26所希望的特征多项式为求得这样在反馈作用下，(*)式的闭环系统为第26页/共81页27得此闭环系统的特征根为所希望的-1，-2。（3）综合前两步，即得所要求的反馈，(*)式在上式作用，闭环系统为第27页/共81页28所求状态反馈为即 在此状态反馈下，所给系统的闭环系统具有希望的特征值-1，-2。第28页/共81页29 (1)(1)考虑多输入系统（A，B）能控，不妨假定它已经是旺纳姆能控标准形：其

10、中算法算法2 2 基本思路是利用第三章的标准型,来求反馈矩阵 K.(5-15)(5-16)第29页/共81页30第30页/共81页31则取状态反馈为下面的形状第31页/共81页32所以(5-17)第32页/共81页33这说明，只要适当选择 中的数 ，就可以使 的任意一组 n 个实数（虚数共轭存在）为它们的零点，也就是说通过状态反馈可以任意配置极点。(2)(2)我们还可以利用 Luenberger 能控标准形进行极点配置。考虑系统（A，B）能控并已具有Luenberger 能控标准形(5-18)第33页/共81页34其中表示可能的非零数，对 C 的要求未列出。(5-19)第34页/共81页35设

11、所希望的闭环系统的特征多项式与 相应的能控标准伴随形 为 试比较5.18 与5.20 式，不难发现矩阵A与 的差别仅在第 诸行 。现分别取 A 与 的第 诸行，由它们所构成的矩阵，分别记为 与 。(5-20)第35页/共81页36因而 A 与 的差别仅在 与 不同。另外，我们也将 B 中的 诸行取出，由它们构成矩阵 具有如下上三角形形式。显见 是满秩的。设所求的状态反馈为(5-21)(5-22)第36页/共81页37其闭环系统为那么要求即等价于故求得即所求状态反馈为(5-23)第37页/共81页38步骤：（1）将能控矩阵化为龙伯格能控标准型；（2）写出对应希望极点的闭环系统能控标准伴随形式；（

12、3）构造矩阵 ，和 ，选取反馈矩阵（4）计算化龙伯格能控标准型的变换矩阵T;原系统 ，化为龙伯格标准型系统（5）计算状态反馈矩阵第38页/共81页39例5.3 对于系统求一状态反馈K，使得闭环系统的特征多项式为第39页/共81页40解：容易看出第40页/共81页41那么，所求反馈增益阵为第41页/共81页42故所求状态反馈为5.2.4 多输入系统极点配置讨论通过标准型来求状态反馈，比较容易，但求标准型的过程比较复杂。（1）单输入单输出系统，状态反馈不会变动零点位置。但多 输入系统通过状态反馈，可能会改变零点形态。（2）对于多输入系统，状态反馈并不唯一，可以用不同的状 态反馈达到配置同一希望极点

13、的目的。第42页/共81页43（3）单变量系统状态反馈后不一定保持能观性是因为可以产 生零极点对消，如果分子上没有零点即为常数则一定不 产生零极点对消，这时一定不影响能观性。5.3 用状态反馈实现解耦控制考虑多输入多输出线性时不变系统(5-24)其中，。传递函数矩阵为5.3.1 解耦控制问题的提法及结构特征量第43页/共81页44取状态反馈其中，K为 状态反馈矩阵，L为 输入变换矩阵，v为参考输入。导出的反馈闭环系统为闭环系统传递函数矩阵为(5-25)(5-26)第44页/共81页45 解耦控制目标就是，寻找一个输入变换和状态反馈矩阵对 ，使导出的闭环系统传递函数矩阵为非奇异对角有理分式矩阵，

14、即其中，。这种解耦控制的实质是在整个时间区间内，把一个p输入p输出系统通过引入适当 ，化为p个独立的单输入单输出系统：(5-27)第45页/共81页46且一个输出 由且仅由一个输入 所控制。需解决的问题：（1）受控系统的可解耦性，即通过状态反馈实现解耦所应满足的条件；（2）建立求解矩阵 的综合算法。系统的结构特征量 开环系统的传递函数矩阵 描述为 有理分式矩阵，可表为 第46页/共81页47结构特性指数定义为或其中，。很显然，。结构特性向量定义为或第47页/共81页48闭环系统的结构特性指数 为其中，。定理 5.5 受控系统 和包含输入变换的状态反馈系统 ，其中 为任意，。和 为开环系统和闭环

15、系统结构特性指数，和 为开环系统和闭环系统结构特性向量，两者具有如下关系：结构特性向量 有类似定义。第48页/共81页49证明：略。5.3.2 可解耦控制条件(5-28)定理5.6（可解耦条件）对连续时间线性时不变受控系统 ，定义 结构特性矩阵E，则存在输入变换 和状态反馈 ，状态反馈系统可实现解耦的充分必要条件是E为非奇异即 。证明：必要性。若解耦，则第49页/共81页50对角阵且向量则由 的定义可以导出（传递函数阵非奇异要求）（可导出 表 达式，再用 定义 推导）第50页/共81页51故所以充分性。若有 ，只要找到 K,L解耦即可。第51页/共81页52则由此导出的包含输入变换的状态反馈系

16、统为为积分型解耦系统，即闭环传递函数矩阵具有形式：令第52页/共81页53在 的上述选取下，包含输入变换的状态反馈系统为积分型解耦系统。从而，存在 可使闭环系统解耦。充分性得证。推论 5.1（积分型解耦系统）给定连续线性时不变受控系统，通过选取 可实现积分解耦。同时，任何一个实现解耦控制的系统能实现积分解耦控制。说明：积分型解耦系统不稳定，工程上不能被接受。第53页/共81页545.3.3 解耦控制综合算法1、计算系统（A,B,C)的结构特征量若E非奇异，下一步；否则，停止。2、进行状态反馈实现积分解耦第54页/共81页55积分型解耦系统为其中，且 保持能控。3、化积分型解耦系统 为规范型 第

17、55页/共81页56引入非奇异变换 ，化积分型解耦系统 为解耦规范形：对完全能观测 ，m=n,解耦规范形具有形式：（5-29）第56页/共81页57其中，其中，第57页/共81页58对不完全能观测 ，mn,解耦规范形具有形式：由已知 和 定出变换矩阵 。（5-30）对 和 为能控能观测情形，基于下列关系式：第58页/共81页59可以导出：第59页/共81页604、对解耦规范形 ,选取 状态反馈矩阵 。相应于完全能观解耦规范形（5-29），取 的形式为相应于不完全能观解耦规范形（5-30），取 的形式为第60页/共81页61状态反馈矩阵 的这种选取必可使 实现解耦，即有第61页/共81页62或*

18、对解耦后各单输入单输出系统指定期望极点组：按单输入情形极点配置算法，定出状态反馈矩阵各个元组：第62页/共81页635、对原系统 ，定出满足解耦和期望极点配置的一个输入变换和状态反馈矩阵对 ：例例5.4 给定双输入双输出线性时不变受控系统第63页/共81页64求满足解耦和期望极点配置的一个输入变换和状态反馈矩阵对 。（1）计算受控系统的结构特征指数 和结构特征向量解：第64页/共81页65第65页/共81页66可以定出：第66页/共81页67（2）导出积分型解耦系统首先，计算定出：易知E为非奇异，即受控系统可实现解耦控制。基此，取输入变换矩阵和状态反馈矩阵为第67页/共81页68可导出积分型解

19、耦系统的系数矩阵为第68页/共81页69（3）化积分型解耦系统 为规范型 基于上述得到的系数矩阵，容易判断 为完全能观测，略。由 和 ，可以导出 和 。基此，并考虑到 完全能观测，可以导出解耦规范形具有形式：第69页/共81页70第70页/共81页71且由已知能控能观测 和 ，可以定出变换矩阵为（4）对解耦规范形 定出状态反馈矩阵 的结构 基于上述导出的 结构，取 反馈阵 为两个对角分块阵，结构形式为第71页/共81页72（4）对解耦后各单输入单输出系统期望极点进行配置 可以看出，解耦后单输入单输出系统均为2维系统。指定两组期望闭环极点：并定出相应的两个期望特征多项式为第72页/共81页73按

20、极点配置算法，可以定出：从而，在保持动态解耦前提下，可以导出满足期望极点配置的状态反馈矩阵：第73页/共81页74 （5）定出相对与原系统 的输入变换阵 L 和状态反馈矩阵 K。输入变换矩阵为第74页/共81页75通过计算得到，对综合导出的解耦控制系统，状态方程和输出方程为传递函数矩阵为第75页/共81页76 （1）问题的提法 所谓状态反馈镇定问题就是，对给定线性时不变受控系统，找到一个状态反馈型规律：为参考输入使所导出的状态反馈闭环系统为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部。（2）可镇定条件定理5.7（可镇定充要条件）连续时间线性时不变受控系统可由状态反馈镇定，当且仅当系统不能控部分为渐近

21、稳定。5.4 用状态反馈实现镇定控制第76页/共81页77证:已知不完全能控 系统必可通过特定线性非奇异变换，实现系统结构分解：对任意状态反馈阵 ，可有 可以得到：第77页/共81页78再由 能控知，存在 可使 特征值均具有负实部。要使存在K 使 特征值均具有负实部，即系统可由状态反馈镇定，当且仅当系统不能控部分 为渐近稳定即其特征值均具有负实部。证明完成。推论5.2（可镇定充分条件）连续时间线性时不变受控系统可由状态反馈镇定的一个充分条件是系统为完全能控。证:镇定属于极点配置问题。完全能控系统必可由状态反馈任意配置全部极点。则完全能控系统也必可由状态反馈镇定。证明完成。（3）状态反馈镇定的算法算法（状态反馈镇定算法）给定n 维线性时不变系统 ，设其满足可镇定条件，求镇定的 状态反馈矩阵K。第78页/共81页79 （1）判断 能控性。若不完全能控，进入下一步；若完全能控，去到（5）。（2）对 构造按能控性分解变换矩阵 ，计算：其中，表 。（3）对 ，任意指定 个实部为负期望闭环特征 值 ，按多输入情形极点配置算法，计算 阶极点配置状态反馈矩阵 。第79页/共81页80 （4）计算 镇定状态反馈矩阵 ，停止。（5）对 ，任意指定 n 个实部为负期望闭环特征值 ，按多输入情形极点配置，计算 镇定状态反馈矩阵 K。（6）计算停止。第80页/共81页81感谢您的观看！第81页/共81页