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1、第三章第三章 导数及其应用导数及其应用一、变化率与导数一、变化率与导数1、定义：设y fx在x x0处取得一个增量xx 0.y为从x0到x0 xx的平均变化率.若当时x 0时，有极限存在，函数值也得到一个增量y,称则称此极限值为函数y在x x0处的瞬时变化率，记为limfx0 x fx0y lim，也称为函x0 xx0 xfx0 x fx0.x数y在x x0处的导数，记作fx0或yxx0,即fx0 limx0说明：导数即为函数 y fx在x x0处的瞬时变化率.2、几何意义:x 0时，Q沿fx图像无限趋近于点P时，切线PT的斜率.即 fx0 kPT.3、导函数（简称为导数）y fx称为导函数，
2、记作y，即fx=y=limfxx fxy lim.x0 xx0 x二、常见函数的导数公式二、常见函数的导数公式1 假设f(x)c(c 为常数)，则f(x)0；12 假设f(x)x,则f(x)x;3 假设f(x)sin x,则f(x)cos x4 假设f(x)cos x,则f(x)sin x;xx5 假设f(x)a,则f(x)a lnaxx6 假设f(x)e,则f(x)e1xlna18 假设f(x)ln x,则f(x)xx7 假设f(x)loga,则f(x)三、导数的运算法则三、导数的运算法则1.f(x)g(x)f(x)g(x)2.f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)3.f(x)f(
3、x)g(x)f(x)g(x)g(x)g(x)2四、复合函数求导四、复合函数求导y f(u)和u g(x),称则y可以表示成为x的函数,即y f(g(x)为一个复合函数，则y f(g(x)g(x)五、导数在研究函数中的应用五、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:1在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数y f(x)在这个区间单调递增；如果f(x)0，那么函数y f(x)在这个区间单调递减.说明：若fx在定义域区间上不是单调的，则常常用fx=0的点划分fx的单调区间.若fx在某个区间恒有fx 0，则fx是常函数；若fx在某个区间内只有有限个点使fx 0，其余恒有fx 0,则fx仍
4、为增函数.例如：fx x3在R上有f0 0，其余恒有fx 0,，fx x3仍为R上的增函数，其函数图像为：（2）求单调区间的步骤：求fx的定义域；求导fx；令fx 0，解集在定义域内的部分为增区间.令fx 0，解集在定义域内的部分为减区间.说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用“”、“或”相连，应该用“，”隔开或用“和”.（3）一种常见的题型：已知函数的单调性求参数的取值范围，利用“若fx单调递增，则fx 0；若fx单调递减，则fx 0?来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！2.函数的极值与导数1极大、极小值得定义：若对x0附近的所有的点，都有fx fx0且fx0=0，则称fx0是函
5、数fx的一个极大值.称x0是极大值点.若对x0附近的所有的点，都有fx fx0且fx0=0，则称fx0是函数fx的一个极小值.称x0是极小值点.说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.（2）求函数的极值的步骤：确定定义区间，求导fx；求方程fx=0的解x0；检查x0左右两边fx的符号：I、如果在x0附近的左侧fx 0,右侧fx 0,那么fx0是极大值;II、如果在x0附近的左侧fx 0,右侧fx 0,那么fx0是极小值;III、如果在x0左右两侧导函数不改变符号，那么fx在x0处无极值.说明：在解答过程中通常用列表：3、函数的最值与导数求函数y f(
6、x)在a,b上的最大值与最小值的步骤求函数y f(x)在(a,b)内的极值；将函数y f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.说明：“最值”是整体概念，“极值”是个局部概念.4、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为“加”型xx/1fx fx 0 构造e fx e fx fx/2xf/x fx 0/构造xfx xfx fx/nn/n1n1/x f x x fx nxf x xxf3xf/xnfx 0 构造 xnfx注意对x的符号进行讨论2、关系式为“减”型1fx fx 0/f xf/x ex f x exf/x f x 构造xx2ex2ee/fxxf/x fx/2xfx fx 0 构造x2x fxxnf/xnxn1fxxf/xnfx/3xfxnfx 0 构造nn1n2xxx/注意对x的符号进行讨论