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1、线性系统理论离散线性系统理论第1 页，本讲稿共51 页 为系统的输入解耦零点；称满足为系统的输出解耦零点；的定义11.1.1 对于系统（11.1.5）我们称满足的11.1 离散动态系统的数学描述11.1.1 离散系统的状态空间描述第2 页，本讲稿共51 页11.1.2 脉冲传递函数矩阵 脉冲传递函数矩阵 为 的有理分式矩阵，并且通常只讨论 为真的和严格真的情况，因为非真的 将不具有因果性，即会出现还没有加入输入作用而已产生输出响应的现象，这是不符合一般的物理可实现性的。称满足的 为系统的传输零点。第3 页，本讲稿共51 页11.2 离散动态系统的运动分析 从数学角度看，线性离散系统的运动分析，
2、归结为对时变的线性差分方程或定常的线性差分方程进行求解。第4 页，本讲稿共51 页第5 页，本讲稿共51 页.令，则由已知 和，从式（11.2.1）求得(为给定问题的时间区间末时)11.2.2 线性离散系统的运动规律定义11.2.1 矩阵差分方程和 第6 页，本讲稿共51 页的解阵 和 分别称为线性时变离散系 统和线 性定常离散系 统的状态转移矩阵。第7 页，本讲稿共51 页和线性定常离散系 统定理11.2.1 令 和 分别为线性时变离散系统 的状态转移矩阵，则其表达式分别为 第8 页，本讲稿共51 页 所描述的线性时变离散系统，其状态运动的表达式为 和 其中 定理11.2.2 对于式第9 页
3、，本讲稿共51 页所描述的线性时变离散系统，其状态运动的表达式为 或 其中，是系统的状态转移矩阵。定理11.2.3 对于 或 第10 页，本讲稿共51 页11.3 线性连续系统的时间离散化11.3.1 实现方法 下图是将连续时间系统化为离散时间系统的一种典型情况。受控对象是连续时间系统，其状态，输出 和输入都是时间 的连续函数向量。控制装置由数模转换器、数字计算机、模数转换器构成。它只能输入离散时间变量，并输出离散时间变量，其中离散时间序列。第11 页，本讲稿共51 页第12 页，本讲稿共51 页11.3.3 基本结论定理11.3.1 给定线性连续时变系统则其在基本假设下的时间离散化模型为 并
4、且两者的系数矩阵间存在如下的关系式：第13 页，本讲稿共51 页其中，为采样周期；是连续系统的状态转移矩阵，第14 页，本讲稿共51 页定理11.3.2 在前述基本假设下，线性连续定 常系统 的时间离散化模型为其中 第15 页，本讲稿共51 页推论11.3.1 时间离散化不改变系统的时变性或定常性，即时变连续系统离散化后仍为时变系统，而定常连续系统离散化后仍为定常系统。推论11.3.2 不管连续系统矩阵或是否为非奇异，但离散化系统的矩阵 或 将一定是非奇异的。推论11.3.3 对于连续系统的时间离散化系统，其状态转移矩阵必是非奇异的。第16 页，本讲稿共51 页 称为是稳定的，如果对于任给的1
5、1.4 离散时间系统的稳定性11.4.1 离散时间系统的Lyapunov 稳定性定义11.4.1 离散线性系统的平衡点及任何非负整数，存在使当 时，有 对于所有 成立。第17 页，本讲稿共51 页，使得当无关）及任意非 负整数 称为是一致渐近稳定的，如果它是一致稳定的，同时对每个 称 为是渐近稳定的，如果它是稳定的，同时存在一个定义11.4.2 离散系 统的平衡点时，有 定义11.4.3 离散系统 的平衡点，存在一个（与和及一（与 无关），使当第18 页，本讲稿共51 页时，对于所有，有 对于所有 成立。定义11.4.4 离散系统 的平衡点称为是指数稳定的，如果存在一，且对每个，存在使当时有
6、对于所有 成立。第19 页，本讲稿共51 页第20 页，本讲稿共51 页称为是大范围一致渐近稳定的，如果1.它是一致稳定的；2.方程的解是一致有界的；3.对任何 时趋于 零。定义11.4.8 该 离散系统的平衡点称为是大范围稳定的，如果它是稳定的，并且方程的每个解当定义11.4.7 该离散系统的平衡点，任何及存在（与 无关），使得当 时，有 对于所有 成立。第21 页，本讲稿共51 页定义11.4.9 离散系统 的平衡点称为是大范围指数稳定的。如果存在，并对任何，存在，使当时，有 对于所有 成立。第22 页，本讲稿共51 页定理11.4.1（离散系统的大范围渐近稳定判据）对于离散系统 11.4
7、.2 离散时间系统的Lyapunov 主稳定 性定理如果存在一个相对于 的标量函数，且对任意满足：1.为正定的；3.当 时有 则原点平衡状态，即 为大范围渐近 稳定。2.负定；第23 页，本讲稿共51 页第24 页，本讲稿共51 页 时，系统的原点平衡状态，即推论11.4.1 对于离散系统（11.4.1）设，则当 收敛，即对所有，有 为大范围渐近稳定。第25 页，本讲稿共51 页 的最小多项式的单根。2.其唯一平衡状态 是Lyapunov 意义下稳定的充要条件是，定理11.4.3 对于线性定常离散系统（11.4.5）有：1.其每一个平衡状态 的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的那些 特征值是1
8、1.4.3 线性离散时间系统的稳定性判定的全部特征值第26 页，本讲稿共51 页第27 页，本讲稿共51 页第28 页，本讲稿共51 页 一致渐近稳定的充要条件是对于任何一致有界、一致对称正定的 阶的对称矩阵，如果存在定义11.4.10 设为一，使得对于所有的均成立 便称矩阵 为一致有界、一致正定的。定理11.4.5 离散时变性系统 矩阵Lyapunov 差分矩阵方程 第29 页，本讲稿共51 页第30 页，本讲稿共51 页 由式（11.4.12）定义，则多项式 11.4.4 Schur-Cohn 判据 定理11.4.6（Schur-Cohn 判据）已知由式（11.4.11）表出的多项式为Sc
9、hur 的充要条件是 此处规定。第31 页，本讲稿共51 页11.5 离散时间系统的能控性和能观测器11.5.1 能控性和能达性第32 页，本讲稿共51 页第33 页，本讲稿共51 页第34 页，本讲稿共51 页 其中，定理11.5.4（定常离散系统的秩判据）当为定常时，线性离散系统（11.5.1）为完全能控的充要条件是 为系统的维数。第35 页，本讲稿共51 页推论11.5.2 考虑单输入定常离散系统 其中，为维状态向量；为标量输入；假定为非奇异。当系统为完全能控时，可构造如下的控制 使在 步内将任意状态 转移到状态空间的原点上。第36 页，本讲稿共51 页 的任意非零初态定义11.5.2
10、如果对初始时刻，都存在有限时刻，且可由 上的输出唯一地确定 则称系统在时刻是完全能观测的。第37 页，本讲稿共51 页定理11.5.5（时变离散系统的Gram 矩阵判据）线性时变离散系统（11.5.15）为完全能观的充要条件是，存在有限时刻，在时刻，使如下定义的Gram 矩阵 为非奇异的。第38 页，本讲稿共51 页定理11.5.6（定常离散系统的秩判据）线性时变 离散系统 为完全能观的充要条件是 或 第39 页，本讲稿共51 页 为标 量输出。当系统完全能观测时，可只利用推论11.5.3 考虑单输出定常离散系统 其中，为 维状态向量；步内的输出值而构造出任意的非零状态第40 页，本讲稿共51
11、 页11.5.4 规范分解与规范型 定理11.5.7 定常线性系统 代数等价于下述按能控性结构分解的规范型 第41 页，本讲稿共51 页 其中，维能观分状态向量，即按能观 性结构分解的规范型 为维能控分状态向量，即能控；为 能观。第42 页，本讲稿共51 页保持能控或能观测的一个充分条件是采样周期 的全部特征值且当11.6 连续系统时间离散化后保持能控和 能观测的条件11.6.1 问题的描述与结论定理11.6.1 设系统（11.6.1）能控或能观，令 为时有，则时间离散化系统的数值，对一切满足 第43 页，本讲稿共51 页容易验证，该系统为能控和能观测，且其特征值为。的特征值，成立例11.6.1 设有线性连续时间系统为和第44 页，本讲稿共51 页于是，利用上述结论可知，当选择采样周期的数值，使时，其时间离散化系统必保持为能控和能观测。第45 页，本讲稿共51 页若直接由时间离散化系统来导出能控性和能观测 性判别矩阵，有那么，根据第46 页，本讲稿共51 页第47 页，本讲稿共51 页第48 页，本讲稿共51 页第49 页，本讲稿共51 页第50 页，本讲稿共51 页第51 页，本讲稿共51 页