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1、 第 1 页 共 8 页 人教版高中数学选修 1-1 教学讲义 年 级：上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：课 题 导数的实际应用 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 导数的实际应用【要点梳理】要点一：最优化问题 现实生产生活中，人们经常遇到经营利润最大、生产效率最高、用力最省、用料最少、消耗原材料或能源最省、面积或体积最大、用时最短等问题，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些问题通常称为最优化问题 要点二：利用导数解决最优化问题的一般步骤 解决最优化问题的方法很多，如：判别式法，平均不等式法，线性规划方法及利用二次函数的
2、性质等 不少最优化问题可以化为求函数最值问题，导数方法是解这类问题的有效工具此时，要把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化，函数的最值由极值和区间端点的函数值比较确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值也就是它的最值 一般步骤为：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()yf x；(2)求函数的导数()fx，解方程()0fx；(3)比较函数在区间端点和使()0fx的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值 要点诠释：利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：在求实际问题中的最大(小)值时，一定
3、要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使()0fx的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值 要点三：利用导数解决最优化问题的基本思路 第 2 页 共 8 页 要点四：最优化问题的常见类型 (1)利润最大问题；(2)用料最省、费用最低问题；(3)面积、体积最大或最小问题【典型例题】类型一：用料最省、费用最低问题 例 1.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为 8 m2，问 x、y 分别为多少时用料最省？(精确到 0.001 m)举一反三：
4、【变式】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂位于离岸 40 km 的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和到乙厂的水管费分别为每千米3a 元和 5a 元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省?类型二：利润最大问题 例 2 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元辆，出厂价为 13 万元辆，年销售量为 5000 第 3 页 共 8 页 辆本年度为适应市场的需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 x1)，则出厂价相应提高的比例为 0.7x，年销
5、售量也相应增加已知年利润(每辆车的出厂价一每辆车的投入成本)年销售量 (1)若年销售量增加的比例为 0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？(2)若年销售量关于 x 的函数为25324023yxx，则当 x 为何值时，本年度的年利润最大?最大利润是多少？举一反三：【变式】已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C100+4q(0q100)，价格 p 与产量 q 的函数关系式为1258pq求产量 q 为何值时，利润 L 最大?类型三：面积、体积最大或最小问题 例 3 做一个无盖的圆柱形桶，要求其体积为定值 V，而用材料要最省，问圆柱的底
6、面半径及高各应为多少？第 4 页 共 8 页 举一反三：【变式】要做一个底面为长方形的带盖的长方体箱子，其体积为 72 cm3，其底面两邻边的比为 1:2，问它的长、宽、高各为多少才能使表面积最小?第 5 页 共 8 页 课 后 作 业 年 级：上 课 次 数：作业上交时间：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：宋冰洁 作业内容 作业得分 作 业 内 容【巩固练习】一、选择题 1以长为 10 的线段为直径作半圆，则它的内接矩形的面积最大值为()A10 B15 C25 D50 2要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高为()A3cm3 B10 3cm3
7、C16 3cm3 D20 3cm3 3某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新的墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A32 16 B30 15 C40 20 D36 18 4内接于半径为 R 的球且体积最大的圆柱的高为()A2 33R B33R C3 32R D32R 5若底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，则其表面积最小时，底面边长为()A3V B32V C34V D32 V 6某公司生产某种产品，固定成本为 20000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 R 与年产量x 的关系是21400(04
8、00)()280000(400)xxxR xx，则总利润最大时，每年生产的产品产量是()A100 B200 C250 D300 二、填空题 第 6 页 共 8 页 7如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定。窗户周长最小时，x 与 h 的比为_ 8设某银行中的总存款与银行付给储户的利率的平方成正比，若银行以 10的年利率把总存款的 90贷出，同时能获得最大利润，需要支付给储户的年利率为_ 9.水以 20m3min 的速度流入一圆锥形容器，设容器深 30 m，底面直径为 12 m，当水深 10 m 时，水面上升的速度是_ 三、解答题 10一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确
9、定断面尺寸时，希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得lABBCCD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b 11某地建一座桥，两端的桥墩已建好，两桥墩相距 m 米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测 第 7 页 共 8 页 算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+x)x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为 y 万元(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小?12.某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 米，如果池外周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建造单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价 第 8 页 共 8 页