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1、会计学1线性系统理论线性系统的运动分析线性系统理论线性系统的运动分析3.1 运动分析的含义3.1.1 3.1.1 问题的提出及其解的存在问题的提出及其解的存在 惟一性惟一性 分析系统运动的目的分析系统运动的目的:从其数学模从其数学模型出发型出发,定量地和精确地定出系统定量地和精确地定出系统运动的变化规律运动的变化规律,以便为系统的实以便为系统的实际运动过程做出估计际运动过程做出估计.只有当状态方程的满足初始条件只有当状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时的解存在且唯一时,对系统运动的对系统运动的分析才有意义分析才有意义.第1页/共39页第2页/共39页第3页/共39页3.1.2 线性系统响应的
2、特点线性系统满足叠加原理线性系统满足叠加原理线性系统满足叠加原理线性系统满足叠加原理 可以把系统在初始状态和输入向量作可以把系统在初始状态和输入向量作可以把系统在初始状态和输入向量作可以把系统在初始状态和输入向量作用下的运动用下的运动用下的运动用下的运动,分解为两个单独的分运分解为两个单独的分运分解为两个单独的分运分解为两个单独的分运动动动动,即由初始状态引起的自由运动和即由初始状态引起的自由运动和即由初始状态引起的自由运动和即由初始状态引起的自由运动和由输入作用引起的强迫运动由输入作用引起的强迫运动由输入作用引起的强迫运动由输入作用引起的强迫运动;系统由初始状态和由输入作用引起的系统由初始状
3、态和由输入作用引起的系统由初始状态和由输入作用引起的系统由初始状态和由输入作用引起的整体响应就由零输入响应整体响应就由零输入响应整体响应就由零输入响应整体响应就由零输入响应(输入为零输入为零输入为零输入为零时时时时)与零状态响应与零状态响应与零状态响应与零状态响应(初始状态为零时初始状态为零时初始状态为零时初始状态为零时)两者的叠加。两者的叠加。两者的叠加。两者的叠加。第4页/共39页3.2 状态转移矩阵及其性质3.2.1 3.2.1 3.2.1 3.2.1 线性齐次方程的解空间线性齐次方程的解空间线性齐次方程的解空间线性齐次方程的解空间定理定理3.2.13.2.1 齐次方程齐次方程的所有解的
4、集合组成实数域上的所有解的集合组成实数域上的的n n维向量空间。维向量空间。第5页/共39页3.2.2 状态转移矩阵的定义定义定义3.2.13.2.1 设设是方程是方程 的一组线性独立的解，的一组线性独立的解，那么矩阵那么矩阵 称为方程称为方程的基本解阵。的基本解阵。第6页/共39页性质性质1 1 如果如果满足方满足方程程 且对某个且对某个非奇异，那么非奇异，那么必为方程必为方程的基本解阵。的基本解阵。性质性质2 2 对任意对任意，基本解阵基本解阵都是非奇异的。都是非奇异的。第7页/共39页定义定义3.2.2 3.2.2 令令是方程是方程的基本解阵，则矩阵的基本解阵，则矩阵称为系统的状态转移矩
5、阵。称为系统的状态转移矩阵。第8页/共39页3.2.3 状态转移矩阵的性质命题命题3.2.13.2.1 设为系统为系统的状态转移矩阵，则它具有下述性质：的状态转移矩阵，则它具有下述性质：1.1.自反性：对任意自反性：对任意，有有 2.2.反身性：对任意反身性：对任意和和，有，有3.3.传递性：对任意传递性：对任意，和和，有，有第9页/共39页命题命题3.2.23.2.2 设设为系统为系统的状态转移矩阵，且系统的状态转移矩阵，且系统满足解的存在唯一性条件，则满足解的存在唯一性条件，则与方程与方程的基本解阵的选取无关的基本解阵的选取无关,且由下述矩阵且由下述矩阵微分方程惟一决定微分方程惟一决定 第
6、10页/共39页3.3 线性时变系统的运动分析3.3.1 3.3.1 3.3.1 3.3.1 线性时变系统的零输入响应线性时变系统的零输入响应线性时变系统的零输入响应线性时变系统的零输入响应定理定理3.3.13.3.1 设时变线性系统满足解的存在设时变线性系统满足解的存在 唯一性条件，记唯一性条件，记为其状态转移矩阵为其状态转移矩阵,则则第11页/共39页定理定理3.3.23.3.2 设线性时变系统设线性时变系统满足解的存在满足解的存在 唯一性条件，记唯一性条件，记3.3.2 3.3.2 线性时变系统的零状态响应线性时变系统的零状态响应为其状态转移矩阵，则为其状态转移矩阵，则第12页/共39页
7、3.3.3 3.3.3 时变线性系统的整体响应时变线性系统的整体响应第13页/共39页例例3.3.13.3.1 给定线性时变系统给定线性时变系统求其在单位阶约函数求其在单位阶约函数作用下以作用下以和和为初始状态的状态响应为初始状态的状态响应。第14页/共39页解解:首先来求状态转移矩阵，为此来考虑零输入首先来求状态转移矩阵，为此来考虑零输入时的状态方程时的状态方程对其求解可以得到对其求解可以得到取两组不同的初值取两组不同的初值和和第15页/共39页可得到两个线性无关解可得到两个线性无关解 从而系统的一个基本解阵可取为从而系统的一个基本解阵可取为由此可得由此可得第16页/共39页下面我们来计算系
8、统的响应下面我们来计算系统的响应第17页/共39页3.4 线性定常系统的运动分析3.4.1 3.4.1 矩阵指数函数矩阵指数函数第18页/共39页定理定理3.4.13.4.1 设设，则则1.2.3.为可逆矩阵，且为可逆矩阵，且4.对于与对于与可交换的可交换的阶方阵阶方阵有有5.第19页/共39页 6.7.如如，则则 8.（此处（此处L为为Laplace变换算符）变换算符）第20页/共39页命题命题3.4.13.4.1 设设方法方法1 1 基于基于LevirrierLevirrier算法求取算法求取方法方法2 2 基于基于JordanJordan分解求取分解求取具有互异特征值具有互异特征值为为的
9、与的与相对应的特征向量，记相对应的特征向量，记则则 第21页/共39页命题命题3.4.23.4.2 设设为一为一阶阶Jordan块，块，为其特征值，则为其特征值，则:第22页/共39页 阶方阵，且具有互异阶方阵，且具有互异特征值特征值时，式时，式成立。成立。命题命题3.4.33.4.3 设设为为，则当取，则当取 方法方法3 3 基于基于Cayley-HamiltonCayley-Hamilton定理计算定理计算第23页/共39页（二重），（二重），（三重），（三重），具有重特征值但为循环阵时，比如其具有重特征值但为循环阵时，比如其特征值为特征值为当当，此时有此时有 第24页/共39页3.4.2
10、 3.4.2 线性定常系统的响应线性定常系统的响应定理定理3.4.23.4.2 定常线性系统定常线性系统的状态转移矩阵为的状态转移矩阵为第25页/共39页定理定理3.4.33.4.3 给定线性定常系统给定线性定常系统 ，则它的，则它的1.1.零输入状态响应和零输入输出响应零输入状态响应和零输入输出响应 分别是分别是:2.2.零初始状态下的状态和输出响应零初始状态下的状态和输出响应 分别为分别为:第26页/共39页3.3.整体的状态和输出响应分别为整体的状态和输出响应分别为第27页/共39页推论推论3.4.13.4.1 设矩阵设矩阵具有互异特征值具有互异特征值，为对应的右特征向量，记为对应的右特
11、征向量，记 则则:命题命题3.4.43.4.4 相互代数等价的定常线性系统相互代数等价的定常线性系统 具有相同的零初始状态下的输出响应具有相同的零初始状态下的输出响应 和零输入条件下的输出和零输入条件下的输出 响应。响应。第28页/共39页例例3.4.13.4.1 已知系统已知系统求其在初始状态求其在初始状态下的零输入响应和在下的零输入响应和在作用下的零初始状态响应。作用下的零初始状态响应。第29页/共39页第30页/共39页所以有所以有最后由定理最后由定理3.4.23.4.2可得可得第31页/共39页3.5 脉冲响应矩阵3.5.1 3.5.1 3.5.1 3.5.1 单变量情形的简单回顾单变
12、量情形的简单回顾单变量情形的简单回顾单变量情形的简单回顾 系统的脉冲响应函数是它的系统的脉冲响应函数是它的系统的脉冲响应函数是它的系统的脉冲响应函数是它的传递函数的传递函数的传递函数的传递函数的LaplaceLaplaceLaplaceLaplace反变换。反变换。反变换。反变换。脉冲响应函数描述了系统输入脉冲响应函数描述了系统输入脉冲响应函数描述了系统输入脉冲响应函数描述了系统输入-输出的时域关系。输出的时域关系。输出的时域关系。输出的时域关系。传递函数描述了系统输入传递函数描述了系统输入传递函数描述了系统输入传递函数描述了系统输入-输出输出输出输出的频域关系。的频域关系。的频域关系。的频域
13、关系。第32页/共39页定义定义3.5.13.5.1 考虑一个具有考虑一个具有个输入端和个输入端和3.5.2 3.5.2 脉冲响应矩阵的定义与系统的输出响应脉冲响应矩阵的定义与系统的输出响应的脉冲响应。的脉冲响应。个输出端的线性定常系统，假设系统具有个输出端的线性定常系统，假设系统具有零初始状态，令在零初始状态，令在时刻加于第时刻加于第个输入端一个单位脉冲函数个输入端一个单位脉冲函数而令其他输入端的输入为零，则用而令其他输入端的输入为零，则用表示第表示第个输出端在时刻个输出端在时刻，为元所构成的为元所构成的阶矩阵阶矩阵而以脉冲响应而以脉冲响应第33页/共39页 称为系统的脉冲响应矩阵。并且，由
14、于称为系统的脉冲响应矩阵。并且，由于系系统满足因果律，且总是假定系统的输出统满足因果律，且总是假定系统的输出在在输入加入之前的所有瞬时为零，所以输入加入之前的所有瞬时为零，所以具有性质具有性质 和和第34页/共39页3.5.3 3.5.3 状态空间模型的脉冲响应矩阵状态空间模型的脉冲响应矩阵定理定理3.5.13.5.1 由由所描述的线性系统的脉冲响应矩阵为所描述的线性系统的脉冲响应矩阵为或将其写成常用的形式或将其写成常用的形式 第35页/共39页定理定理3.5.23.5.2 两个代数等价的线性定常系统两个代数等价的线性定常系统 具有相同的脉冲响应矩阵。具有相同的脉冲响应矩阵。第36页/共39页
15、3.5.4 3.5.4 脉冲响应矩阵与传递函数矩阵脉冲响应矩阵与传递函数矩阵定理定理3.5.33.5.3 用用 分别表示给定分别表示给定的线性定常系统的脉冲响应矩阵和传的线性定常系统的脉冲响应矩阵和传递函数矩阵，则两者之间成立如下的递函数矩阵，则两者之间成立如下的关系式。关系式。和和和和 第37页/共39页定理定理3.5.43.5.4 给定两个线性定常系统给定两个线性定常系统设两者具有相同的输出和输入维数，但设两者具有相同的输出和输入维数，但它们的状态维数可不一定相同，则此两它们的状态维数可不一定相同，则此两系统具有相同脉冲响应矩阵的充要条件系统具有相同脉冲响应矩阵的充要条件是是:和和 第38页/共39页