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1、万有引力定律在天文学上的应用本节教材分析这节课通过对一些天体运动的实例分析，使学生了解：通常物体之间的万有引力很小, 常常觉察不出来，但在天体运动中，由于天体的质量很大，万有引力将起决定性作用，对天 文学的发展起了很大的推动作用，其中一个重要的应用就是计算天体的质量.在讲课时，应用万有引力定律有两条思路要交待清楚.1 .把环绕天体（或卫星）的运动看成是匀速圆周运动，即尸引=/向，用于计算天体（中心 体）的质量，讨论卫星的速度、角速度、周期及半径等问题.2 .地面附近物体与地球间的万有引力约等于物体的重力，即尸引=2g.主要用于计算 涉及重力加速度的问题.本节内容是这一章的重点，是万有引力定律在
2、实际中的具体应用.利用万有引力定律除 了可求出中心天体的质量外还可发现未知天体.教学目标一、知识目标1. 了解行星绕恒星运动及卫星绕行星运动的共同点：万有引力作为行星、卫星圆周运 动的向心力.2. 了解万有引力定律在天文学上有重要应用.3. 会用万有引力定律计算天体的质量.二、能力目标通过万有引力定律在实际中的应用，培养学生理论联系实际的能力.三、德育目标利用万有引力定律可以发现未知天体，让学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导 实践的辩证唯物主义观点.教学重点1 .人造卫星、月球绕地球的运动；行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力提供的.2 .会用已知条件求中心天体的质量.教学难点根据已知条
3、件求中心天体的质量.教学方法Mm4乃之力)/解：由于 G M =m T2 r,得 M= GT2 .2 .分析：此为天体运动的双星问题，除两星间的作用外，其他天体对其不产生影响.两星球周期相同，有共同的圆心，且间距不变，其空间分布如右图所示.解：设两星质量分别为陷和此，都绕连线上。点做周期为7的圆周运动，两星到圆 心的距离分别为Li和L2,由于万有引力提供向心力.4乃2T2 1由几何关系知：L-L2=R4，r3联立解得M+M2= gt23 .分析：将行星看做一个球体，卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供.解：设半径为R,则密度p与质量M、体积V的关系为4MpVp 兀A，对卫星，万有引力
4、提供向心力3)整理得72=万为一常量.4 .分析：题设条件指出，物体在赤道上恰好完全失重，这是由于该星球自转所造成的.在 赤道上平面物体所受星球的万有引力恰好等于它随星球自转所需向心力.随物体向星球极地移动，其视重将增大.在极地位置，物体所需 向心力为零.解：设行星的半径为R,在赤道上质量为2的物体随星体自转，物体受力如上图所示, 根据牛顿第二运动定律得根g歹/丫=根疗依题国=0，所以g =cR.在极地地区物体重力仅为地球上重力的0.01倍，可知g =0.01g自转周期与地球相同,即7=T=8.64X104s,可知该星球半径为r_二（T）-0.05R- L亏g-正=0. 01X9. 8X（8.
5、 64X10,24X3. 142=1. 85X 107 m5 .分析：本题考查地球表面物体所受重力的大小与万有引力之间的关系.物体所受的 重力可近似看成等于地球对它的万有引力.Mm解：在地面附近有G = G R2 ,Mm在离地h高度处有 g2=g（R + ）2,G _ （R + 少由题意知G?R? =2,解得：=（拒-1）R.备课资料一、天体密度的计算要想计算天体的密度，设天体半径已知，即可得到天体的体积，再求得天体的质量、天 体的密度就可求得.求天体质量时，首先应以此天体作为中心天体，具体求解时可有两条思路：a.尸引向,b. F引.Mm 44广a.尸引=/向，即G M m T2 r,得：M=
6、 GT2 （其中：例为中心天体质量，根为环绕 天体质量，T为环绕天体的绕行周期，为环绕天体的轨道半径）4设中心天体的半径为R,则其体积为v= 3兀R3.M 3兀/所以夕=厂一方存如果环绕体在中心体表面运行，则r=R,3兀所以夕=彳Mm娟2b. F引三mg,即G R? =mg,得/（其中：g为中心体表面或附近的重力加速度）4设中心体半径为R,则体积V=5兀R3M = 3g所以 0= V 4tiGR二、科学家发现太阳系第十大行星英国天文学家约翰默里博士可能发现了太阳系第十大行星.这颗奇异的行星极为遥远，与目前已知太阳系最远的行星冥王星相比，它的公转轨道大 约比冥王星远1000倍.这颗行星与太阳的距
7、离是地球到达太阳距离的3万倍.默里博士的 这个发现源自彗星理论，每一颗彗星都是受外力驱动才进入太阳系的，以致被我们观察到.默 里博士研究了 13颗彗星的运行轨道后，他认为存在着一个巨大物体的作用，将那些彗星送 入了现在的运行轨道.这颗行星可能是在别处诞生的一颗新星，在银河系漫游时被太阳系的行星系统捕捉到 了.这颗肉眼观测不到的行星体积是已知太阳系最大行星木星的几倍以上.这颗行星环绕太阳运行一周需要600万年的时间.这一速度可以解释人们以前为什么没有发现它的原因：它的移动速度极为缓慢.三、对天体运动问题的分析(一)万有引力定律与天体圆运动问题的分析方法1 .万有引力定律若两个质量分别为m和M的质
8、点相距r,则其间相互作用的万有引力的大小为F= GmM/P.应该明确的是:式中的G被称为引力常量,其值为G=6.67X IO11 N -m2/kg2 (2) 式适用于两个质点间万有引力大小的计算，而对于两个质量分布均匀的球体间的万有引力 大小的计算，也可用式，只是式中的应理解为两球心间的距离.2 .天体圆运动问题的分析方法对于那些在万有引力作用下，围绕某中心天体(M)做圆运动的天体来说，其圆运动问 题的分析应紧紧把握住“引力充当向心力”这一要点来进行，即GmM/a=斯.式中的向心 加速度斯=正/厂=厂苏=4兀2尸.至于斯应取何种表达形式，应依具体问题来确定.已知月球绕地球转动周期为T,轨道近似
9、为圆，月、地间距离为二则地球的质量”为 多大？分析与解 对于这种典型的“天体圆运动问题”的分析，我们把握住“引力充当向心力” 的分析要点，同时考虑到题设条件中给出了周期7,因此可以用丁来表示向心加速度.于是 有GmM/r2=4n2rm/11可解得地球质量为M=4兀2广/6片(二)开普勒行星运动定律与天体椭圆运动问题的分析方法1 .开普勒行星运动定律第一定律：行星沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上.第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.即“Sin6=常量.式 中u为行星的运动速度，厂为从太阳引向行星的矢径，。则为速度与矢径之间的夹角.第三定律：行星绕太阳做椭圆运动
10、的公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比.即 72/氏3=4兀2/gm.式中G为引力常量，M则为太阳的质量.2 .天体椭圆运动问题的分析方法若把适用于行星绕太阳做椭圆运动的开普勒定律推广到一般的绕中心天体(M)做椭圆运 动的天体(加)上，开普勒定律的形式不变.只是此时式中的“常量”成了一个与新的中心 天体相关的常量；式中的M也成了新的中心天体的质量而不再是太阳的质量了.于是， 对于一般的天体的椭圆运动问题的分析，则可以依靠推广了的开普勒定律.当然，在一些较 为特殊的天体椭圆运动问题中，有时也可以利用“位置的特殊性”和“轨道的对称性”而借 助于万有引力定律来分析.如图所示，卫星绕质量为M的地球做
11、椭圆运动，在近地点和远地点处与地心分别相距 a和b,则卫星在通过近地点和远地点时其运动速度大小之比为V!：也=.卫星从 近地点运动到远地点所经历的最短时间为t=.解析：对于这种一般的天体椭圆运动问题，通常是利用开普勒定律来分析求解的.由开 a + b普勒第二和第三定律分别有：刃=g=%（常量）./（亍 =4兀2/GM.由此便可分别解得: 卫星在近地点和远地点处运动速度大小之比为VI ： V2 = b : Q；卫星从近地点到达远地点-%（。+刃2GMm+。）所经历的最短时间为，=27= 4GM.当然，此例中式给出的结论亦可由万有引力定律求得.由万有引力定律可得，卫星在 j GmM/a = niV
12、2/R近地点和远地点处分别有1 GmM/ 62 =m及2/R式中的R为椭圆轨道在近地点和远地点这两个对称的特殊位置处的曲率半径.由上式 便可求得也与也之比如式所给出.四、万有引力定律应用时应分清的几个概念1 .天体半径和卫星轨道半径在中学物理中通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小,卫 星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径.一般情况下，天体卫星的轨道半 径总大于该天体的半径.当卫星贴近天体表面运行时，可近似认为轨道半径等于天体半径.一宇宙飞船到某星球上探测，宇航员想知道该星球的密度，而身边只有一块手表，他该 怎么办呢？解析：当宇宙飞船绕着星球运行时，可将其
13、视为该星球的一颗卫星，根据关系式M=加/兀2/72（这里厂是宇宙飞船的轨道半径），而夕=3 （R为星球半径）.因此要想求得星球 的密度必须使飞船的轨道半径r=R,才能得出夕=3兀/G72所以宇航员只要让飞船贴近该天 体的表面绕行一周，用手表测出周期，即可求得星球的密度.2 .自转周期和公转周期自转周期是天体绕自身某轴线转动一周的时间，公转周期是卫星绕中心天体做圆周运动 一周的时间.一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如地球自转周期为24小时, 公转周期为365天.在应用中要注意区别.已知太阳光射到地球需时，=500 s,地球同步卫星的高度/z = 3.6X IO, km.试估算太阳 和
14、地球的质量.解析：设太阳质量为Mi,地球质量为M2,地球同步卫星质量为如 由地球绕太阳做圆4万2尸周运动知：GMM2/12 M2r4n2/T2,求得M= GT?.式中厂=”，口为光速.GM 2m2= m（R 地+ /z） T2 ,得 M2 =再根据地球同步卫星绕地球做圆周运动得：（氏地+人）42（H地+力）3GF2 .代入数据可求得Mi、M2=.注意八T分别是地球的公转周期和自转周期.当然，也有的天体自转周期和公转周期相同，如月球的自转周期等于它绕地球的公转周 期，故月球总是以同一面朝向地球.3 .同步卫星和一般卫星地球同步卫星和其他地球卫星虽然都绕地球运行，但它们之间却有着明显的区别.地球同
15、步卫星是相对于地球静止，和地球自转具有相同周期的卫星，它的周期T=24 h.由于卫星受到的地球引力指向地心，在地球引力的作用下同步卫星不可能停留在与赤道 平面平行的其他平面，它一定位于赤道的正上方.如我国发射的电视转播卫星，不是定点在 北京上空或其他什么地点的上空，而是停在位于赤道的印度尼西亚上空.根据牛顿第二定律 GMm/=m/r,得r=何荷.可见同步卫星离地心的距离是一定的，代入数据得= 4.24X 104 km,且线速度u=rg=3.08X 103 mzs也是一定的，其绕行方向与地球自转同向.而一般卫星的周期、线速度等可比同步卫星大，也可比同步卫星小，但线速度最大值为 v=7.9 km/
16、s,最小周期大约85 min,轨道也可以是任意的，轨道平面一定通过地球球心.同步卫星离地距离心运行速率也，加速度0,地球赤道上的物体随地球自转的向心加 速度为2，第一宇宙速度为也，地球半径为R,贝女）A. alai=rlRB. a/a2 = R2/r-C. v/v2=R1/r2D. v/v2= Rlr解析：同步卫星和赤道上的物体的角速度相等，据。=?知0/他=凡 第一宇宙速度 是卫星贴近地面绕行的速度，同步卫星也属于一种卫星，故速率 尸向江,所以0/也= 历本题应选AD.4.赤道上的物体和近地卫星放在赤道上的物体随地球自转时受两个力的作用，一个是地球对它的万有引力，另一个Mm是地面对物体的支持
17、力.这两个力的合力提供了物体做圆周运动的向心力，即G RN=m/?o(o2,这里 N= mg.物体的向心加速度q=Ro疗三0.034 m/s2,远小于地面上物体的重力加速度g = 9.8 m/s2, 故在近似计算中可忽略自转影响，而认为地面上物体的重力和该物体受到的万有引力大 小相等.绕天体运行的卫星，只受一个力即万有引力，卫星上物体处于完全失重状态，故尸=仪? =ma.卫星的向心加速度。等于卫星所在处的重力加速度/ ,对近地卫星来讲g =g=9.8 m/s2地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为4,要使 赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的（）A. g
18、/a 倍B. J（g +。）/。倍C.倍D.屈倍解析：赤道上的物体随地球自转时G丝-N即变为近地卫星，则应N=0,于是其中N= 电.要使赤道上的物体“飘”起来,Mm2G R。=mRos 2由前两式得6 /3= J（g +。）/。,故B选项正确.分析推理法、讲练法. 教学用具有关练习题的投影片、投影仪. 课时安排1课时 教学过程本节课的学习目标1 .利用万有引力等于向心力求出中心天体的质量.2 . 了解万有引力定律在天文学上的应用.学习目标完成过程一、导入新课上节课我们共同学习了万有引力常量的测定.现在请同学们回忆下面几个问题：1 .卡文迪许用什么装置来测定万有引力常量？其实验原理是什么？2 .
19、为什么扭秤装置能测定相互作用很小的万有引力，其巧妙之处何在？回忆上节所学，找出问题答案.1 .卡文迪许用扭秤装置来测定引力常量.其实验原理是力矩平衡.2 .扭秤装置所以能测定很小的万有引力，其根本原因是通过小平面镜及T型架的横杆 对万有引力的作用效果进行了放大.万有引力常量的测出，使万有引力定律对天文学的发展起了很大的推动作用.这节课我 们就共同来学习万有引力定律在天文学上的应用.二、新课教学（一）天体质量的计算A.基础知识请同学们阅读课文第一部分-天体质量的计算.同时考虑下列问题.1 .万有引力定律在天文学上有何用处？2 .应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么？3 .求解天体质量的方
20、程依据是什么？学生阅读课文第一部分，从课文中找出相应的答案.1 .当测定出万有引力常量后，我们便可应用万有引力定律计算天体的质量.使以前看 似不可能的事变为现实.2 .应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是：根据环绕天体的运动情况，求出其 向心加速度，然后根据万有引力充当向心力，进而列方程求解.3 .从前面的学习知道，天体之间存在着相互作用的万有引力，而行星（或卫星渚B在绕 恒星（或行星）做近似圆周的运动，而物体做圆周运动时合力充当向心力，故对于天体所做的 圆周运动的动力学方程只能是万有引力充当向心力，这也是求解中心天体质量时列方程的根 源所在.8 .深入探究请同学们结合课文知识以及前面所学
21、匀速圆周运动的知识，加以讨论、综合.然后思考 下列问题.1 .天体实际做何运动？而我们通常可认为做什么运动？2 .描述匀速圆周运动的物理量有哪些？3 .根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法？4 .应用天体运动的动力学方程-万有引力充当向心力求出的天体质量有几种表达式？ 各是什么？各有什么特点？5 .应用此方法能否求出环绕天体的质量？分组讨论，得出答案.1 .天体实际运动是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为 圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动.2 .在研究匀速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度口角速度。，周 期T三个物理量.3 .根据环绕天体的
22、运动状况，求解向心加速度有三种求法.B|J：a.。心=rb. a心=苏 rc. 心=4兀4.应用天体运动的动力学方程-万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三 种表述方式可得三种形式的方程，即Mmv2a. 尸引=Gr =/心=m a心=rMmMm即：G Jv2=mMmb. F* 引G 丫 = F 心net 心=m(o rMm=/心=ITICl 心=1TI4/r2r即：G 产=ma rMm 2 c.方引=G产2Mm 47r r 即：G户=加了从上述动力学方程的三种表述中，可得到相应的天体质量的三种表达形式:a. M=rr/G.b. M cr/G.c. A/=4兀27/GT2，上述三种表达式
23、分别对应在己知环绕天体的线速度口角速度。，周期T时求解中心天 体质量的方法.以上各式中表示中心天体质量，力表示环绕天体质量，表示两天体间距离，G表示 万有引力常量.5.从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求出环绕 天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉.C.教师总结从上面的学习可知，在应用万有引力定律求解天体质量时，只能求解中心天体的质量, 而不能求解环绕天体的质量.而在求解中心天体质量的三种表达式中，最常用的是已知周期 求质量的方程.因为环绕天体运动的周期比较容易测量.从前面的学习我们知道，当物体静止在地面上时，万有引力同时产生两个作用效果，
24、一 是物体的重力，一是物体随地自转的向心力，而随地自转的向心力非常小，故有：产引三mg而当物体绕地球运转时，不再有随地自转的向心力.此时有：/引=吆综上所述，我们可知，尸引=mg这也是这一章中，除动力学方程外的又一重要方程.既然万有引力可以充当向心力，且它又等于物体的重力，所以我们便可得到另一个重要 的方程：/ng = F 心综合以上，在这一章中我们所用的方程总共有三个，即：尸引=F心Fmgmg=F 心D.基础知识应用1 .求解中心天体质量时，列方程的依据是.2 .把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动轨道，平均半径为1.5Xl()8km,已知引力常 量为：G=6.67X10-u Nm2/kg2,
25、则可估算出太阳的质量大约是多少千克？(结果取一位有 效数字)参考答案：1 .万有引力充当向心力2 . 2X1O30 kg分析：题干给出了轨道的半径，虽然没有给出地球运转的周期，但日常生活常识告诉我 们：地球绕太阳一周为365天.故：7=365X24X3600 s = 3.15X107s由万有引力充当向心力可得：2Mm4 乃 rG 尸=m T24乃2尸故：M= GT24x3.142x(1.5x10)3=6.7xl0-11x(3.2xl07)2 kg= 2X1O30 kg（二）发现未知天体A.基础知识请同学们阅读课文第二部分-发现未知天体，考虑以下问题：1 .应用万有引力定律除可估算天体质量外，还
26、可以在天文学上起什么作用？2 .应用万有引力定律发现了哪些行星？阅读课文，从课文中找出相应的答案：1 .应用万有引力定律还可以用来发现未知的天体.2 .海王星、冥王星就是应用万有引力定律发现的.8 .深入探究人们是怎样应用万有引力定律来发现未知天体的？人们在长期的观察中发现天王星的实际运转轨道与应用万有引力定律计算出的轨道总 存在一定的偏差，所以怀疑在天王星周围还可能存在未知行星，然后应用万有引力定律，结 合对天王星的观测资料，便计算出了另一颗行星的轨道，进而在计算的位置上观察到新的行 星.C.教师总结万有引力定律的发现，为天文学的发展起到了积极的作用，用它可以来计算天体的质量, 同时还可以来
27、发现未知天体.D.基础知识应用1 .太阳系的第八颗行星-海王星是 国的 于（时间）发现的.2 .太阳系的第九颗行星-冥王星是（时间），应用万有引力定律发现的.参考答案：1 .德；加勒；1846年9月23日2 . 1930年3月14日三、知识反馈1.根据观察，在土星外层有一个环，为了判断是土星的连续物还是小卫星群，可测出 环中各层的线速度u与该层到土星中心的距离R之间的关系.下列判断正确的是（）A.若u与R成正比，则环是连续物B.若俨与R成正比，则环是小卫星群C.若V与R成反比，则环是连续物D.若廿与R成反比，则环是小卫星群2 .已知地球的半径为尺地面的重力加速度为g,万有引力常量为G,如果不考
28、虑地 球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为.3 .某人在某一星球上以速度u竖直上抛一物体，经时间/落回抛出点，已知该星球的 半径为R,若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大 小为多少？4 .一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R的行星表面飞行,环绕一周飞行时间为7.求 该行星的质量和平均密度.参考答案；1. AD 2. 3g/4兀GRv 2v3 .星球表面的重力加速度g= a人造星体靠近该星球运转时：Mm 好mg = G R? =m R （M：星球质量，m：人造星体质量）所以M =丫 V t4 .设宇宙飞船的质量为根，行星的质量为宇宙飞船围绕行星的中心做匀速圆周
29、运 动.Mm2万G R? =m( T )2R4，r3所以GT24又u= 3兀R3所以M _ 3兀 p= v GT2四、小结学习本节的解题思路如下：(七2m = M= 1 r/ G rF引= Ec?=W ?2co2 r= M=(J i2 / Gm 4短0 M 4 ti2 r3 / GT2尸引=2g.mg=F 心五、作业1 .阅读本节内容.2 .课本 Puo(l)3 .思考题：已知地球的半径为R,质量为M地，月球球心到地球球心的距离广月地=60 R = 3.8X 108 m,月球绕地球运行周期7=27.3天，地球对物体的重力加速度go=9.8 m/s2,试 证明地球对月球的引力和地球对其附近物体的
30、引力是同性质的力，都是万有引力.参考答案：月球绕地球做半径为厂月地的匀速圆周运动，如果提供月球做匀速圆周运动的向心力与地 球对物体的引力是同性质的力，则由牛顿运动定律可得月球绕地球做圆周运动的向心加速度 a月为：GMtfe . 月 _ GM地 _ GM地丁月地2 ?月麦月地2(60R)2 3600R2地球上物体的重力加速度g为_ GM地 ?九_ GMjfc mh / 也 _1g R2 . R2 闻 4-7- 3600由月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度公式可知:27ra月=疗厂月地=(T产厂月地2x3.14=(27.3x24x3600 )2X3.8X 108 m/s2=2.69644X
31、103 m/s2已知地球表面的重力加速度go=9.8 m/s2则宣=2.69644X 103 =!人工 9-8 3634即组三亚 g go由此可知，由月球以及地球附近的物体绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度之比, 跟由同性质的万有引力对它们提供的向心力所获得的向心加速度之比近似相等.所以，地球 对月球的引力跟地球对其附近物体的引力是同性质的力，都是万有引力.六、板书设计 w2r3万有引力定律在天文学上的应用口天体质量的计算JTtA 1- K .=M=GGT2发现未知天体海王星冥王星七、本节优化训练设计1 .（1997年全国）某行星的一颗小卫星在半径为r的圆轨道上绕行星运动，运行的周期 是T,
32、已知引力常量为G,这个行星的质量是.2 . （2001年春季）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某 点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R,其运动周期为7,求两星的总质 量.3 .行星的平均密度是Q靠近行星表面的卫星的周期是7,试证明为一个常数.4 .设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地 球上重力的0.01倍,而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重.若 存在这样的星球，它的半径R应多大？5 .质量为根的物体在离地某高处的重力是它在地表附近所受重力的一半，求物体所处 的高度.（已知地球的平均半径为A）参考答案：1.分析：本题考查应用万有引力定律计算天体质量，行星对卫星的引力提供卫星做匀 速圆周运动所需的向心力.