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1、线性系统理论离散线性系统理论第1页，共51页，编辑于2022年，星期一 为为系系统统的的输输入解耦零点；称入解耦零点；称满满足足为为系系统统的的输输出解耦零点；出解耦零点；的的定定义义11.1.1 对对于系于系统统（11.1.5）我我们们称称满满足足的的11.1 离散动态系统的数学描述离散动态系统的数学描述11.1.1 离散系统的状态空间描述离散系统的状态空间描述第2页，共51页，编辑于2022年，星期一11.1.2 脉冲传递函数矩阵脉冲传递函数矩阵 脉冲传递函数矩阵脉冲传递函数矩阵 为为 的有理分的有理分式矩阵，并且通常只讨论式矩阵，并且通常只讨论 为真的和严格为真的和严格真的情况，因为非真
2、的真的情况，因为非真的 将不具有因果将不具有因果性，即会出现还没有加入输入作用而已产生性，即会出现还没有加入输入作用而已产生输出响应的现象，这是不符合一般的物理可输出响应的现象，这是不符合一般的物理可实现性的。实现性的。称满足称满足的的为为系系统统的的传输传输零点。零点。第3页，共51页，编辑于2022年，星期一11.2 离散动态系统的运动分析离散动态系统的运动分析 从数学角度看，线性离散系统的运动分析，从数学角度看，线性离散系统的运动分析，归结为对时变的线性差分方程归结为对时变的线性差分方程或定常的线性差分方程或定常的线性差分方程进行求解。进行求解。第4页，共51页，编辑于2022年，星期一
3、第5页，共51页，编辑于2022年，星期一 .令令 ，则由已知，则由已知 和和 ，从，从式（式（11.2.1）求得）求得(为给定问题的时间区间末为给定问题的时间区间末时时)11.2.2 线性离散系统的运动规律线性离散系统的运动规律定定义义11.2.1 矩矩阵阵差分方程差分方程和和 第6页，共51页，编辑于2022年，星期一的解的解阵阵和和 分分别别称称为线为线性性时变时变离散系离散系统统和和线线性定常离散系性定常离散系统统的状的状态转态转移矩移矩阵阵。第7页，共51页，编辑于2022年，星期一和和线线性定常离散系性定常离散系统统定理定理11.2.1 令令和和 分分别为别为线线性性时变时变离散系
4、离散系统统 的状的状态转态转移矩移矩阵阵，则则其表达式分其表达式分别为别为 第8页，共51页，编辑于2022年，星期一 所描述的所描述的线线性性时变时变离散系离散系统统，其状，其状态态运运动动的表达式的表达式为为 和和 其中其中 定理定理11.2.2 对对于式于式第9页，共51页，编辑于2022年，星期一所描述的所描述的线线性性时变时变离散系离散系统统，其状，其状态态运运动动的的表达式表达式为为 或或 其中，其中，是系是系统统的状的状态转态转移矩移矩阵阵。定理定理11.2.3 对对于于 或或 第10页，共51页，编辑于2022年，星期一11.3 线性连续系统的时间离散化线性连续系统的时间离散化
5、11.3.1 实现方法实现方法 下图是将连续时间系统化为离散时间系统的一下图是将连续时间系统化为离散时间系统的一种典型情况。受控对象是连续时间系统，其状态种典型情况。受控对象是连续时间系统，其状态 ，输出，输出 和输入和输入都是时间都是时间 的连续函数向量。控制装置由数的连续函数向量。控制装置由数模转换器、数字计算机、模数转换器构成。模转换器、数字计算机、模数转换器构成。它只能输入离散时间变量它只能输入离散时间变量 ，并输出离散，并输出离散时间变量时间变量 ，其中离散时间序列，其中离散时间序列 。第11页，共51页，编辑于2022年，星期一第12页，共51页，编辑于2022年，星期一11.3.
6、3 基本结论基本结论定理定理11.3.1 给给定定线线性性连续时变连续时变系系统统则则其在基本假其在基本假设设下的下的时间时间离散化模型离散化模型为为 并且两者的系数矩并且两者的系数矩阵间阵间存在如下的关系式：存在如下的关系式：第13页，共51页，编辑于2022年，星期一其中，其中，为为采采样样周期；周期；是是连续连续系系统统的状的状态转态转移矩移矩阵阵，第14页，共51页，编辑于2022年，星期一定理定理11.3.2 在前述基本假在前述基本假设设下，下，线线性性连续连续定定 常系常系统统 的的时间时间离散化模型离散化模型为为其中其中 第15页，共51页，编辑于2022年，星期一推推论论11.
7、3.1 时间时间离散化不改离散化不改变变系系统统的的时变时变性性或定常性，即或定常性，即时变连续时变连续系系统统离散化后仍离散化后仍为时为时变变系系统统，而定常，而定常连续连续系系统统离散化后仍离散化后仍为为定常定常系系统统。推推论论11.3.2 不管不管连续连续系系统统矩矩阵阵或或是否是否为为非奇异，但离散化系非奇异，但离散化系统统的矩的矩阵阵 或或 将一定是非奇异的。将一定是非奇异的。推推论论11.3.3 对对于于连续连续系系统统的的时间时间离散化系离散化系统统，其状其状态转态转移矩移矩阵阵必是非奇异的。必是非奇异的。第16页，共51页，编辑于2022年，星期一 称称为为是是稳稳定的，如果
8、定的，如果对对于任于任给给的的11.4 离散时间系统的稳定性离散时间系统的稳定性11.4.1 离散时间系统的离散时间系统的Lyapunov稳定性稳定性定定义义11.4.1 离散离散线线性系性系统统的平衡点的平衡点及任何非及任何非负负整数整数，存在，存在使当使当时时，有，有 对对于所有于所有成立。成立。第17页，共51页，编辑于2022年，星期一，使得当，使得当无关）无关）及任意非及任意非负负整数整数 称称为为是一致是一致渐渐近近稳稳定的，如果它是一定的，如果它是一致致稳稳定的，同定的，同时对时对每个每个 称称为为是是渐渐近近稳稳定的，如果定的，如果它是它是稳稳定的，同定的，同时时存在一个存在一
9、个定定义义11.4.2 离散系离散系统统的平衡点的平衡点时时，有，有 定定义义11.4.3 离散系离散系统统 的平衡点的平衡点，存在一个，存在一个（与（与和和及一及一（与（与无关），使当无关），使当第18页，共51页，编辑于2022年，星期一时时，对对于所有于所有，有，有 对对于所有于所有成立。成立。定定义义11.4.4 离散系离散系统统 的平衡点的平衡点称称为为是指数是指数稳稳定的，如果存在一定的，如果存在一，且，且对对每个每个，存在，存在使当使当时时有有 对对于所有于所有成立。成立。第19页，共51页，编辑于2022年，星期一第20页，共51页，编辑于2022年，星期一称称为为是大范是大范
10、围围一致一致渐渐近近稳稳定的，如果定的，如果1.它是一致它是一致稳稳定的；定的；2.方程的解是一致有界的；方程的解是一致有界的；3.对对任何任何 时趋时趋于于 零。零。定定义义11.4.8 该该离散系离散系统统的平衡点的平衡点称称为为是大范是大范围稳围稳定的，如果它是定的，如果它是稳稳定的，并定的，并且方程的每个解当且方程的每个解当定定义义11.4.7 该该离散系离散系统统的平衡点的平衡点，任何，任何及及存在存在（与（与无关），使得当无关），使得当时时，有，有 对对于所有于所有成立。成立。第21页，共51页，编辑于2022年，星期一定定义义11.4.9 离散系离散系统统 的平衡点的平衡点称称为
11、为是大范是大范围围指数指数稳稳定的。如果存在定的。如果存在，并，并对对任何任何，存在，存在，使当，使当时时，有，有 对对于所有于所有成立。成立。第22页，共51页，编辑于2022年，星期一定理定理11.4.1（离散系（离散系统统的大范的大范围渐围渐近近稳稳定判据）定判据）对对于离散系于离散系统统 11.4.2 离散时间系统的离散时间系统的Lyapunov主稳定主稳定 性定理性定理如果存在一个相如果存在一个相对对于于的的标标量函数量函数，且，且对对任意任意满满足：足：1.为为正定的；正定的；3.当当时时有有 则则原点平衡状原点平衡状态态，即，即 为为大范大范围渐围渐近近 稳稳定。定。2.负定；负
12、定；第23页，共51页，编辑于2022年，星期一第24页，共51页，编辑于2022年，星期一 时时，系，系统统的的原点平衡状原点平衡状态态，即，即推推论论11.4.1 对对于离散系于离散系统统（11.4.1）设设，则则当当收收敛敛，即，即对对所有所有，有，有 为为大范大范围渐围渐近近稳稳定。定。第25页，共51页，编辑于2022年，星期一 的最小多的最小多项项式的式的单单根。根。2.其唯一平衡状其唯一平衡状态态 是是Lyapunov意意义义下下稳稳定的充要条件是，定的充要条件是，定理定理11.4.3 对对于于线线性定常离散系性定常离散系统统（11.4.5）有：有：1.其每一个平衡状其每一个平衡
13、状态态 的幅的幅值值均等于或小于均等于或小于1，且幅，且幅值值等于等于1的那些的那些 特征特征值值是是11.4.3 线性离散时间系统的稳定性判定线性离散时间系统的稳定性判定的全部特征的全部特征值值第26页，共51页，编辑于2022年，星期一第27页，共51页，编辑于2022年，星期一第28页，共51页，编辑于2022年，星期一 一致一致渐渐近近稳稳定的充要条件是定的充要条件是对对于任何一致于任何一致有界、一致有界、一致对对称正定的称正定的 阶阶的的对对称矩称矩阵阵，如果存在如果存在定定义义11.4.10 设设为为一一，使得，使得对对于所有的于所有的均成立均成立 便称矩便称矩阵阵 为为一致有界、
14、一致正定的。一致有界、一致正定的。定理定理11.4.5 离散离散时变时变性系性系统统 矩矩阵阵Lyapunov差分矩差分矩阵阵方程方程 第29页，共51页，编辑于2022年，星期一第30页，共51页，编辑于2022年，星期一 由式（由式（11.4.12）定）定义义，则则多多项项式式 11.4.4 Schur-Cohn判据判据 定理定理11.4.6（Schur-Cohn判据）判据）已知由式（已知由式（11.4.11）表出的多表出的多项项式式为为Schur的充要条件是的充要条件是 此此处规处规定定 。第31页，共51页，编辑于2022年，星期一11.5 离散时间系统的能控性和能观测器离散时间系统的
15、能控性和能观测器11.5.1 能控性和能达性能控性和能达性第32页，共51页，编辑于2022年，星期一第33页，共51页，编辑于2022年，星期一第34页，共51页，编辑于2022年，星期一 其中，其中，定理定理11.5.4 （定常离散系（定常离散系统统的秩判据）的秩判据）当当为为定常定常时时，线线性离散系性离散系统统（11.5.1）为为完全完全能控的充要条件是能控的充要条件是 为为系系统统的的维维数。数。第35页，共51页，编辑于2022年，星期一推推论论11.5.2 考考虑单输虑单输入定常离散系入定常离散系统统 其中，其中，为为维维状状态态向量；向量；为标为标量量输输入；入；假定假定为为非
16、奇异。当系非奇异。当系统为统为完全能控完全能控时时，可，可构造如下的控制构造如下的控制 使在使在步内将任意状步内将任意状态态 转转移到状移到状态态空空间间的原点上。的原点上。第36页，共51页，编辑于2022年，星期一 的任意非零的任意非零初初态态定定义义11.5.2 如果如果对对初始初始时时刻刻，都存在有限，都存在有限时时刻刻 ，且可由且可由上的上的输输出出唯一地确定唯一地确定 则则称系称系统统在在时时刻刻是完全能是完全能观测观测的。的。第37页，共51页，编辑于2022年，星期一定理定理11.5.5（时变时变离散系离散系统统的的Gram矩矩阵阵判据）判据）线线性性时变时变离散系离散系统统（
17、11.5.15）为为完全能完全能观观的充要条件是，的充要条件是，存在有限存在有限时时刻刻 ，在在时时刻刻 ，使如下定，使如下定义义的的Gram矩矩阵阵 为为非奇异的。非奇异的。第38页，共51页，编辑于2022年，星期一定理定理11.5.6 （定常离散系（定常离散系统统的秩判据）的秩判据）线线性性时变时变离散系离散系统统 为为完全能完全能观观的充要条件是的充要条件是 或或 第39页，共51页，编辑于2022年，星期一 为标为标量量输输出。出。当系当系统统完全能完全能观测时观测时，可只利用，可只利用推推论论11.5.3 考考虑单输虑单输出定常离散系出定常离散系统统 其中，其中，为为维维状状态态向
18、量；向量；步内的步内的输输出出值值而构造出任意的非零状而构造出任意的非零状态态第40页，共51页，编辑于2022年，星期一11.5.4 规范分解与规范型规范分解与规范型 定理定理11.5.7 定常定常线线性系性系统统 代数等价于下述按能控性代数等价于下述按能控性结结构分解的构分解的规规范型范型 第41页，共51页，编辑于2022年，星期一 其中，其中，维维能能观观分状分状态态向量，向量，即即按能按能观观性性结结构分解的构分解的规规范型范型 为为维维能控分状能控分状态态向量，即向量，即能控；能控；为为 能能观观。第42页，共51页，编辑于2022年，星期一保持能控或能保持能控或能观测观测的一个充
19、分条件是采的一个充分条件是采样样周周期期 的全部特征的全部特征值值且当且当11.6 连续系统时间离散化后保持能控和连续系统时间离散化后保持能控和 能观测的条件能观测的条件11.6.1 问题的描述与结论问题的描述与结论定理定理11.6.1 设设系系统统（11.6.1）能控或能能控或能观观，令，令为为时时有有，则时间则时间离散化系离散化系统统的数的数值值，对对一切一切满满足足 第43页，共51页，编辑于2022年，星期一容易容易验证验证，该该系系统为统为能控和能能控和能观测观测，且其特征且其特征值为值为 。的特征的特征值值，成立，成立例例11.6.1 设设有有线线性性连续时间连续时间系系统为统为和
20、和第44页，共51页，编辑于2022年，星期一于是，利用上述于是，利用上述结论结论可知，当可知，当选择选择采采样样周期周期的数的数值值，使，使时时，其，其时间时间离散化系离散化系统统必保持必保持为为能控和能能控和能观测观测。第45页，共51页，编辑于2022年，星期一若直接由若直接由时间时间离散化系离散化系统统来来导导出能控性出能控性和能和能观测观测性判性判别别矩矩阵阵，有，有那么，根据那么，根据第46页，共51页，编辑于2022年，星期一第47页，共51页，编辑于2022年，星期一第48页，共51页，编辑于2022年，星期一第49页，共51页，编辑于2022年，星期一第50页，共51页，编辑于2022年，星期一第51页，共51页，编辑于2022年，星期一